2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在数，，，，，，，中，有理数有()

A.个B.个C.个D.个

2.实数的整数部分是()

A.B.C.D.

3.的立方根与的平方根的和为()

A.B.C.或D.或

4.若点在第二象限，则点所在象限应该是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.如图所示，直线与相交于点，，若，则的度数为()

A.

B.

C.

D.

6.下面四个命题中，它们的逆命题是真命题的是()

对顶角相等；

同旁内角互补，两直线平行；

直角三角形两锐角互余；

如果，都是正数，那么．

A.B.C.D.

7.将含的直角三角板与直尺如图所示放置，有如下结论：

；；；，

其中正确的个数是()

A.个B.个C.个D.个

8.规定新运算““：对于任意实数、都有，例如：，则的解是()

A.B.C.D.

9.点为直线外一点，点、、为直线上三点，，，，则点到直线的距离为()

A.B.C.D.不大于

10.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点为自然数的坐标为用表示()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.已知，则______．

12.已知点在轴负半轴上，则点的坐标为______．

13.某酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯．已知楼梯的宽度是米，楼梯的总长度为米，总高度为米，其侧面如图所示．已知这种地毯每平方米的售价是元．请你帮老板算下，购买地毯至少需要花费______元．

14.已知关于的方程的解为，则值是______．

15.如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_____________________________。

16.把“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式是：______．

17.观察下列一组数：，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是______为正整数．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

计算：

；

．

19.本小题分

求下列各式中的值．

；

．

20.本小题分

三角形，记在的方格中的位置如图所示，已知，

请你在方格中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标．

把向下平移个单位，再向右平移个单位，请你画出平移后的，若内部有一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______．

在轴上存在一点，使的面积等于，写出满足条件的点的坐标．

21.本小题分

如图，点在线段上，点，在线段上，，．

求证：；

若于点，平分，，求的度数．

22.本小题分

已知、互为相反数，、互为倒数，求的值；

实数、在数轴上的位置如图所示，化简：．

23.本小题分

如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，求的度数．

24.本小题分

问题情境：如图，，，，求的度数小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．

按小明的思路，易求得的度数为______度；

问题迁移：如图，，点在直线上运动，记，，

当点在线段上运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；

如果点在射线或射线上运动时点与点、两点不重合，请直接写出与、之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在数，，，，，，，中，有理数有，，，，，共个．

故选：．

根据有理数的定义，结合所给的数据即可得出答案．

本题考查了实数的知识，注意掌握有理数的定义，是无理数，一定要熟记．

2.【答案】

【解析】解：，

，

，

实数的整数部分是，

故选：．

根据完全平方数进行计算，即可解答．

本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：，

的立方根是，

的平方根是，

或；

故选：．

先化简，再求解立方根与平方根，再求和即可．

本题考查的是算术平方根的含义，立方根的含义，平方根的含义，熟记概念是解本题的关键．

4.【答案】

【解析】直接利用各象限内点的坐标特点得出，的符号进而得出答案．

此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．

解：点在第二象限，

，，

，，

则点在第二象限，

故选：．

5.【答案】

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查的是对顶角和邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．由于，，易求，而，那么，再利用对顶角性质可求．

