2021-2022学年湖南省郴州市联合高级中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省郴州市联合高级中学高三数学文

上学期期末试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知(a-i)2=2,其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=()

A.2B.1C.-1D..2

参考答案：

B

【考点】复数求模.

【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出.

【解答】解：(a-i)2=2,其中i是虚数单位，a是实数，

.••a2-l-2ai=-2i,.1.a2-1=0,-2a=-2,.,.a=l.

则|ai|=|i|=l.

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算

能力，属于基础题.

2.已知向我石的夹角为45',且FI=L忸"卜啊则同=()

(A)也(B)2(C)2及(D)3&

参考答案：

D

略

3.函数V=|x-l|+|x-2：+…+次一20111()

A.图象无对称轴，且在R上不单调

B.图象无对称轴，且在R上单调递增

C.图象有对称轴，且在对称轴右侧不单调

D.图象有对称轴，且在对称轴右侧单调递增

参考答案:

D

b

4.已知-2,a,,a”-8成等差数列，-2,b,,b2,b”-8成等比数列，则2等于

()

A.4B.2C.-2D.2或-2

参考答案：

B

【考点】84：等差数列的通项公式.

【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a?-ai、b2,则答案可求.

【解答】解：：-2,a,a”-8成等差数列，

.-8-(-2)_

...aj-aj-d=~—12,

V-2,b”b2,b;t,-8成等比数列，

Ab2=^/-2X(-8)=-4(

a2~al_-2_1

b2

故选：B.

【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的性质，是

基础的计算题.

.二.二

5.已知双曲线了-乒的右顶点、左焦点分别为A、F,点B(0,一b),

若厮+国=1就-西,则双曲线的离心率值为()

出+15+1

(A)2(B)2(C)2(D)y/2

参考答案:

B

向+M卜因・M|得加旃=0又如,0),6(0,⑹，F(Y.O)

由

BA=(a.ft),BF=(-c,A)?所以有从-叱=0,即c'-a'-ac=0,从而

则，

一e-1=0

1±V514-75

g=—

解得2，又。>1,所以2,故选B.

*$ma+cosa=tan奴0<a<3),则&€

6.若2()

A.(°令

\~T•"T/\"~T»\"T•

B.64C.43D.32

参考答案:

答案：C

7.已知“正整数对”按如下规律排成一列：

ana2\a1),(i,3M2,2).ananQ3)。2),

(4”…，则第60个数对是()

A.QQDB.(7.5)c,(5.7)D,(2.10)

参考答案：

c

8.已知定义在R上的奇函数人目满足/(》・0=一〃由，且在区间口⑵上是减函数，

8=d)rc=iogI2

令a=l»2,<.j,则/W,/W,拉)的大小关系为()

A.B./(a)<Ac)</(&)

C./©</◎)</(◎D，(c)<，(a)"0)

参考答案：

C

•・•/W是R上的奇函数，且满足拉十加一/⑸

，0=九一不)，...函数人城的图象关于x=1对称，

•.•函数/W在区间［U］是减函数，.•.函数/W在［-11］上为增函数，且

/(2)=/W=0；

由题知c=-l,b=2,0<a<l,,,./(^)</0»)<.

31

C

【考点】程序框图.

111

【分析】算法的功能是求S=21+22+”.+2n的值，根据输出的S值，确定跳出循环的n

值，从而得判断框内的条件.

111

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2”的值，

.1吗))

一口—U骂

VS=2=1-2=32..*.n=5,

・・・跳出循环的n值为5,

.•.判断框的条件为nV5.即a=5.

故选：C.

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的

关键.

（X--）6

10.x的展开式中aX?的系数为（）

A.-56B.56C.-336D.336

参考答案：

A

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

x<l

，x+y+2N0

11,已知不等式组1H一,2°表示的平面区域为Q,其中k20,则当Q的面积取得最

小值时的k的值为.

参考答案：

1

略

12.在极坐标系中，点z的极坐标是（U）,点尸是曲线匕的一个动点，则

I网的取值范围是.

参考答案：

[6-1点同

试题分析：将（L“）化为直角坐标是将,=化为直角坐标方程为

/-"=0,则曲线是圆心为（04）,半径为1圆.圆心（03）到点｛I。）的距离为

“=而1=而，圆上的动点P到定点的距离的最大值为石+1;最小值为.后一1,

所以尸/的取值范围是l/，'2-L0+”.

考点：圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化.

smnr

13.定义在实数上的函数f(x)=Vl+x+X*的最小值是.

参考答案：

2第

14.已知等差数列｛%｝的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数

项之和为35,则这个数列的项数为；

参考答案：

1()

略

15.已知不等式(m-n)2+(m-lnn+X)2>2对任意mCR,nW(0,+co)恒成立，则实数X

的取值范围为.

参考答案：

后2&4或仁2&J

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】问题看作点(m,m+入)，(n,Inn)两点的距离的平方，即为直线y=x+入和直

线y=lnx的距离的最小值，当y=Inx的切线斜率为1时，求出y=lnx在(1,0)处的切线

与y=x+X的最小值，解出即可.

