电动力学镜像法

电动力学镜像法第1页，课件共22页，创作于2023年2月1.

静电场标势及其微分方程2.唯一性定理3.拉普拉斯方程分离变量法4.镜像法5.格林函数6.电多级矩本章内容：本章重点：本章难点：分离变量法（柱坐标）、电多极子静电势及其特性、分离变量法、镜象法第2页，课件共22页，创作于2023年2月§2.1静电势及其微分方程Scalarpotentialanddifferentialequationforelectrostaticfield一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系

三．静电场的能量本节主要内容第3页，课件共22页，创作于2023年2月在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。一、静电场的标势这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。第4页，课件共22页，创作于2023年2月无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即设C1和C2为P1和P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。第5页，课件共22页，创作于2023年2月把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为这功定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势

下降。由此第6页，课件共22页，创作于2023年2月由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。但在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考点，规定其上的电势为零，这样整个空间的电势就单值地确定了。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令

()=0有第7页，课件共22页，创作于2023年2月相距为dl的两点的电势差由于因此，电场强度E等于电势

的负梯度当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。第8页，课件共22页，创作于2023年2月点电荷Q激发的电场强度r为源点到场点的距离。把此式沿径向由场点到无穷远点积分，电势为下面来计算给定电荷分布所激发的电势一组点电荷Qi激发的电势若电荷连续分布，电荷密度为ρ，设r为源点x'到场点x的距离，则场点x处的电势为第9页，课件共22页，创作于2023年2月二、静电势的微分方程和边值关系电势满足的方程适用于均匀介质

泊松方程

导出过程

拉普拉斯方程

适用于无自由电荷分布的均匀介质第10页，课件共22页，创作于2023年2月2．静电势的边值关系(1)两介质分界面0

PQ电荷沿法线方向移动,切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）第11页，课件共22页，创作于2023年2月第12页，课件共22页，创作于2023年2月导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率为ε，导体表面的边界条件为导体1自由电荷σε介质2（2）导体表面上的边值关系第13页，课件共22页，创作于2023年2月三．静电场的能量一般方程：

能量密度

总能量

仅讨论均匀介质若已知

总能量为

导出过程：第14页，课件共22页，创作于2023年2月讨论：（1）适用于静电场，线性介质；（2）适用于求总能量；（3）不能把看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大，不仅在电荷分布区域内；（4）中的是由电荷分布激发的电势；（5）在静电场中，电场决定于电荷分布，在场内没有独立的运动，因而场的能量就由电荷分布所决定；（6）若全空间充满了介电常数为ε的均匀介质，可以得到电荷分布ρ所激发的电场总能量式中r为与点的距离。第15页，课件共22页，创作于2023年2月此题也可用高斯定理（积分形式）求解。

=

=

电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。满足

例1：带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。第16页，课件共22页，创作于2023年2月[例2]求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。解整个导体为等势体,导体球的电荷分布于球面上因此静电场总能量为方法之一:按电荷分布方法之二:按电场分布因为球内电场为零，故只须对球外积分第17页，课件共22页，创作于2023年2月[例3]求均匀电场的电势。Solution:因为均匀电场中每一点强度相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为。如果，oxpθy第18页，课件共22页，创作于2023年2月

[例4]均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的τ，求空间的电势。场点pRozz'电荷源Solution:选取柱坐标：源点的坐标为（0,z），场点的坐标为（R,0），电荷元到P点的距离无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导线的垂直距离为R0，则P点与P0点的电势差为第19页，课件共22页，创作于2023年2月若选P0为参考点（即），则第20页，课件共22页，创作于2023年2月例题5:电偶极子产生的电势P点电势：（无穷远为零点）构成的系统，其偶极矩

求近似值：解：电偶极子：两个相距为的同量异号点电荷同理

2222cos2coscos211RllRlrrrrrrqqq»-»-=--++--+Pzxy-QQ第21页，课件共22页，创作于2023年2月若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）