现代分析测试技术晶体几何学基础

现代分析测试技术晶体几何学基础1第1页，课件共85页，创作于2023年2月26.1正空间点阵6.1.1晶体结构与空间点阵第2页，课件共85页，创作于2023年2月3[Ni2(teta)3](Ge4S10)

H2O

Cryst.GrowthDes.2011,11,3318–3322Inorg.Chem.2012,51,472−482(CH3NH3){[Mn(phen)2](AsVS4)}

phen

第3页，课件共85页，创作于2023年2月4

气体、非晶体和晶体中质点排列(a)惰性气体无规则排列；(b),(c)水蒸气和玻璃的短程有序；(d)长程有序排列第4页，课件共85页，创作于2023年2月5以NaCl晶体为例ClNa5.628Å晶体：内部质点在三维空间按周期性重复排列的固体；或者说晶体是具有格子构造的固体。第5页，课件共85页，创作于2023年2月6

晶体结构中各类等同点所构成的几何图形是相同的。因此，可以用各类等同点排列规律所共有的几何图形来表示晶体结构的几何特征。第6页，课件共85页，创作于2023年2月7在晶体内部原子或分子周期性地排列，可以用一些在空间有规律分布的几何点来表示这些原子或分子，这些几何点阵点或结点。阵点代表的是晶体结构中占据相同的位置和具有相同的环境的原子或分子。第7页，课件共85页，创作于2023年2月8结点按一定周期性规律排列在空间并与晶体中原子或分子的排布完全相同，将相邻结点按照一定的规则连接起来便构成一个空间点阵（无限几何图形）。第8页，课件共85页，创作于2023年2月9第9页，课件共85页，创作于2023年2月10晶体结构=点阵+结构基元以NaCl晶体为例，等同点可以选在Na离子或Cl离子的中心，也可以选在其它部位。ClNa第10页，课件共85页，创作于2023年2月11空间点阵示意图

单位阵胞

整个空间点阵可以看作是由一个最简单的平行六面体在三维方向上重复堆积而成，此平行六面体称为单位阵胞或单胞。第11页，课件共85页，创作于2023年2月12单胞的大小形状可用3条晶轴的轴长a、b、c及轴间的夹角α、β、γ来描述，这六个参数称为点阵参数或晶胞参数第12页，课件共85页，创作于2023年2月13七种晶系：

所有的结点实际上是三组平面的交点，这三组平面的排布方式不同会构成不同的点阵。能够得到空间点阵的形状只有七种，把这七种空间点阵称为七种晶系。立方四方正交三方单斜三斜六方第13页，课件共85页，创作于2023年2月14晶体结构中质点分布除周期性外，还具有对称性。为了使单位阵胞能同时反映出空间点阵的周期性和对称性，简单阵胞是不能满足要求的，必须选取比简单阵胞体积更大的复杂阵胞。7种晶系的特点是所有阵点都在平行六面体角上。第14页，课件共85页，创作于2023年2月15单位阵胞与复杂阵胞单位阵胞：只在顶点上有结点。复杂阵胞：结点不仅可以分布在顶点，而且也可以分布在体心、底心或面心。第15页，课件共85页，创作于2023年2月16选取复杂阵胞的条件：1.能同时反映出空间点阵的周期性和对称性；2.在满足1的条件下，有尽可能多的直角；3.在满足1和2的条件下，体积最小。第16页，课件共85页，创作于2023年2月17法国晶体学家布拉菲经长期的研究表明,按上述三条原则选取的阵胞只能有14种,称为14种布拉菲点阵。根据结点在阵胞中的位置不同，可将点阵分为4种点阵类型：简单（P）、底心（C）、体心（I）、面心（F）。强调：点阵的分类是基于对称性。在反映对称性的前提下，仅有14种Brabais点阵。第17页，课件共85页，创作于2023年2月18格点数计算：

