新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲解训练-专题9.7-圆锥曲线综合问题

新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲解训练专题9.7圆锥曲线综合问题【考纲要求】1.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.【知识清单】命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.【考点梳理】考点一：圆锥曲线中的定点问题【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【典例2】（2019年高考北京卷理）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【规律方法】1.圆锥曲线中定点问题的求解策略圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清．2.圆锥曲线中定点问题的两种解法【变式探究】1．（2019·北京高考真题（文））已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.考点二：圆锥曲线中的定值问题【典例3】（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【典例4】（2020·浙江高三月考）已知椭圆（）的焦距为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点，设为椭圆上位于第三象限内一动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值，并求出该定值．【规律方法】1.圆锥曲线中定值问题的特征圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略3.两种解题思路①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：其解题流程为：【变式探究】1.（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学月考（文））已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.2.（2019·湖北高三月考）已知椭圆：的左、右焦点，，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线是圆：上动点处的切线，与椭圆交与不同的两点，，证明：的大小为定值．考点三：圆锥曲线中的最值与范围问题【典例5】（2020·浙江高三月考）设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【典例6】（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【典例7】（2018·湖南宁乡一中高三月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.【总结提升】1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【变式探究】1.（2020·浙江金华�高二期末）已知：抛物线，过外点作的两条切线，切点分别为、.（Ⅰ）若，求两条切线的方程；（Ⅱ）点是椭圆上的动点，求面积的取值范围.2.（2019年高考全国Ⅱ卷理21）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.3．（2020·陕西安康·高三三模（理））已知椭圆E：()的左焦点为，过F的直线交E于A、C两点，的中点坐标为.（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线和相交且交E于B、D两点，求四边形面积的最大值.考点四：圆锥曲线中的探索性问题【典例8】（2019·全国高考真题（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．【例9】（2019·上海市复兴高级中学高二期末）已知二次曲线的方程为(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若抛物线与共焦点,求抛物线L上的动点A到点的最小值(3)为正常数,且是否存在两条曲线其交点P与点满足若存在,求的值；若不存在,请说明理由.【总结提升】1.探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法.2.解析几何中存在性问题的求解方法：（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在．（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．【变式探究】1.（2020届山东省高考模拟）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.2．设椭圆方程，F为椭圆右焦点，P为椭圆在短轴上的一个顶点，的面积为6,（O为坐标原点）；（1）求椭圆方程；（2）在椭圆上是否存在一点Q，使QF的中垂线过点O？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.3.（2018届广东省东莞市考前冲刺）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，若椭圆M：x2a（1）求抛物线C和椭圆M的方程；（2）是否存在正数m，对于经过点P(0,m)且与抛物线C有A,B两个交点的任意一条直线，都有焦点F在以考点五：直线、圆及圆锥曲线的交汇问题【典例10】（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【典例11】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二月考（文））已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，，是椭圆上的不同两点，且以为直径的圆经过原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.【典例12】（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【总结提升】直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．【变式探究】1.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知抛物线，的焦点为，过点的直线的斜率为，与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，两条切线的交点为．（1）证明：；（2）若的外接圆与抛物线有四个不同的交点，求