【解答】解：不等式(m-n)2+(m-lnn+X)?之2对任意m£R,nW(0,+co)恒成立，

看作点(m,m+九)，(n,Inn)两点的距离的平方，

即为直线y=x+入和直线y=lnx的距离的最小值，

当y=lnx的切线斜率为1时,

1

y，=x=l,点（1,0）处的切线与y=x+A,平行，

11+-I

距离的最小值是<1=V2>2,

解得：后2&4或仁2a1,

故答案为：后2a1或入工2a1.

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查平行线的距离，问题转化为直线产x+九和

直线y=lnx的距离的最小值是解题的关键，本题是一道中档题.

16.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系“加中，曲线G的方程是/+2,/一5,

X—、国

C?的参数方程是卜一iC为参数），则G与Cz交点的直角坐标是.

参考答案：

【知识点】参数方程化成普通方程.N3

'x=V^7

（«’3,1）解析：琮的参数方程是1尸一五（t为参数），转化成直角坐标方程为：

'29

<x+2y=5fx=±V3

x、3y2,则：〔x”=3y，解得：y=±l

'x=V3t（x>0

由于c的参数方程是1尸一人（t为参数），满足1y<°

（x=V3

所以交点为：〔尸一i,即交点坐标为：（加，-1）,故答案为：（M,-1）

【思路点拨】首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步建立方程组求出交点的坐标，

最后通过取值范围求出结果.

17.若等差数列的前X项和为况，电+々=14,4・70,则数列SJ的通项公

式为.

参考答案:

%=立-2（"eV'）

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分12分）

如图5,如图，已知在四棱锥尸-"CD中，底面是矩形，24_|_平面

ABCD,£、尸分别是为8、尸。的中点.

（I）求证：加〃平面尸成（;

（口）若尸。与平面438所成角为60•，且HD=2,4B=4,求点力到平面

尸的距离.

参考答案：

解：【法一】（I）证明：如图，取尸。的中点。，连接

OF=-DC

由已知得0?/匕心且2,

又是的中点，则OF〃期且=

••应F是平行四边

形.......................................................4'

：.AFHOE

又平面尸官7,平面尸友•

..工尸“平面阻(6

(II)设月平面尸月。的距离为4,

【法一】：因尸4_L平面/SCD,故/血为尸。与平面45CD所成角，所以

ZPZM=60*,

PD=--4

所以取="han60'=2jR3,,又因<8=4,后是43的中点所

以4£=2,PE=4P'+AE，=4,

DE=W+A铲=272.

作PHIDE于H,因阳=PE=4QE=2播，贝1j

DH=&.PH=J尸球-DH”=呵9，

则“一-xADAE=2S“z=gxPHDR=2/

2

因Pp-Mn=E'A-PBE

所以

Sw2>/3x22721

dJ=-P-A--------=，._=

S“z2币7................................12r

【法二】因EX1平面38,故/彻为户。与平面的。所成角，所以

NFR4=60',

PD="""=4

所以&=ADtan60'=2jR3,,又因43=4,&是的中点所

以48=2=40,PE=房'+丝’=4,DR=QDA"+AE”=2&.

作FHLDE于H,连结因处)=履=4,则月为。后的中点，故AHLDE

所以DEL平面PA/Z,所以平面P%_L平面?作幺G1尸耳于G,则,<?_1_平

面FDE,所以线段为G的长为力平面尸即的距离.

又DH=R.PH=厢二面=并,AH=4AD，_DHJ显

所以

sPAAH273V22历

A(J=-------==-=

PH底彳........................................................]2‘

19.如图，在几何体/BC-MQ中，平面4"GJ■底面Z3C,四边形是正方形,

2x

舄G"AC.。是46的中点，且*=BC=居G乙*”T

(I)证明:峪，卒；

(II)求直线zc与平面4A舄所成角的正弦值.

参考答案：

(1)如图1所示，连接dq.“交于"点，连接MZ

•••四边形是正方形，是zq的中点

又已知。是42的中点，...枚幺5R

又..魇GIIJC且BC=2g.枚比3

即四边形是平行四边形，.•.酬〃a,

图1

(H)如图2所示，以C为原点，CB.CQ分别为丁轴和z轴建立空间直角坐标系,

令"7=BC=2&G=2

贝/(A.L0)4伊.72”(0.2.0)国(Q.L2)

.../=伊.-1。)，A4=(有.3。)，即

设平面9号的法向量为■=（X»MZ）,则由・_1_舄4,

［道*-2y=0

可得：1，一打=0，可令,=25，则x=4.z=状,

.•.平面加叫的-个法向量・=（4•班道）

.=单=¥=典

则雨访31

设直线加与平面42星所成角为a,

20.（14分）

如图，四棱锥尸-北⑵中，E4,底面用8,PCLAD.底面用CO为

梯形，ABUDC,ABLBC.PA=AB=BC,点、E在棱PB上,且PE=2BB.