Ni、Nf、Nc分别为单胞内、单胞面上、单胞角上的结点数不同点阵类型及其阵点坐标

第18页，课件共85页，创作于2023年2月19ab◆简单点阵（P，primitive）只在平行六面体的顶点上有阵点，每个晶胞只有一个阵点，阵点坐标为(0,0,0)第19页，课件共85页，创作于2023年2月20除8个顶点外，体心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含有两个阵点(0,0,0);(½,½,½)。◆体心点阵（I，Body-CentereInnenzentriert）第20页，课件共85页，创作于2023年2月21除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有。因此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为(0,0,0);(½,½,0)。（C心）◆底心点阵（C，End-CenteredA,BorC（C））第21页，课件共85页，创作于2023年2月22除8个顶点外，每个面心上有一个阵点，每个阵胞上有4个阵点，其坐标分别为(0,0,0);(½,½,0);(½,0,½);(0,½,½)◆面心点阵（F，FaceCentered）第22页，课件共85页，创作于2023年2月23每一个晶系都应该有四种类型的空间点阵，但由于有的点阵类型不符合所在晶系的对称要求，有的点阵类型可以转化成另一种类型，真正不同的点阵只有14种，称为14种布拉菲空间点阵，也叫14种布拉菲空间格子(BravaisLattices)。七大晶系及其所属布拉菲点阵第23页，课件共85页，创作于2023年2月24aaaaaaaaa立方晶系

(Cubicsystem)a=b=c,a=b=g=90

SimpleBody-centeredFace–centered第24页，课件共85页，创作于2023年2月25acaaca四方晶系（正方晶系）

Tetragonala=b

c,a=b=g=90

Body-centered(I)Simple(P)第25页，课件共85页，创作于2023年2月26bccab正交晶系（斜方晶系）

Orthorhombica

b

c,a=b=g=90

Simple(P)Base-centered(C)Body–centered(I)Face–centered(F)a第26页，课件共85页，创作于2023年2月27abcabcaa单斜晶系monoclinica

b

c,b=g=90

aSimple简单格子(p)Base-centered底心格子(C)第27页，课件共85页，创作于2023年2月28babcag三斜晶系triclinica

b

c,a

b

g

90

简单格子(p)独立的晶胞参数a、b、c、α、β、γK2CrO7第28页，课件共85页，创作于2023年2月29a=b

c,a=b=90,g=120

六方晶系

Hexagonal（H）ac第29页，课件共85页，创作于2023年2月30aaaaa三方(菱形)晶系

Rhombohedral（R）a=b=c,a=b=g

90

第30页，课件共85页，创作于2023年2月31汇总：7个晶系及其所属的布拉菲点阵晶系点阵常数布拉菲点阵点阵符号晶格内结点数结点坐标立方a=b=cα=β=γ=90º简单立方体心立方面心立方PIF124000000,1/21/21/2000,1/21/20,1/201/2,01/21/2正方(四方)a=b≠cα=β=γ=90º简单正方体心正方PI12000000,1/21/21/2斜方(正交)a≠b≠ca=b=γ=90

简单斜方体心斜方底心斜方面心斜方PICF1224000000,1/21/21/2000,1/21/20000,1/21/20,1/201/2,01/21/2简单晶胞：晶胞内仅含1个结点；复杂晶胞：晶胞内含1个以上结点。第31页，课件共85页，创作于2023年2月327个晶系及其所属的布拉菲点阵（续)晶系点阵常数布拉菲点阵点阵符号晶格内结点数结点坐标菱方(三方)a=b=cα=β=γ≠90º简单菱方R1000六方a=b≠cα=β=90ºγ=120º简单六方P1000单斜a≠b≠cα=γ=90º≠β简单单斜底心单斜PC12000000,1/21/20三斜a≠b≠cα≠β≠γ≠90º简单三斜P1000第32页，课件共85页，创作于2023年2月33自然界的物质分晶体和非晶体两大类，只要属于晶体，则必然可以归为14种Bravais空间格子中的一种。第33页，课件共85页，创作于2023年2月34

