2021-2022学年河南省信阳市高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年河南省信阳市高级中学高二数学文上学

期期末试卷含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

i.设K、耳分别为椭圆7孑U与双曲线＜T的公

_3

共焦点,它们在第一象限内交于点“，=90°,若椭圆的离心率"4,则双曲线G

的离心率■的取值为（）

9迪

A.2B,2

2.1

C.2D.4

参考答案：

B

试题分析：由椭圆与双曲线的定理，可知修从悝&=&4邨I一阳闻=2,所以

"gf的国=4-,因为所以配「土配「=3,即

“，即"S，因为4,所以r2，故选B.

考点：椭圆与双曲线的简单的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、椭圆与双曲线的简单

的几何性质的应用，其中解答中涉及到椭圆和双曲线的定义、直角三角形的勾股定理等知

识点的考查，解答中利用椭圆与双曲线的定义，得出居卜41一,是解答的

关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

2.设a,bGR,则“a,b都等于0”的必要不充分条件为（）

A.Va2+b2<0

B.a2+b2>0C.ab/0D.a+b=0

参考答案：

D

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑.

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：对于A,a=b=O,故A是“a,b都等于0”充要条件，

对于B,a.b至多有一个为0,即不充分也不必要，

对于C：a,b都不为0,即不充分也不必要，

对于D,a=b=0,或a,b都不为0,必要不充分条件

故：D.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义进行判断即可，比较基础.

3.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a='8,A=60。，B=45°,则b

的长为（）

旦

A.2B.1C.五D.2

参考答案：

C

【考点】正弦定理.

【分析】由sinA,sinB,以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长.

【解答】解：•.•在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=近，

A=60°,B=45°,

Fx李

abasinBV5

由正弦定理sinA=sinB得：b=sinA=2=V2,

故选：C.

【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的

关键.

4.下面的程序运行后第3个输出的数是（)

A.2B.2C.1D.2

参考答案：

A

5.若8是任意实数，则方程x2+4y2sin&=l所表示的曲线一定不是（）

A.圆B.双曲线C.直线D.抛物线

参考答案：

D

略

6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）

A.3B.11

C.38D.123

参考答案：

B

7.给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一

个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线

相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面

也不垂直.其中为真命题的是（）

A.②和④B.②和③C.③和④D.①和②

参考答案：

A

8.命题“对任意X，都有r>I”的否定是（）

对任意XCR,都有X<1B.不存在xrR,使得x<1

C.存在％c”,使得।D.存在工J-*,使得'“《I

参考答案：

D

略

a【。"a12

aa

9.已知等比数列｛a』中，as=4,a.a6=32,贝！J6~8的值为（）

A.2B.4C.8D.16

参考答案：

A

【考点】等比数列的性质.

【分析】设等比数列｛aj的公比为q,由题意和等比数列的性质化简已知的式子，求出q'

的值后，再由等比数列的性质化简所求的式子并求值.

【解答】解：设等比数列｛a.｝的公比为q,

3

；a：,=4,a周=32,⑸口）（&3口）=32,

化简得，q'=2,

&10一力2agq

a6-a8=a6-a8=q-2,

故选A.

io.①若「八g为假命题，口上嬲为假图也；

②设x,ye命题“若y=0,则/+尸=]”的否命题是真命题；

③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的

个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

参考答案：

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表

那么，A=,B=,C=,D=,

E二；

晚上白天总计

男婴45AB

女婴E35C

总计98D180

参考答案：

47,92,88,82,53.

12.已知苏+1=0,且。是复数，请你写出满足条件的一个你喜欢的

数O

参考答案：

0=-±i

22

略

加g也上1竺J

13.设"©=卜一2卅/一3|,若不等式M对任意实数。工0恒成立，则X

取值集合是.

