吉林省长春市南湖实验中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

吉林省长春市南湖实验中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（解析版）一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列旗子中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．3．已知x＜y，则下列式子一定成立的是（）A．x+4＞y+4 B．a2x＜a2y C．﹣3x＞﹣3y D．4．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形5．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转5次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为（）A．30° B．60° C．90° D．120°6．如图，∠A＝∠D＝90°，添加下列条件中的一个后，能判定△ABC与△DCB全等的有（）①∠ABC＝∠DCB；②∠ACB＝∠DBC；③AB＝DC；④AC＝DB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，△ABC为锐角三角形，点D在BC边上，∠B＝∠BAD＝∠CAD，试作点P，使点P在AD边上，且∠APC＝∠ADB，以下是甲、乙两人的作法：甲：分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线EF交AD于点P，则点P即为所求．乙：以点C为圆心，以CD长为半径画弧，交AD于点P（点P不与点D重合），则点P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列说法正确的是（）A．两人皆错误 B．两人皆正确 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转43°得到△ADE，点B的对应点D恰好在BC边上，DE交AC于点F，若∠ACD＝34°，则∠DFC的度数为（）A．43° B．77° C．103° D．113°二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．在方程3x﹣y＝7中，用含x的代数式表示y，则y＝．10．正五边形每个内角的度数为．11．已知△ABC的两边长分别为2和3，若它的第三边长为奇数，则△ABC的周长为．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为．13．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E两点，若CD＝7，△ABC的周长是39，则△ABE的周长为．14．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：（1）5（x+2）＝2（5x﹣1）；（2）．16．（6分）解方程组：（1）；（2）．17．（6分）解不等式（组）：（1）3x﹣5＜2（2+3x）；（2）．18．（6分）如图，图①、图②均为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，△ABC关于直线BC对称后得到△BCD，画出△BCD；（2）在图②中，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△CEF，画出△CEF．19．（7分）如图，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在BC边上，∠AED＝90°，EA＝ED．（1）求证：△ABE≌△ECD；（2）若BE＝2，CE＝3，则△AED的面积为．20．（8分）定义：规定min（a，b）＝，例如：min（﹣1，2）＝﹣1，min（3，﹣3）＝﹣3．（1）min（﹣3，﹣6）＝；（2）解不等式组：；（3）若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为．21．（8分）如图①，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，直线AE、BD交于点F．（1）求证：AE⊥BD；请补全下面证明过程：证明：在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝，∵∠ADB＝∠AFB+，∠ADB＝∠ACB+∠CBD，∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴AE⊥BD．（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由．22．（9分）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．若购买3个篮球和4个足球需用620元；若购买2个篮球和3个足球需用440元．（1）求每个篮球和每个足球各多少元；（2）在本次捐款活动中，共收到捐款共7910元，若购买篮球和足球共90个，且支出不超过7910元，求篮球最多能买多少个．23．（10分）【问题提出】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，经过推理可知△ADC≌△EDB…（1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是．A．边边边B．边角边C．角边角D．斜边直角边（2）AD的取值范围为．【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”．【应用】如图②，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F，EA＝EF，求证：AB＝CF．【拓展】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，若AF＝1.5，CF＝4.5，则△ABC的面积为．24．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，点E在BC的延长线上，CE＝3，DE＝5．动点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点Q从点E出发，沿EB以每秒1.5个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PR⊥BC交AD于点R，连接QR．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点Q重合时，求t的值；（2）用含t的代数式表示线段PQ的长；（3）当∠PQR的大小等于∠ABC的一半时，求t的值；（4）当∠PQR的大小等于∠ADE的一半时，直接写出t的值．

