高中三角函数的典型例题和详解【非常经典】

高中三角函数的典型例题和详解【非常经典】授课目的与考点分析：三角函数是高考考查的重点内容之一。通过本节的学习，使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。1.求函数$y=\sinx+\sinx\cos\left(\frac{2\pi}{6}-x\right)$的周期和单调增区间。解：$y=\sin2x+\sinx\cosx=\left(1-\cos2x\right)+\sin2x=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)$。∴函数的周期$T=\pi$。当$2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{2}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}$，即$k\pi-\frac{\pi}{2}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{2}$（$k\inZ$）时，函数单调增加，即函数的增区间是$[k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}]$（$k\inZ$）。2.已知函数$f(x)=5\sinx\cosx-\frac{5}{3}\cosx+2$。（Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；（Ⅱ）求$f(x)$的递增区间。解：（Ⅰ）$\becausef(x)=5\sinx\cosx-\frac{5}{3}\cosx+2=\frac{5}{2}\sin2x-\frac{5}{3}\cosx+2$，$\thereforef(x)=\frac{5}{2}\left(\sin2x-\frac{1}{5}\right)-\frac{5}{3}\cosx+\frac{21}{5}$。$\because\sin2x-\frac{1}{5}=\sin^2x-\cos^2x=-\cos2x$，$\thereforef(x)=-\frac{5}{2}\cos2x-\frac{5}{3}\cosx+\frac{21}{5}$。设$f(x)$的周期为$T$，则$\frac{2\pi}{2}=\frac{2\pi}{T}$，解得$T=\pi$。（Ⅱ）由题意，解不等式$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\pi\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$（$k\inZ$），得$k\pi-\frac{\pi}{4}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{4}$（$k\inZ$）。∴$f(x)$的递增区间是$\left[k\pi-\frac{\pi}{4},k\pi+\frac{\pi}{4}\right]$（$k\inZ$）。3.已知函数$f(x)=\frac{\cos2x}{3-2(1-\sin^2x)-8\sin^4x}$，求$f(x)$的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。解：$f(x)=\frac{\cos^2x}{(1+4\sin^2x)(1-2\sin^2x)}=\frac{4\sin^2x+1}{1+4\sin^2x}$。由$\cos2x\neq0$，得$2x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，解得$x\neq\frac{k\pi}{4}$（$k\inZ$）。所以函数的定义域为$\{x|x\inR,\text{且}x\neq\frac{k\pi}{4},k\inZ\}$。因为$f(x)$的定义域关于原点对称，且$f(-x)=f(x)$，$\thereforef(x)$是偶函数。∵$\sin^2x\in[0,1]$，$\therefore4\sin^2x+1\