6.1.2晶向和晶面ac第34页，课件共85页，创作于2023年2月35晶向指数确定方法建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c；在晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐标，让第一点在原点则下一步更简单)；计算x2-x1=xa，y2-y1=yb,z2-z1=zc；计算x：y：c，并化成最小整数比u：v：w；放在方括号[uvw]中，不加逗号，负号记在上方。...第35页，课件共85页，创作于2023年2月36晶面符号晶面符号：表示晶面在空间中方位的符号（hkl），称为晶面符号或密勒符号，整数hkl称为晶面指数或密勒指数。晶面符号的确定步骤：①选定以晶轴a、b、c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c。②求出待标晶面在a、b、c轴上的截距pa、qb、rc,则截距系数分别为p、q和r。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。第36页，课件共85页，创作于2023年2月37

（332）

③取截距系数的倒数比，并化简。即：1/p:1/q:1/r=h:k:l（h:k:l应为简单整数比）④去掉比例符号，以小括号括之，写成（hkl）,即为待标定晶面的米勒符号。h、k、l为晶面指数。xyz第37页，课件共85页，创作于2023年2月38常见晶面的Miller指数(312)(211)第38页，课件共85页，创作于2023年2月39(100)(001)(001)(111)(110)常见晶面的Miller指数abc第39页，课件共85页，创作于2023年2月40立方晶系几组晶面及其晶面指标。（100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行；（110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行；（111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1(100)(110)(111)在点阵中的取向第40页，课件共85页，创作于2023年2月41晶面族的表示

在立方晶系晶体中，由于原子的排列具有高度的对称性具有等同条件而只是空间位向不同的各组晶面（即这些晶面的原子排列情况、晶面间距等完全相同，但相互不平行），可归并为一个晶面族，用{hkl}表示。例如，立方晶体中某些晶面族所包括的等价晶面为：第41页，课件共85页，创作于2023年2月42共6个等价面。共4个等价面。第42页，课件共85页，创作于2023年2月43

立方晶系的等价晶面具有“类似的指数”：指数的数字相同，符号（正负号）和排列次序不同。只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们是否为等价晶面。

对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包括的晶面数目就不一样。例如正交晶系，晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。注意:

第43页，课件共85页，创作于2023年2月44晶向族的表示与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向（原子排列情况相同，但在空间位向不同），可归并为一个晶向族，用<uvw>表示。第44页，课件共85页，创作于2023年2月45它与晶胞参数和晶面指标有关。一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用dhkl表示，如对于（010），为d010。

晶面间距dhkl第45页，课件共85页，创作于2023年2月46晶面间距计算公式

第46页，课件共85页，创作于2023年2月47一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大，而晶面指数数值较大的则相反。第47页，课件共85页，创作于2023年2月48例某晶体的晶胞参数如下a=7.417Å,b=4.945Å,c=2.547Å,a=b=g=90，计算d110和d200。d110=4.11Å,d200=3.71Åa

b

c,a=b=g=90

正交晶系第48页，课件共85页，创作于2023年2月49

晶体中平行于同一晶向[uvw]的所有晶面（hkl）的总体称为晶带，而此晶向称为晶带轴,并以相同的晶向指数[uvw]表示，其矢量坐标表达式为：ruvw=ua+vb+wc

6.1.3晶带

第49页，课件共85页，创作于2023年2月50

晶带轴[uvw]与属于该晶带的晶面（hkl）之间存在以下关系：hu+kv+lw=0凡满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带定理。证明：由于同一晶带中各晶面的法线与晶带轴垂直，也就是各晶面的倒易矢GHKL与晶带轴垂直，因此有：ruvw•GHKL=0由：ruvw•GHKL=

(ua+vb+wc)•(hA+kB+lC)=0

得:hu+kv+lw=0第50页，课件共85页，创作于2023年2月51

已知两个不平行的晶面（h1k1l1），（h2k2l2）同属于一个晶带，求它们的晶带轴[uvw]：晶带定理=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1)利用晶带定理求解晶带轴第51页，课件共85页，创作于2023年2月52晶带定理表明了晶带轴指数[uvw]与属于该晶带之晶面的晶面指数(HKL)的关系。注意：ruvw是晶带轴[uvw]的坐标矢量，而Ghkl是晶面组(hkl)法线的坐标矢量(倒易矢)。第52页，课件共85页，创作于2023年2月536.2倒易点阵

