24.1.4 圆周角 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)

24.1.4圆周角知识点1圆周角定理例1．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的弦 B．SKIPIF1<0是圆心角C．SKIPIF1<0是圆周角 D．SKIPIF1<0变式2．如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（）A．80° B．100° C．120° D．130°3．AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（）A．32° B．64° C．116° D．128°知识点2同弧或等弧所对的圆周角相等例4．如图，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．70°变式5．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在圆上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为SKIPIF1<0的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．5SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<0知识点3直径所对的圆周角例7．如图，半径为5的SKIPIF1<0经过点C和点O，点B是y轴右侧SKIPIF1<0的优弧上一点，SKIPIF1<0，则点C的坐标为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式8．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．9．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧SKIPIF1<0上一点，则∠ACB＝_______．课堂练习10．如图，在⊙O中，AC=SKIPIF1<0AB，直径BC=2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则AD=___．11．如下是小华设计的“作SKIPIF1<0的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在SKIPIF1<0上任取一点C，以点C为圆心，SKIPIF1<0为半径作半圆，分别交射线SKIPIF1<0于点P，点Q，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0，理由是②第二步过点C作SKIPIF1<0的垂线，交SKIPIF1<0于点D，交SKIPIF1<0于点ESKIPIF1<0，SKIPIF1<0③第三步作射线SKIPIF1<0射线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0射线SKIPIF1<0为所求作．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β，（1）当α＝35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．13．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC.OC.BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．14．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．参考答案1．B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A.点C不在SKIPIF1<0上，所以AC不是SKIPIF1<0的弦，故错误，不符合题意；B.因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；C.点C不在SKIPIF1<0上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；D.当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若SKIPIF1<0成立，则AC+OC＜OA+OB，∴AC＜OA，与题干矛盾，∴D选项错误，不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．2．D【分析】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，由∠AOC=100°求出∠ADC=SKIPIF1<0∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC=180°，即可求出∠ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=SKIPIF1<0∠AOC=50°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-50°=130°，故选：D．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．C【分析】根据圆周角定理可求∠AOC，根据邻补角定义可求∠AOC的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°∴∠BOC=2∠D=2×32°=64°∴∠AOC=180°-∠BOC=116°故选：C【点拨】考核知识点：圆周角定理．理解圆周角定理是关键．4．C【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．【详解】解：∵∠A＝20°，∴∠EOD＝2∠A＝40°，又∵SKIPIF1<0，∴∠ADB＝∠A＝20°，∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．5．B【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°．故选：B．【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．A【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．【详解】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵B为SKIPIF1<0的中点，∴∠BOD=∠ACD=30°，∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．∵直径CD=10，∴OB=SKIPIF1<0CD=SKIPIF1<0×10=5，∴BQ=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=5SKIPIF1<0，即PA+PB的最小值为5SKIPIF1<0．故选A．【点拨】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．7．A【分析】先根据SKIPIF1<0可得CD是SKIPIF1<0的直径，进而求得SKIPIF1<0，再利用圆周角定理得出∠CDO的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质得出答案．【详解】解：如图，设SKIPIF1<0与x轴的交点为D，连接CD．SKIPIF1<0∴CD是SKIPIF1<0的直径，∵SKIPIF1<0的半径为5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴点C的坐标为SKIPIF1<0，故选：A．【点拨】此题主要考查了圆周角定理及其推论以及含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．8．70【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，∴∠B=540°-430°=110°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点拨】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．9．118°【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝124°，∴∠ADB＝SKIPIF1<0∠AOB＝SKIPIF1<0×124°＝62°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣62°＝118°．故答案为：118°．【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与它的圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．SKIPIF1<0【分析】过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，DC，根据SKIPIF1<0和BC是直径可以得到，∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB，即可得到AE=DE，利用勾股定理先求出AB，BD再求出AE，即可求出AD.【详解】解：如图所示，过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，CD∵BC是圆的直径∴∠BAC=90°=∠BDC∵SKIPIF1<0∴∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB∴BD=DC∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠EDA=∠DAB=45°∴AE=DE在Rt△ABC中，AC=SKIPIF1<0AB，BC=2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设AE=DE=x，则BE=4-x在Rt△DEB中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴AE=DE=3∴SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，等腰三角形的判定等等，大角对大边，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③SKIPIF1<0【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；②故答案为：直径所对的圆周角是直角；③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【点拨】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键12．（1）55°；（2）α+β=90°，证明见解析．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．【详解】解：（1）连接OB，∵∠OAB=α=35°，∴∠OBA=35°，∴∠AOB=110°，∴β=SKIPIF1<0∠AOB=55°；（2）结论：α+β=90°．证明：∵∠AOB=180°-2α，β=SKIPIF1<0∠AOB∴β=90°-α，∴α+β=90°．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．13．（1）翙解析；（2）圆O的直径为10cm．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理即可得SKIPIF1<0，然后由圆周角定理可得∠BCD=∠BAC，又由OA=OC，根据等边对等角，可得∠BAC=∠ACO，继而证得结论；（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，