【解答】

解：，，

，

，

，

．

故选C．

6.【答案】

【解析】解：对顶角相等．它的逆命题是假命题．

同旁内角互补，两直线平行，它的逆命题是真命题．

直角三角形两锐角互余．它的逆命题是真命题．

如果，都是正数，那么它的逆命题是假命题．

故选：．

7.【答案】

【解析】解：如图，，

，，，

，

，

，，，正确，

故选：．

利用平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．

本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8.【答案】

【解析】解：根据题意得，可变为：，

解得：．

故选：．

直接根据题意将原式变形进而解方程得出答案．

此题主要考查了新定义问题、实数运算以及解一元一次方程，正确将原式变形是解题关键．

9.【答案】

【解析】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，

点到直线的距离，

即点到直线的距离不大于．

故选：．

根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．

本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：在中，当时，满足，

当时，满足，

当时，满足，

满足的坐标为．

故选：．

根据题意，分别求出当、、时的值，再从值中探索出所求规律即可．

本题探究了点的坐标的规律，合理的推算取值是解题关键．

11.【答案】

【解析】

【分析】

先依据非负数的性质求得、、的值，然后再代入计算即可．

本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得、、的值是解题的关键．

【解答】

解：，

，，，

，，．

．

故答案为：．

12.【答案】

【解析】解：点在轴负半轴上，

，

，解得：，

当时，，此时不符合题意，

当时，，

综上：点的坐标为，

故答案为：．

由轴上的点的纵坐标为，建立方程求解即可．

本题考查的是利用平方根的含义解方程，轴上点的坐标特点，熟记轴上点的纵坐标为是解本题的关键．

13.【答案】

【解析】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为米，米，

即可得地毯的长度为米，地毯的面积为平方米，

故买地毯至少需要元．

购买地毯至少需要元．

故答案为：．

根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．

此题考查了生活中的平移现象，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．

14.【答案】

【解析】解：关于的方程的解为，

解得，，

故答案为：．

根据关于的方程的解为，将代入原方程即可求得的值，本题得以解决．

本题考查一元一次方程的解，解题的关键是明确题意，可以求得相应的的值．

15.【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短

【解析】

【分析】

本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．

过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．

【解答】

解：根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，

沿开渠，能使所开的渠道最短．

故答案为连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．

16.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等

【解析】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”，

命题“对顶角相等”写成“如果那么”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”．

故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．

先找到命题的题设和结论，再写成“如果那么”的形式．

本题考查了命题的条件和结论的叙述，注意确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果，那么”的形式．

17.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．根据已知数字得出其分子与分母变化规律，进而得出答案．

【解答】

解：，，，是连续的偶数，则这一组数的第个数的分子是，

，，，是连续的奇数，这一组数的第个数的分母是：，

这一组数的第个数是：．

故答案为：．

18.【答案】解：

；

．

【解析】先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可；

先计算立方根，算术平方根，乘方运算，再合并即可．

本题考查的是实数的混合运算，熟练的求解一个数的立方根，算术平方根是解本题的关键．

19.【答案】解：，

，

，

解得：；

，

，

解得：或．

【解析】先把原方程化为，再利用立方根的含义解方程即可；

直接利用平方根的含义解方程即可．

本题考查的是利用平方根的含义解方程，利用立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的概念是解本题的关键．

20.【答案】解：平面直角坐标系如图所示，点坐标．

设点坐标，

由题意：，

或，

点坐标或．

【解析】根据条件建立平面直角坐标系即可．

根据平移规律画出图象即可，再根据平移后的坐标左减右加，上加下减的规律即可写出点坐标．

设点坐标，列出方程即可解决问题．

本题考查作图平移规律，点的位置与坐标的关系，解题的关键是理解平移的概念，记住平移后的坐标左减右加，上加下减的规律，属于中考常考题型．

21.【答案】证明：，

，

，

，

．

解：，

，

，

，

平分，

，

，

，

．

【解析】欲证明，只要证明即可．

根据，先求出即可解决问题．

本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

22.【答案】解：、互为相反数，、互为倒数，

，，

；

，

，

．

【解析】先求解，，再把原式化为，再整体代入求值即可；

先判断，可得，再化简即可．

本题考查的是相反数，倒数的含义，利用平方差公式分解因式，化简绝对值，求解算术平方根，熟练的利用整体代入的方法求解代数式的值是解本题的关键．

23.【答案】解：如图，

由处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，得

，，．

由得．

由角的和查，得

，．

由三角形的内角和定理，得

．

【解析】根据方向角的表示，可得，，，根据角的和差，可得，，根据三角形的内角和，可得答案．

本题考查了方向角，利用角的和差得出，是解题关键，又利用了三角形的内角和定理．

24.【答案】

【解析】解：如图，过点作，

，

，

，，

，，

，，

．

故答案为：；

，

理由：如图，