参考答案：

(-mJ]11(4,+®)

【分析】

.小"卜'-1]。“<1

将不等式转化为I“L,分别在“4-1、-1<0<0、

>11aT~~MT

05的情况下讨论得到U的最大值，从而可得/任)之3；分别在xW2、

2<x<3、xA3的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.

-、-[la―1

Ar)-—□—

【详解】卬对任意实数4*0恒成立等价于：

3修3

k+l|一|2a_l|2o)]«2

①当aW-l时，同fa

2r、.k+IT2aT|[2

•••?卜2.0)---------i^i—

卜+1|_勿_1|a+l-(l-2a)3

②当一l〈a<0时，同~0

—|2u-1|a+1—(1-2a)

_9<a<--~=3

③当2时，阿

]a+1-(2/>-9].2

④当时，同aa

•；―E(0.4]IJ€(I3]

f|g»l|-pa-l||=3

综上可知：l同L

〃木3,即〃*)+-刑A』日

当x«2时，〃x)=2-x+3-x=5-2xA3解得：x<j

当2<工<3时，/(x)=x213-x=l>3无解

当xA3时，/(X)=K-2+X-3=2X-5N3,解得：工“

\x的取值集合为：(9』U[4,+B)

本题正确结果；(9』中,同

【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最

值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可

得到结果.

14.已知全集U={123,4}集合”{1,2}A-{2,3}则％(人为=

参考答案：

⑷

略

15.不等式的解集是.

参考答案：

[-X2]

【分析】

直接去掉绝对值即可得解.

【详解】由l"+lKS去绝对值可得-542X+145即-34x42,故不等式的

解集是卜工刈

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.

80

16.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为正，则此

射手的命中率是—•

参考答案：

2

3

略

17.tan800+tan40°->/3tan80otan40°的值等于.

参考答案：

•V5

【考点】两角和与差的正切函数.

【专题】计算题.

【分析】根据和角的正切公式，可得tanl20°=tan(80°+40°)

tan800+tan400

=1-tan40°Xtan80°,作变形，化简即可得结论

【解答】解：根据和角的正切公式，可得tanl20°=tan(80°+40°)

+ian400

=1-tan40°Xtan800

所以tan400+tan80°=-V3(1-tan40°Xtan80°)

所以tan800+tan40°-V3tan80°tan40°=V3

故答案为：一6

【点评】本题的考点是两角和与差的正切函数，考查和角公式的变形，解题的关键是正确

运用和角的正切公式.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知|x£2JyK2,点p的坐标为(x,y)

(1)求当xjeR时，尸满足(X-2)，+8-2)吆4的概率；

(2)求当元"Z时,。满足(x-2p+8-2)244的概率.

参考答案：

解：(1)如图，点尸所在的区域为正方形A5C。的内部(含边界)，满足

(公23+。=2)%4的点的区域为以(2.2)为圆心，2为半径的圆面(含边界).

-<x22

p-J_工

所求的概率।4x416..............6分

(2)满足xjeZ,且|xF2Jy&2的点有25个，满足xjwZ,且

(x-2)」+(y-2))W4的点有6个，所求的概率巴=石........14分

答：(1)当x.ysR时，「满足(x・2)2+(y-2>44的概率为正；

6

(2)当x.ywZ时，P满足(X-2)2+82>44的概率为毛。........15分

19.已知函数f(x)=-3x3+x2+3x+a(aGR).

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)若函数f(x)在区间［-4,4］上的最大值为26,求a的值.

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】(1)求出导数，令导数大于0,解不等式即可得到所求增区间；

(2)求得f(x)在区间［-4,4］内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得

最大值，解方程可得a的值.

解:⑴£6-#+/+能气,

则f'(x)=-x?+2x+3,

令f'(x)>0,即-x，2x+3>0,解得-l<x<3,

所以函数f(x)的单调减区间为(-1,3).