1）倒易点阵概念倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家布拉未所采用，1921年厄瓦尔德发展了这种晶体学表达方法。正点阵：与晶体结构相关，描述晶体中物质的分布规律，是物质空间或正空间。倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射强度的分布，是倒空间。第53页，课件共85页，创作于2023年2月54倒易点阵是一种虚点阵，它是由晶体内部的正点阵按照一定的规则转化来的，是晶体点阵的另一种表达形式。可以将晶体点阵结构与其电子或X射线衍射斑点很好联系起来。我们观测到的衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易点阵的投影。倒易点阵的概念现已发展成为解释各种X射线和电子衍射问题的有力工具．也是现代晶体学中的一个重要组成部分。第54页，课件共85页，创作于2023年2月556.2.1倒易点阵引入引入倒易点阵的目的：为了更好地揭示晶体点阵中阵点平面族的两个重要特征，即阵点平面族的取向及平面间距dhkl。第55页，课件共85页，创作于2023年2月56每一个衍射斑点是由一支衍射波造成的，而该衍射波是一组特定取向的晶面对入射波衍射的结果，反映该组晶面的取向和面间距。点一组晶面

二维问题一维化处理

第56页，课件共85页，创作于2023年2月576.2.2倒易点阵的定义

设有一正点阵S，它由三个点矢a，b，c来描述.现引入三个新基矢A,B,C，由它决定另一套点阵S*。新基矢A,B,C与正点阵基矢a,b,c的关系为：ABC由新基矢决定的新点阵S*称作正点阵S的倒易点阵。ABCV

V

V

第57页，课件共85页，创作于2023年2月58

倒易点阵任一基矢和晶体点阵中的两基矢正交。ABC第58页，课件共85页，创作于2023年2月59倒易点阵与正点阵正点阵晶胞基矢：a,b,c点阵矢量：倒易点阵晶胞基矢：A,B,C倒易点阵矢量：倒易矢量：以某一倒易阵点为坐标原点(倒易原点，一般取其与正点阵坐标原点重合)，以A,B,C分别为三条坐标轴的单位矢量建立坐标系，由倒易原点向任意倒易阵点(倒易点)的连接矢量叫倒易矢量。第59页，课件共85页，创作于2023年2月60倒易矢量用G=hA+kB+lC表示，其中(h,k,l)为倒易点的坐标值，它的端点是hkl倒易阵点，如果h,k,l取遍所有整数值，既构成无穷尽的倒易点阵，正如正空间点阵矢量的端点处的阵点构成正点阵一样。第60页，课件共85页，创作于2023年2月616.2.3倒易点阵与正空间点阵的关系

①以h,k,l为指数的倒易点阵矢量Ghkl=hA+kB+lC垂直于正点阵中相应的(hkl)晶面；②并且其长度等于(hkl)的面间距dhkl的倒数。G(hkl)第61页，课件共85页，创作于2023年2月62点乘：内积；结果为一个数向量a向量b=|a||b|cos<a,b>叉乘：外积；结果为一向量|向量c|=|向量a向量b|=|a||b|sin<a,b>知识补充：向量三角形法则：OAB向量a向量b向量c→→→OB=OA+AB证明：

第62页，课件共85页，创作于2023年2月631-1|a/h||b/k||c/l|倒易点阵定义只需证明：G垂直于(hkl)面上任意两条不平行的直线a/h–c/lb/k–c/l第63页，课件共85页，创作于2023年2月641倒易点阵矢量等于(hkl)晶面在任一坐标轴上的截距(如，OA)在G方向（即，垂直于(HKL)晶面的方向）的投影值。第64页，课件共85页，创作于2023年2月65dd100200*o000100200晶面与倒易矢量(倒易点)的对应关系G200=1/d200G100=1/d100(100)第65页，课件共85页，创作于2023年2月661）单位是互为倒易的，正空间长度单位为nm,倒易空间的长度单位为1/nm.2）正点阵的晶胞形状是互为倒易的，长轴变短轴，锐角变钝角。注意：