（.I）求证：平面243J_平面尸B；

（II）求证：尸。〃平面反4C；

cm）求二面角幺-xc-P的大小.

参考答案：

解析：证明：（I）•.•必_L底面/比〃

：.PA1BC.

又AB1BC,PAC\AB=A,

平面248.2分

又6Cu平面尸C5,

平面尸/8_L平面尸C5.4分

(II)底面/8G9,

为所在平面ABCD内的射影.

又,：PC工AD,

：.ACVAD.

5分

ccNBAC=N

在梯形MCD中，由48,优；A斤BC,得4,

^CA=ABAC=-

：.4.

又故皿。为等腰直角三角形.

.DC=&AC»夜卜2AB

DMDC、

=乙

连接30,交4c于点M,则珈457分

PEDM.

-----=------=2

在尸。中，EBMB,

J.PDHEM

又血平面以C,硼u平面口C,

.•.勿〃平面

EAC.

9分

(III)在等腰直角△口3中，取尸8中点N,连结期，则幺VJ■尸8.

•.•平面月48j_平面尸C5,且平面248口平面PCS=M,

.•.皿_L平面产8C.

在平面尸8c内，过州作N?/_L直线C&于H,连结⑷/,由于NH是⑷/

在平面CE3内的射影，故⑷/1CE.

就是二面角―尸的平面

角.12分

在Ri乂〉BC中,设C8=a,则户8==缶，

BE=-PB=—aNE=-PB=—aCB=>JCB^+BE2=—

33,66,3

由M¥_LCff,EB_LC3可知：hNEHshCEB,

NH_CB

：.1^E~CE

NH='

代入解得：屈.

cAN=—atanJ//2/=—=>/U

在出。//从中，2,.•.NH^13

分

即二面角1——P的大小为

arctanVTi.14分

解法二:

（II）以工为原点，.，,尸所在直线分别为了轴、Z轴，如图建立空间直角坐

标系.

^PA=AB=BC^a,则4。,。.。），双帽网,户（。，。㈤,

5分

设。（冬乂°）,则

CP={-a-a,a),AD=(a,y,^}f

-CPLAD,

2

：tCPAD=-a-ay=Q,解得：尸=一4.

DC=2AB.

连结5。，交4C于点M,

DM，=—DC=/、

则位AB.7分

PEDM

在A6PD中，EBMB,

：.PDffEM.

又加平面EAC,WU平面EAC,

.♦.阳〃平面

（III）设修=（*//）为平面反的一个法向量，则为•忿,

"+@=0.

x=-/=—

解得：22,

11分

设?=（x\y'，1）为平面EBC的一个法向量，则叼BC.叼_LBE,

ax'=O.

'-ay'a

----+-=u,

又而・公°⑼，融・他9皂.•33

解得：x'=o.y=i,

/.na=(O.L1).

2分

叫叫男

8$〈阳./〉=

KIN"6.

13分

二面角］一龙一p的大小为

arccos一

6.14

分

21.（12分）设函数/（x）=*'+K-alnx

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，1和为是函数了口）的两个不同零点，且

Xo€（«,«+1）.«€求力。

（2）若对任意》6卜2.-1［都存在xe（l,e）（e为自然对数的底数），使得了“）＜0成

立，求实数a的取值范围。

参考答案：

y*（K）=2l--+b-yvV=2+b=0

（I）X,是函数/（x）的极值点，2「.T是函数

/U）的零点，得/（1）=1+g0,

4-0.

由i+b-a解得

在6,_2?-r-6_（2r^3Xx-2）

令"）XXXxn,"◎+«）,得X＞2；令

/。）＜0得0。＜2,

所以/（x）在（0,2）上单调递减;在（2,阿

上单调递增.

故函数/（X）至多有两个零点，其中l€（0.2）.x,€（2.+8）,

因为八2）＜川）・0,八3卜6（l-ln3）＜0

所以而武3”故….

（H）令g°）=必+P-alnx,2.1],则gG）为关于3的一次函数且为增函数，根

据题意，对任意都存在me）,使得/（•「）＜°成立，则

g（k=g（-l）~^-x-alnx＜0在（Le）h有解，

令力（x）-?-x-ahx,只需存在三tQe）使得M%）＜0即可，

..a2?-x-a

由于妆』-七.

令破a一2/-x-ax€（Lc）,歹（x）.4x_l＞0,

.•尸（X）在（1,e）上单调递增，贝。＞贝1）=1-巴

①当1-C0,即Ml时，况r）＞0,即力TD＞0,力（r）在（1,e）上单调递增，

...力⑴办。）=口，不符合题意.

②当即时，贝l）=l-a＜。，^）»2^-e-a

若则贝e）＜。，所以在（1,e）上贝D＜0恒成立，即力'E＜0恒成立，

.•.MQ在（1,e）上单调递减，

二存在QG(LC・