(2)由函数在区间［-4,4］内的列表可知:

X-1(-4,-1(-3(3,4

-1)1,3)4)

f'(X)-0+0-

f(x)递减极小递增极大递减

值值

函数f(x)在(-4,-1)和(3,4)上分别是减函数，在(-1,3)上是增函数.

f(-4)=a+^,f(3)=a+9

又因为3，所以f(-4)>f(3),

所以f(-4)是f(x)在［-4,4］上的最大值，

所以&■二26,即

20.在梯形PBCD中，A是PB的中点，DC〃PB,DC±CB,且PB=2BC=2DC=4(如图1所

示)，将三角形PAD沿AD翻折，使PB=2(如图2所示)，E是线段PD上的一点，且

PE=2DE.

(I)求四棱锥P-ABCD的体积;

(II)在线段AB上是否存在一点F,使AE〃平面PCF?若存在，请指出点F的位置并证

明，若不存在请说明理由.

参考答案：

【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离.

【分析】(1)翻折后，APAB是等边三角形，棱锥的高为4PAB的高，棱锥的底面ABCD

是正方形，代入体积公式计算即可；

(2)过E作EG〃CD,EG交PC于G,连结GF,由线面平行的性质可得四边形AEGF是平行

29

—rn—AR

四边形，故而AF=EG=3,即AF=3

【解答】解：(I)如图所示，过点P作PO±AB于点0

,在梯形PBCD有AD_LPA,AD1AB

翻折后仍有AD_LPA,AD_LAB又：PAnAB=A

.•.AD_L平面PAB,•.¥()?平面PAB,

.,.ADIPO,XVP01AB,ADAAB=A,AD?平面ABCD,AB?平面ABCD,

；.PO_L平面ABCD,

*/PA=AB=PB=2,.♦.△PAB是等边三角形，二P0二E,

...VP-ABCD4SABCD'P°=£X2X2X«=中,

AF,AB

(II)存在点F,使AE〃平面PCF,此时3四，理由如下:

AF,AB

过E作EG〃CD,EG交PC于G,设F是线段AB上的一点，且3,连接FG,PF,CF,

VPE=2DE,EG〃CD,

CD

AEJ,EG>7CD,

XVAF=iCD

,AF〃CD,

・・・EG二AF,EG〃AF,，四边形AEGF是平行四边形,

・・・AE〃GF,又TAE?平面PCF,GF?平面PCF,

JAE〃平面PCF.

【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，线面平行的判定与性质，属于中

档题.

21.已知椭圆的中心在坐标原点0,焦点在X轴上，短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个

端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线1交椭圆于P,Q两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)当直线1的斜率为1时，求△P0Q的面积；

(3)在线段0F上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形？若

存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

X

参考答案：

【考点】椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题.

【专题】压轴题.

22

%(a>b>0)

【分析】(1)设椭圆方程为ab".由两个焦点和短轴的两个端点恰为

正方形的顶点，且短轴长为2,由此能够求出a,b,c的值，从而得到所求椭圆方程.

(2)右焦点F(1,0),直线1的方程为y=x-1.设P(X”y,),Q(x2,y2),由题设

1112

条件得丁一匕了2=豆由此入手可求出/00/二|・跖七2个跖-丫2匕.

(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<l),使得以MP,MQ为邻边的平行四边

形是菱形.因为直线与x轴不垂直，设直线1的方程为y=k(x-1)(k#0).由题意知

OVnrC」

(l+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由此可知~2.

22

卷(a>b>0)

【解答】解：(1)由已知，椭圆方程可设为a"b”

♦.•两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2,

...b=c=l,a=V2.

2

x21

—+V=1

所求椭圆方程为2丫.

(2)右焦点F(1,0),直线1的方程为y=x-1.

设P(xi,yi),Q(X2,y2)，

(o2

x，2y=2_i

由1尸x-1得3yz+2y-l=0,解得了「一1'%，

[12

...S^POQ时0F|・|V1-了21=2序1一丫21=3

(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<l),使得以MP,MQ为邻边的平行四边

形是菱形.因为直线