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高中三角函数的典型例题和详解【非常经典】授课目的与考点分析:三角函数是高考考查的重点内容之一。通过本节的学习,使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍。1.求函数$y=\sinx+\sinx\cos\left(\frac{2\pi}{6}-x\right)$的周期和单调增区间。解:$y=\sin2x+\sinx\cosx=\left(1-\cos2x\right)+\sin2x=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)$。∴函数的周期$T=\pi$。当$2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{2}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}$,即$k\pi-\frac{\pi}{2}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{2}$($k\inZ$)时,函数单调增加,即函数的增区间是$[k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}]$($k\inZ$)。2.已知函数$f(x)=5\sinx\cosx-\frac{5}{3}\cosx+2$。(Ⅰ)求$f(x)$的最小正周期;(Ⅱ)求$f(x)$的递增区间。解:(Ⅰ)$\becausef(x)=5\sinx\cosx-\frac{5}{3}\cosx+2=\frac{5}{2}\sin2x-\frac{5}{3}\cosx+2$,$\thereforef(x)=\frac{5}{2}\left(\sin2x-\frac{1}{5}\right)-\frac{5}{3}\cosx+\frac{21}{5}$。$\because\sin2x-\frac{1}{5}=\sin^2x-\cos^2x=-\cos2x$,$\thereforef(x)=-\frac{5}{2}\cos2x-\frac{5}{3}\cosx+\frac{21}{5}$。设$f(x)$的周期为$T$,则$\frac{2\pi}{2}=\frac{2\pi}{T}$,解得$T=\pi$。(Ⅱ)由题意,解不等式$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\pi\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$($k\inZ$),得$k\pi-\frac{\pi}{4}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{4}$($k\inZ$)。∴$f(x)$的递增区间是$\left[k\pi-\frac{\pi}{4},k\pi+\frac{\pi}{4}\right]$($k\inZ$)。3.已知函数$f(x)=\frac{\cos2x}{3-2(1-\sin^2x)-8\sin^4x}$,求$f(x)$的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。解:$f(x)=\frac{\cos^2x}{(1+4\sin^2x)(1-2\sin^2x)}=\frac{4\sin^2x+1}{1+4\sin^2x}$。由$\cos2x\neq0$,得$2x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$,解得$x\neq\frac{k\pi}{4}$($k\inZ$)。所以函数的定义域为$\{x|x\inR,\text{且}x\neq\frac{k\pi}{4},k\inZ\}$。因为$f(x)$的定义域关于原点对称,且$f(-x)=f(x)$,$\thereforef(x)$是偶函数。∵$\sin^2x\in[0,1]$,$\therefore4\sin^2x+1\
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