参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列旗子中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D中的图形都是轴对称图形，选项A中的图形不是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，．故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．3．已知x＜y，则下列式子一定成立的是（）A．x+4＞y+4 B．a2x＜a2y C．﹣3x＞﹣3y D．【分析】根据不等式的基本性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵x＜y，∴x+4＜y+4，故A不符合题意；当a≠0时，a2x＜a2y，当a＝0时，a2x＝a2y，故B不符合题意；∵x＜y，∴﹣3x＞﹣3y，故C符合题意；∵x＜y，∴＜，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．4．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形【分析】本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况．【解答】解：由平面镶嵌的知识可知，只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形，故选：C．【点评】本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．有部分考生根据直觉认为是正八边形，其实由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．5．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转5次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根据图形间的关系可得答案．【解答】解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转5次而组成，这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，每次旋转的度数为360°除以6为60°，即旋转角是60°的倍数，故旋转角α的最小值是60°．故选：B．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确得出旋转角的度数是解题关键．6．如图，∠A＝∠D＝90°，添加下列条件中的一个后，能判定△ABC与△DCB全等的有（）①∠ABC＝∠DCB；②∠ACB＝∠DBC；③AB＝DC；④AC＝DB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题意和图形，可以得到∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，然后根据各个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理即可求解．【解答】解：①添加条件∠ABC＝∠DCB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC与△DCB全等，故①符合题意；②添加条件∠ACB＝∠DBC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC与△DCB全等，故②符合题意；③添加条件AB＝DC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC与△DCB全等，故③符合题意；④添加条件AC＝DB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC与△DCB全等，故④符合题意．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．如图，△ABC为锐角三角形，点D在BC边上，∠B＝∠BAD＝∠CAD，试作点P，使点P在AD边上，且∠APC＝∠ADB，以下是甲、乙两人的作法：甲：分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线EF交AD于点P，则点P即为所求．乙：以点C为圆心，以CD长为半径画弧，交AD于点P（点P不与点D重合），则点P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列说法正确的是（）A．两人皆错误 B．两人皆正确 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【分析】甲的作法，由作图可知EF垂直平分AC，得到PC＝PA，因此∠PCA＝∠PAC，由三角形内角和定理得到∠APC＝∠BDA，乙的作法，由等腰三角形的性质得到∠CDP＝∠CPD，由补角的性质推出∠BDA＝∠APC．【解答】解：甲的作法，如图，由作图可知EF垂直平分AC，∴PC＝PA，∴∠PCA＝∠PAC，∵∠B＝∠BAD＝∠CAD，∴∠APC＝∠BDA，∴甲的作法正确；乙的作法，如图，由作图可知PC＝DC，∴∠CDP＝∠CPD，∴∠BDA＝∠APC，∴乙的作法正确，∴甲、乙两人的作法都正确．故选：B．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，基本作图，关键是由作图得到EF垂直平分AC．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转43°得到△ADE，点B的对应点D恰好在BC边上，DE交AC于点F，若∠ACD＝34°，则∠DFC的度数为（）A．43° B．77° C．103° D．113°【分析】由旋转的性质得到：△ABC≌△ADE，∠CAE＝43°，由此∠AEF＝∠ACD＝34°，由三角形内角和定理求出∠AFE＝103°，由对顶角的性质得到∠DFC＝∠AFE＝103°．【解答】解：由旋转的性质得到：△ABC≌△ADE，∠CAE＝43°，∴∠AEF＝∠ACD＝34°，∴∠AFE＝180°﹣∠CAE﹣∠AED＝103°，∴∠DFC＝∠AFE＝103°．故选：C．【点评】本题考查旋转的性质，关键是旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠CAE＝43°．二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．在方程3x﹣y＝7中，用含x的代数式表示y，则y＝3x﹣7．【分析】移项后将y的系数化为1即可求解．【解答】解：3x﹣y＝7，﹣y＝7﹣3x，y＝3x﹣7，故答案为：3x﹣7．【点评】本题考查解二元一次方程，将x作为已知量进行求值是解题的关键．10．正五边形每个内角的度数为108°．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．11．已知△ABC的两边长分别为2和3，若它的第三边长为奇数，则△ABC的周长为8．【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．【解答】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，即1＜x＜5，∵第三边长是奇数，∴x＝3，所以周长＝3+3+2＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了三角形的三边关系，同时能够根据奇数这一条件熟练找到第三边的值是解题关键．