第66页，课件共85页，创作于2023年2月67倒易点阵的作法

首先求基矢，然后利用基矢绘图。由a,b,c,α,β,γ求a*,b*,c*,α*,β*,γ*进而求倒易点阵.求解思路：

(1),同样可求得b*,c*。

(2)同样可求得α

*,β

*。,同样可求得

*,

*。(3)作图（倒易晶胞参数确定，倒易点阵即确定）第67页，课件共85页，创作于2023年2月68课堂习题

1.试求出立方晶系[111]晶带的倒易点阵平面。解：首先，根椐晶带定律找出两个不共线的倒易点。用试探的方法代入晶带定律(hu+kv+lw=0),随即找出两个不共线的倒易点（对应的是晶带中两个晶面），如其次，计算两倒易点对应倒易矢量的长度和夹角。|Ghkl|=[(h/a)2+(k/b)2+(l/c)2]1/2

|G1-10|=|G10-1|=[2/a]1/2

对于立方晶系：为两倒易矢量间的夹角第68页，课件共85页，创作于2023年2月69最后，根椐点阵特征周期性，绘出晶带其它的倒易点。注意：正空间七大晶系在倒易空间它的晶系仍然不变。正空间所有的矢量运算，在倒易空间均能用。第69页，课件共85页，创作于2023年2月70正空间倒空间晶带正空间与倒空间对应关系图晶带与倒易面第70页，课件共85页，创作于2023年2月71

正空间的一个晶带所属的晶面可用倒易空间的一个平面表示，晶带轴［uvw]方向即为此倒易平面的法线方向。正空间的一组二维晶面就可以用一个倒空间的一维矢量或零维的点表示，这种表示的方法可以使晶体学关系简单化。第71页，课件共85页，创作于2023年2月72

正点阵中的每组平行晶面(hkl)相当于倒易点阵中的一个倒易点，倒易矢量方向与这组晶面垂直；倒易点至原点的距离为该组晶面间距的倒数(1/dhkl)。第72页，课件共85页，创作于2023年2月73实空间晶体（规则排列的原子）衍射点X射线衍射倒易空间倒易点实空间函数（电子密度是原子之间距离的函数）倒空间的函数(衍射点强度是倒格矢的函数)傅里叶变换一一对应第73页，课件共85页，创作于2023年2月74End第74页，课件共85页，创作于2023年2月75晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。为了避免混乱，必须对晶轴的选择作共同的规定。第75页，课件共85页，创作于2023年2月76晶系晶体几何常数晶轴的选择三斜晶系ａ≠ｂ≠ｃα≠β≠γ以任意三条晶棱方向或角顶连线为a、b、c轴单斜晶系ａ≠ｂ≠ｃα＝γ＝90°β≠90°以唯一的L2或对称面法线为b轴，2条垂直于b轴的晶棱方向为a、c轴正交晶系ａ≠ｂ≠ｃ、α＝β＝γ＝90°以3个互相垂直的L2为a、b、c轴；或以唯一的L2为c轴…四方晶系ａ＝ｂ≠ｃ、α＝β＝γ＝90°以唯一的L4为c轴，垂直于c轴的2条互相垂直的L2为a、b轴…三方晶系ａ＝ｂ＝ｃ、α＝β＝γ≠90°以唯一的L3为c轴，垂直于c轴的3条L2为a、b、d轴…六方晶系ａ＝ｂ≠ｃ、α＝β＝90°γ＝120°以唯一的L6或Li6为c轴，垂直于c轴的3条L2为a、b、d轴…立方晶系ａ＝ｂ＝ｃ、α＝β＝γ＝90°以互相垂直的3L4个分别为a、b、c轴根据晶胞参数的关系----7大晶系第76页，课件共85页，创作于2023年2月77四方三方四方第77页，课件共85页，创作于2023年2月78六方格子（H）和三方格子（R）在描述的时候可以互相转化，但并非完全意义上的等同。一般情况下，在结构描述的时候，都按六方格子来描述。但三方格子在转化成六方格子时，其六方晶胞的形状虽然完全等同于六方格子，但其中结点的分布与真正的六方有一定差异。第78页，课件共85页，创作于2023年2月79强调：点阵的分类是基于对称性。在反映对称性的前提下，仅有14种空间点阵（Brabais点阵）。单斜C第79页，课件共85页，创作于2023年2月80第80页，课件共85页，创作于2023年2月81倒易点阵是一种数学抽象，它