高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质高中数学必修1：函数的基本性质1.奇偶性(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：1.函数的奇偶性是函数的整体性质；2.函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。(2)判断函数奇偶性的步骤：1.确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2.确定f(-x)与f(x)的关系；3.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数。(3)简单性质：1.一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；2.一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；3.设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性(1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）。注意：1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。(3)设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x)，A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集。1.若函数$u=g(x)$在区间$A$上是增（或减）函数，且函数$y=f(u)$在区间$B$上也是增（或减）函数，则函数$y=f[g(x)]$在区间$A$上是增函数。2.若函数$u=g(x)$在区间$A$上是增（或减）函数，且函数$y=f(u)$在区间$B$上是减（或增）函数，则函数$y=f[g(x)]$在区间$A$上是减函数。判断函数单调性的步骤如下：1.任取$x_1,x_2\inD$，且$x_1<x_2$。2.计算差$f(x_1)-f(x_2)$。3.进行变形（通常是因式分解和配方）。4.判断差$f(x_1)-f(x_2)$的正负。5.得出结论，即指出函数$f(x)$在给定的区间$D$上的单调性。简单性质如下：1.奇函数在其对称区间上的单调性相同。2.偶函数在其对称区间上的单调性相反。3.在公共定义域内，增函数$f(x)+g(x)$是增函数，减函数$f(x)-g(x)$是减函数，增函数$f(x)-g(x)$是增函数，减函数$f(x)+g(x)$是减函数。函数的最大值和最小值的定义如下：最大值：一般地，设函数$y=f(x)$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足：①对于任意的$x\inI$，都有$f(x)\leqM$；②存在$x\inI$，使得$f(x)=M$。那么，称$M$是函数$y=f(x)$的最大值。最小值：一般地，设函数$y=f(x)$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足：①对于任意的$x\inI$，都有$f(x)\geqM$；②存在$x\inI$，使得$f(x)=M$。那么，称$M$是函数$y=f(x)$的最小值。利用函数单调性判断函数的最大（小）值的方法如下：1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值。2.利用图象求函数的最大（小）值。3.利用函数单调性判断函数的最大（小）值：如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，在区间$[b,c]$上单调递减，则函数$y=f(x)$在$x=b$处有最大值$f(b)$；如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上单调递减，在区间$[b,c]$上单调递增，则函数$y=f(x)$在$x=b$处有最小值$f(b)$。4.周期性。定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数。性质：①f(x+T)=f(x)常常写作f(x)=f(x-T)，若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为T的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为T/|ω|。典例解析：【奇偶性典型例题】例1：以下五个函数：（1）y=x/(x^2+1)；（2）y=x+1；（3）y=2；（4）y=log2x；（5）y=log2(x+1/(4x))，其中奇函数是y=x/(x^2+1)，偶函数是y=log2x，非奇非偶函数是y=x+1和y=2。点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。题型二：奇偶性的应用例2：设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=log3(1/5)。例3：已知f(x)是奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=lg(1+x)，那么当x∈（－1，0）时，f(x)的表达式是f(x)=-lg(1-x)。例4：若奇函数f(x)是定义在（－1，1）上的增函数，试求a的范围：f(a-2)+f(a^2-4)<2。解：由已知得f(a-2)<-f(a-4)。因f(x)是奇函数，故-f(a-4)=f(4-a)，于是f(a-2)<f(4-a)。又f(x)是定义在（－1，1）上的增函数，从而-1<a-2<1，-1<a^2-4<1，即-3<a<3且-2<a^2-4<2。将这些不等式代入不等式f(a-2)+f(a^2-4)<2中，得到-2<f(a-2)+f(a^2-4)<2。因此，a的范围是-2<a<2。【单调性典型例题】例1：(1)设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数，则a的范围为a≤1/2或a≥1；(2)函数y=x/(bx+c)(x∈[0，+∞))是单调函数的充要条件是b<0。(3)已知f(x)在区间（－∞，+∞）上是减函数，a，b∈R且a+b≤0，则下列表达式正确的是f(a)+f(b)≥2f((a+b)/2)。C.$f(a)+f(b)\geq-[f(a)+f(b)]$D.$f(a)+f(b)\geqf(-a)+f(-b)$提示：$a+b\leq0$可转化为$a\leq-b$和$b\leq-a$，利用函数单调性可得。(4)如右图是定义在闭区间上的函数$y=f(x)$的图像，该函数的单调增区间为（图略）。例2.画出下列函数图像并写出函数的单调区间：(1)$y=-x+2|x|+1$(2)$y=|-x+2x+3|$例3.根据函数单调性的定义，证明函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$时是减函数。例4.设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的函数，对$m,n\in\mathbb{R}$恒有$f(m+n)=f(m)\cdotf(n)$，且当$x>0$时，$0<f(x)<1$。(1)求证：$f(0)=1$；(2)证明：对于$x\in\mathbb{R}$，恒有$f(x)>0$；(3)求证：$f(x)$在$\mathbb{R}$上是减函数；(4)若$f(x)\cdotf(2-x)>1$，求$x$的范围。解：(1)取$m=0$，$n=x$，则$f(x)=f(0)\cdotf(x)$，因为$f(x)>0$，所以$f(0)=1$。(2)对于任意的$x\in\mathbb{R}$，取$m=x$，$n=-x$，则$f(0)=f(x)\cdotf(-x)$，因为$f(0)=1$，所以$f(x)>0$。(3)设$x_1<x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)=f(x_1)-f(x_2-x_1+x_1)=f(x_1)-f(x_2-x_1)\cdotf(x_1)=f(x_1)\cdot[1-f(x_2-x_1)]$。因为$x_1<x_2$，所以$x_2-x_1>0$，所以$f(x_2-x_1)<1$，即$1-f(x_2-x_1)>0$，又因为$f(x_1)>0$，所以$f(x_1)\cdot[1-f(x_2-x_1)]>0$，即该函数在$\mathbb{R}$上是减函数。(4)因为$f(x)\cdotf(2-x)>1$，所以$f(x)\cdotf(-x+2)>1$。又因为$f(x)\cdotf(-x+2)=f(2x-x^2)$，所以$f(2x-x^2)>1$。因为$0<f(x)<1$，所以$f(2x-x^2)<1$的条件是$2x-x^2<0$，即$x^2-2x>0$，即$x<0$或$x>2$。所以$x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty)$。已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5。①证明：f(1)+f(4)=0；②求y=f(x),x∈[1,4]的解析式；③求y=f(x)在[4,9]上的解析式。解：因为f(x)是以5为周期的周期函数，所以f(4)=f(4-5)=f(-1)。又因为y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，所以f(1)=-f(-1)=-f(4)，因此f(1)+f(4)=0。当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)=a(x-2)-5(a>0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)-5+a(4-2)-5=0，因此a=2，于是f(x)=2(x-2)-5(1≤x≤4)。因为y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，所以f(0)=0。又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，因此可设f(x)=kx(0≤x≤1)，而f(1)=2(1-2)-5=-3，因此k=-3，于是当0≤x≤1时，f(x