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为3．【分析】首先证明四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，从而得AE＝BF，DE＝CG，进而得BF+CG＝AD＝4，据此可得出FG的长．【解答】解：根据平移的性质得：AB∥EF，CD∥EG，又∵AD∥BC，∴四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，∴AE＝BF，DE＝CG，∴BF+CG＝AE+DE＝AD＝4，∴FC＝BC﹣（BF+CG）＝7﹣4＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了图形得平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，理解图形得平移变换及性质是解答此题的关键．13．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E两点，若CD＝7，△ABC的周长是39，则△ABE的周长为25．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，AC＝2CD＝14，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，CD＝7，∴EA＝EC，AC＝2CD＝14，∵△ABC的周长为39，∴AB+BC+AC＝39，∴AB+BC＝25，∴△ABE的周长＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝25．故答案为：25．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．14．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为3．【分析】首先连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，再根据等腰三角形的性质得BD是线段AC的垂直平分线，从而得CM＝AM，则CM+MN＝AM+MN，然后根据“垂线段最短”得AM+M≥AD，据此可得出当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，最后根据三角形的面积求出AD即可．【解答】解：连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，如图：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且平分AC，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴CM＝AM，∴CM+MN＝AM+MN，根据“垂线段最短”得：AM+M≥AD，即当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，∵△ABC的面积为6，BC＝4，∴S△ABC＝1/2BC•AD＝6，∴AD＝2×6/4＝3，∴CM+MN的最小值为3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：（1）5（x+2）＝2（5x﹣1）；（2）．【分析】（1）先去括号，移项、合并同类项后将x的系数化为1即可求解；（2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项后将x的系数化为1即可求解．【解答】解：（1）5（x+2）＝2（5x﹣1），5x+10＝10x﹣2，5x﹣10x＝﹣2﹣10，﹣5x＝﹣12，x＝；（2），3（x+2）﹣12＝﹣2（x+1），3x+6﹣12＝﹣2x﹣2，3x+2x＝﹣2﹣6+12，5x＝4，x＝．【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．16．（6分）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：（1），①+②得，7x＝14，解得x＝2，把x＝2代入①得，3×2+7y＝9，解得y＝，∴方程组的解是；（2），①×3得，15x+6y＝12③，②×2得，16x+6y＝14④，④﹣③得，x＝2，把x＝2代入①得，y＝﹣3，∴方程组的解是．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．17．（6分）解不等式（组）：（1）3x﹣5＜2（2+3x）；（2）．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵3x﹣5＜2（2+3x），∴3x﹣5＜4+6x，3x﹣6x＜4+5，﹣3x＜9，∴x＞﹣3；（2）由2x﹣5＜4x﹣6得：x＞0.5，由6x﹣3≤6﹣3x得：x≤1，则不等式组的解集为0.5＜x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（6分）如图，图①、图②均为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，△ABC关于直线BC对称后得到△BCD，画出△BCD；（2）在图②中，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△CEF，画出△CEF．【分析】（1）根据轴对称变换的性质分别作出A的对应点D即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点E，F即可．【解答】解：（1）如图①中，△BCD即为所求；（2）在图②中，△CEF即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是利用旋转变换，轴对称变换正确作出图形．19．（7分）如图，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在BC边上，∠AED＝90°，EA＝ED．（1）求证：△ABE≌△ECD；（2）若BE＝2，CE＝3，则△AED的面积为．【分析】（1）根据垂线的定义得出∠ABE＝∠ECD＝90°，根据同角的余角相等证得∴∠BAE＝∠CED，再根据AAS即可证得△ABE和△ECD全等；（2）由（1）中△ABE≌△ECD得出BE＝CD＝2，在Rt△ECD中根据勾股定理求出ED的长，即可得出EA的长，再根据直角三角形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠ECD＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（AAS）；（2）由（1）知△ABE≌△ECD，∴BE＝CD，∵BE＝2，∴CD＝2，∵CD⊥BC，∴∠ECD＝90°，∵CE＝3，∴由勾股定理得，∴EA＝ED＝，∵∠AED＝90°，∴△AED的面积为，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．20．（8分）定义：规定min（a，b）＝，例如：min（﹣1，2）＝﹣1，min（3，﹣3）＝﹣3．（1）min（﹣3，﹣6）＝﹣6；（2）解不等式组：；（3）若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为﹣1＜a≤1．