0615高一数学（人教A版）立体几何初步单元复习第一课时

高一年级数学立体几何初步单元复习（第一课时）1.空间几何体中柱、锥、台、球等基本图形的几何结构特征以及它们的表面积和体积的计算；2.空间中的角的概念及其简单计算．知识概要体系构建立体几何初步立体图形的直观图基本立体图形棱柱、棱锥、棱台圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积球表面积柱、锥、台体积柱、锥、台球立体几何初步空间点、直线与平面的位置关系平面的基本性质线与线

共面直线异面直线只有一个交点相交平行没有公共点线与面直线在平面外平行没有公共点直线在平面内相交有公共点面与面平行相交立体几何初步基本立体图形空间点、直线、平面的位置关系空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：范围：范围：知识梳理

基本立体图形包括多面体和旋转体．多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，多面体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形．常见的特殊多面体有棱柱、棱锥、棱台．多面体棱柱棱锥棱台有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱可以按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．棱柱棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．棱锥可以按底面的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台．由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……，棱台的各侧棱延长线一定交于一点．旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．常见的特殊的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球．旋转体圆柱圆锥圆台球圆柱、圆锥、圆台、球以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱；以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台；半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．（一）多面体的表面积和体积棱柱的体积公式V=Sh(S为底面面积，h为高)2.棱柱、棱锥、棱台的体积棱锥的体积公式(S为底面面积，h为高)棱台的体积公式（其中，棱台的上、下底面面积分别为S′、S，高为h）．（一）多面体的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底=πr2侧面积：S侧=2πrl表面积：S=2πrl+2πr2（二）旋转体的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积圆锥底面积：S底=πr2侧面积：S侧=πrl表面积：S=πrl+πr2（二）旋转体的表面积和体积圆台上底面面积：S上底=πr′2下底面面积：S下底=πr2侧面积：S侧=πl(r+r′)表面积：S=π(r′2+r2+r′l+rl)（二）旋转体的表面积和体积2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式圆柱体积公式V=πr2h(r是底面半径，h是高)，圆锥体积公式

(r是底面半径，h是高)，(r′、r分别是圆台上、下底面半径，h是高)．圆台体积公式（二）旋转体的表面积和体积3.球的表面积和体积设球的半径为R，则球的表面积是S=4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．球的体积是．（二）旋转体的表面积和体积1.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围是：0°<θ≤90°．(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．（三）空间中的角

2.直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的

射影所成的角．

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；

一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°角．

（2）直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．（三）空间中的角3.二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面

所组成的图形．．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α-l-β或α­AB-β或P­l-Q或P­AB­Q．（三）空间中的角3.二面角的概念(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB．(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°．（三）空间中的角二、题型探究

类型1、空间几何体的表面积与体积例题如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5cm2，1cm2，3cm2，求三棱锥O-ABC的体积．VO-ABC分析：VO-ABC底高△OABOCVC-OAB，.

则由已知可得.解得x=1，y=3，z=2．将三棱锥O­ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．易知OC为三棱锥C-OAB的高．于是VO-ABC=VC-OAB=1(cm3)．解：设OA，OB，OC的长依次为xcm，ycm，zcm．例题17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V=kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中D为球的直径．类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V=kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1:k2:k3=()

A.

B.

C.

D.球的体积等边圆柱的体积正方体的体积k1k2k3k1:k2:k3=？V=kD3分析解：等边圆柱中，球中，，，正方体中，，．因此选D．k1:k2:k3=；；；∴∴∴∴总结：几何体表面积与体积的解题策略

几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．特别注意(1)多面体的表面积是各个面的面积的和；组合体的

表面积注意衔接部分的处理．

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求较复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．类型2、空间角的计算问题

例题如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：(3)平面AOB与平面AOC所成的角的度数．(1)直线AO与A′C′所成的角的度数；(2)直线AO与平面ABCD所成的角的正切值；分析：AC//A′C′∠OAC是AO与A′C′所成的角需证OC⊥OA因为OC⊥OBOC与平面AOB垂直？需证OC⊥ABAB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′∠OAC在△AOC内△AOC是否Rt

△？直线AO与A′C′所成的角(1)直线AO与A′C′所成的角的度数；例题如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：

解：∴

∠OAC就是直线AO与A′C′所成的角．∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB．∵

OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA．(1)∵A′C′∥AC，(1)直线AO与A′C′所成的角的度数；∵OC⊥BO，AB∩

BO=B，∴OC⊥平面ABO．例题如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：

∵在Rt△AOC中，OC=

，AC=

，∴sin∠OAC=

=

．

∴∠OAC=30°．即直线AO与A′C′所成的角的度数为30°．(1)直线AO与A′C′所成的角的度数；例题如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：

分析：直线AO与平面ABCD所成的角作OE⊥平面ABCD，E为垂足∠OAE是AO与平面ABCD所成的角∠OAE在Rt△AEO中在Rt△AEO中OE、AE均可求(2)直线AO与平面ABCD所成的角的正切值；例题如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：

解：(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE．∵平面BCC′B′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角．在Rt△AEO中，

∴，，．分析：要求平面AOB与平面AOC所成的角的度数因为直线OC⊥平面AOB平面AOC⊥平面AOB(3)平面AOB与平面AOC所成的角的度数．例题如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：

(3)平面AOB与平面AOC所成的角的度数．例题如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：

解：(3)由(1)已证得：

OC⊥平面AOB．又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC．即平面AOB与平面AOC所成的角的度数为90°．求空间各种角的大小一般都可以转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)，平移时经常利用某些特殊点（如中点）或特殊线（如中位线）来实现．总结：空间角的求法(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)，当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形求出结果．总结：空间角的求法(3)求解二面角的平面角的步骤：一找(根据定义寻找现成的二面角的平面角)；二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角的度数或该角相应的某个三角函数值)．总结：空间角的求法例题如图，在三棱锥S­ABC中，SA=SB=AC=BC=2，AB=，SC=1．(1)画出二面角S-­AB­C的平面角，

并求它的度数．(2)求三棱锥S­-ABC的体积．解：(1)①如图，取AB中点D，连接SD，CD，∵SA=SB=2

，

AC=BC=2，∵SD

⊂平面SAB，CD

⊂平面CAB，∴

∠SDC是二面角S-AB­C的平面角．∴

SD⊥AB，CD⊥AB．②在直角三角形SDA中，在直角三角形CDA中，∴

SD=CD=SC=1．∴△SDC是等边三角形．∴

∠SDC=60°．(2)求三棱锥S­ABC的体积．∴

AB⊥平面SDC．又∵AB⊂平面ABC，∵平面ABC∩平面SDC=CD，∴

SO⊥平面ABC．即SO是三棱锥S­-ABC的高．(2)法一：

∵

SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD=D，∴平面ABC⊥平面