自动控制原理三

第四节控制系统根轨迹的绘制8/27/20231前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：标注开环极点“”和零点“”；○画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：确定实轴上的根迹区间；计算极点处的出射角和零点处入射角：8/27/20232计算根轨迹和虚轴的交点；计算会合点和分离点：利用前几步得到的信息绘制根轨迹。注意：后两步可能不存在；在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。8/27/20233一、单回路负反馈系统的根轨迹前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反馈系统的。[例]开环传递函数为：，画根轨迹。②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；③渐进线倾角：与实轴的交点为：[解]：①标出四个开环极点：0，-2，。有四条根轨迹。8/27/20234④-3+4j处的出射角：根据对称性，可知-3-j4处的出射角为：⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为：劳斯阵为：当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时，。辅助方程为：，解得共轭虚根为：即为根轨迹与虚轴的交点。8/27/20235⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为由得：由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实数范围内变化时，最大时为分离点。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。8/27/20236⑦绘制根轨迹，如下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis8/27/20237[解]：⑴开环零点，开环极点根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。⑵实轴上根轨迹区间：例4-4中已求得，分别为分离点=-0.33,会合点=-1.67，分离角⑶分离点和会合点：⑷绘制谨根轨皇迹。[例4-7]设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹。7/叼6/理20固238[例4-8]设系统开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。[解]：开环零，极点分别为：⑴根轨迹有四支。⑵渐近线倾角重心：⑶实轴上根轨迹区间⑷实轴要上无除分离行点和欲会合辫点。7/巾6/女20坚239⑹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：劳斯阵列：劳斯阵有一行全为0，表示有共轭虚根。令：辅助方程为：⑸出射角：对7/旅6/犹20枕2310⑺绘制吉根轨哑迹图阔，见辩下图-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5RealAxisImagAxis7/糊6/卷20开2311特殊情况：对于开环传递函数有零极点相对消的情况。-如：则：，引起特征方程阶数的下降。处理方法见下图：-式中：以开环传递函数绘制根轨迹可得的极点。闭环系统的极点由和组合而成。由零极点相对消减少的极点由的极点来补充。见下页图。7/飘6/伙20升23127/箭6/跑20宫2313二、绵多回葵路系昌统的偿根轨铜迹简单笔处理巩办法摆：将多僵回路材系统顷等效凡为单侍回路计系统贱，再与绘制指18剩0度级根轨歪迹或伤参量秆根轨衔迹。三、阳正反艘馈系患统的追根轨舰迹以上晕我们厚讨论友的都穿是闭幸环负狂反馈皆系统恢的根印轨迹和绘制呢准则倚。在屠实际岂的复守杂系端统中陶，可渔能有润局部剧的正姑反馈婆的结址构。效正反帐馈系皮统的壁根轨对迹绘绵制准兵则与吊负反欢馈系杂统根运轨迹党略有畅不同兆。如刷下图肺所示材系统优：+开环传递函数为：闭环传递函数为：7/董6/有20负2314相应的跟轨迹方程为：幅值条件和相角条件为：与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件不同。负反馈系统的相角条件是180度等相角条件；而正反馈系统的相角条件是0度等相角条件。注意垄：负反吉馈系宅统根响轨迹略称为药18故0度植根轨渠迹或娃简称介为根胡轨迹赖；正反违馈系扒统根叔轨迹围称为仁0度北根轨投迹。7/蜻6/辞20闭2315绘制断0度其根轨献迹的辨基本唯准则么：对称穗性和等连续谨性同盛常规秃根轨妙迹；起点创、终恩点和腐根轨停迹支彻数同葱常规爬根轨还迹；渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为：，有n-m个角度。实轴雅上的岁根轨末迹：存其右方实龟轴上敬的开毙环零糕极点惰之和煌为偶湾数（斜包括尾0）钥的区淋域。分离校点、毯会合纷点和似分离词角：者同常升规根镜轨迹结；7/渣6/妙20合2316与虚俱轴的溪交点牌：同躬常规免根轨趁迹；闭环冤极点海之和员与之阶积：殊同常分规根禽轨迹苍。出射若角和仿入射轧角：7/桂6/厕20剖2317[例4-9]：设单位正反馈系统的开环传递函数为：，试绘制系统的根轨迹。起点汗在0辈，-层1，怕-5恰处，爽终点善在无墓穷远川处。各有3茄支根连轨迹偶。渐进线：与实轴的交点倾角：实轴上根轨迹区间：[-5，-1]，[0，）分离角（点）：由得：显然，，不在根轨迹上。分离点为：。[解前]：7/速6/家20鞭23187/倚6/盆20千2319比较榨正负超反馈毁的根异轨迹荒方程猴：若开环券传递瞒函数恒为：则正负反馈的根轨迹方程分别为：可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的从时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得 时的整个区间的根轨迹，请阅读p1垒35敌,图4限-2椒9及并下页富比较赠图。7/愿6/墓20彼2320左图为勿正反馈公（0慢度）温根轨鲜迹图要；右桃图为茅负反嫩馈（陶18参0度纸）根禾轨迹炕图；将例4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：作业杨：4拣-2a,李b，该4-粗3a腿，4佩-47/忠6/竹20辆2321小结手工纸绘制酒18异0度洪根轨稳迹