【分析】（1）依据题意，根据所给关系，由﹣3＞﹣6，即可判断得解；（2）依据题意，将原不等式组转化为，解不等式组可以得解；（3）依据题意，将原不等式组转化为，再由不等式组恰好有三个整数解，从而可得a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，∵﹣3＞﹣6，∴min（﹣3，﹣6）＝﹣6．故答案为：﹣6．（2）由题意，原不等式组可化为，∴由①得，x≥﹣4；由②得，x≤2．∴原不等式组的解集为：﹣4≤x≤2．（3）由题意，原不等式组可化为，∴由①得，x≤2；由②得，x≥．∴原不等式组的解集为：≤x≤2．又恰好有三个整数解，∴﹣1＜≤0．∴﹣1＜a≤1．故答案为：﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．21．（8分）如图①，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，直线AE、BD交于点F．（1）求证：AE⊥BD；请补全下面证明过程：证明：在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠ADB＝∠AFB+∠CAE，∠ADB＝∠ACB+∠CBD，∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴AE⊥BD．（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由．【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠CAE＝∠CBD，由三角形外角的性质得到∠ADB＝∠AFB+∠CAE；（2）由△BCD≌△ACE（SAS），得到∠CBD＝∠CAE，由对顶角相等得到∠BOC＝∠AOF，由三角形内角和定理得到∠AFO＝∠BCO＝90°，即可证明问题．【解答】（1）证明：在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠ADB＝∠AFB+∠CAE，∠ADB＝∠ACB+∠CBD，∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴AE⊥BD．故答案为：∠CBD，∠CAE．（2）解：如图，（1）中的结论依然成立，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠CBD＝∠CAE，∵∠BOC＝∠AOF，∴∠AFO＝∠BCO＝90°，∴AE⊥BD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，旋转的性质，关键是证明△BCD≌△ACE（SAS）．22．（9分）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．若购买3个篮球和4个足球需用620元；若购买2个篮球和3个足球需用440元．（1）求每个篮球和每个足球各多少元；（2）在本次捐款活动中，共收到捐款共7910元，若购买篮球和足球共90个，且支出不超过7910元，求篮球最多能买多少个．【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和4个足球需用620元；购买2个篮球和3个足球需用440元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该校可以购买m个篮球，则可以购买（90﹣m）个足球，根据总价＝单价×数量，结合购买篮球和足球的总费用不超过7910元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为非负整数即可得出结论．【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据题意，可得，解得：，∴篮球的单价是100元，足球的单价是80元；（2）设该校可以购买m个篮球，则可以购买（90﹣m）个足球，依题意得：100m+80（90﹣m）≤7910，解得：m≤，又∵m为非负整数，∴m的最大值为35．答：该校最多可以购买35个篮球．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（10分）【问题提出】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，经过推理可知△ADC≌△EDB…（1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．边边边B．边角边C．角边角D．斜边直角边（2）AD的取值范围为1＜DA＜5．【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”．【应用】如图②，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F，EA＝EF，求证：AB＝CF．【拓展】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，若AF＝1.5，CF＝4.5，则△ABC的面积为9．【分析】【问题解决】（1）由作图的过程知，AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，即可求解；（2）由△ADC≌△EDB，则AC＝BE＝4，得到AB+BE＞AE＝2AD＞AB﹣BE，即可求解；【方法总结】【应用】证明△ADB≌△HDC（SAS），即可求解；【拓展】证明△BEM≌△CEF（SAS），得到∠BAD＝∠DAC＝∠AFG＝∠M＝45°＝∠G，求出AB＝4.5﹣1.5＝3，AC＝AF+FC＝1.5+4.5＝6，即可求解．【解答】【问题解决】解：（1）由作图的过程知，AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，则△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：B；（2）解：∵△ADC≌△EDB，则AC＝BE＝4，在△ABE中，AB+BE＞AE＝2AD＞AB﹣BE，即10＞2AD＞2，即1＜DA＜5，故答案为：1＜DA＜5；【方法总结】【应用】证明：如图2，延长AD至H，使AD＝DH，同理可得：△ADB≌△HDC（SAS），∴AB＝CH，∠BDA＝∠H，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠FAE＝∠H，∴CF＝CH＝AB，即AB＝CF；【拓展】解：如图3，过点B作BM∥AC交GE于点M，∴∠C＝∠MBC，∵∠BEM＝∠CEF，BE＝CE，∴△BEM≌△CEF（SAS），∴∠M＝∠MFC＝∠AFC，BM＝FC＝4.5，∵AD平分∠BAC，BM∥AC，则∠BAD＝∠DAC＝45°＝∠G＝∠AFG，∠M＝∠AFG＝45°，∴∠G＝∠M，∴BM＝4.5＝AG，则AB＝4.5﹣1.5＝3，∵∠G＝45°，则△AFG为等腰直角三角形，则AF＝AG＝1.5，则AC＝AF+FC＝1.5+4.5＝6，则△ABC的面积＝AB×AC＝＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了倍长中线法解题，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定