人教版 九年级数学讲义 圆及其基本性质(含解析)

第9讲圆及其基本性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习圆及其基本性质，重点掌握圆的有关概念，能够对相关概念进行辨析，其次理解与圆有关的性质、定理及其推论，着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题，本章是中考重点内容之一，也是历年常考难点知识点之一，希望同学们认真学习，为后面的学习奠定良好的基础。知识梳理讲解用时：25分钟圆的圆的相关概念圆的圆的定义①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”；②圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）半径：联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径；（3）直径：经过圆心，并与圆两端相交的线段叫做圆的直径；（4）圆心角：以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角；（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；（6）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；（7）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（8）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（（9）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；（10）等弧：能够重合的两条弧称为等弧；（11）等圆：半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆；（12）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；（13）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。圆的圆的相关性质与结论圆的基本性质圆的基本性质轴对称性圆是轴对称图形，对称轴是所有经过圆心的直线，因而有无数条对称轴；中心对称性圆是中心对称图形，圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合；圆心角、弧、弦的关系定理在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧；（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相等；三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。圆周角定理圆周角定理（1）定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2）推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；（3）注意①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化；②圆周角和圆周角的转化可 利用其“桥梁”——圆心角转化；③定理成立的条件是“同一条弧所对的” 两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角 与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。课堂精讲精练【例题1】如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）。A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm【答案】C【解析】本题考查了圆的基本概念，∵AB=2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：根据圆的认识进行解答即可。教学建议：根据圆的概念进行解答。难度：2适应场景：当堂例题例题来源：顺义区一模年份：2018【练习1】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段是圆O的半径；线段是圆O的弦，其中最长的弦是；是劣弧；是半圆。【答案】OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；、；、；【解析】本题考查弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义，如图，若点O为⊙O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；线段AC、AB、BC是圆O的弦，其中最长的弦是AC；、是劣弧；、是半圆。讲解用时：5分钟解题思路：根据弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义解答即可教学建议：熟练掌握基本知识。难度：3适应场景：当堂练习例题来源：保亭县期中年份：2016秋【例题2】有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆。其中错误说法的个数是（）。A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】本题考查了弦与直径、弧与半圆的区别及确定圆的条件，①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧，但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确。其中错误说法的是①③两个，故选：B。讲解用时：5分钟解题思路：根据弦弧的定义以及确定圆的条件判断即可。教学建议：不要将弦与直径、弧与半圆混淆。难度：3适应场景：当堂例题例题来源：长清区期末年份：2016秋【练习2】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）半径相等的圆是等圆；（3）等弧能够重合；（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（）。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】本题考查了弦、弧以及半径等相关概念的理解，（1）长度相等的弧是等弧，错误；（2）半径相等的圆是等圆，正确；（3）等弧能够重合，正确；（4）半径是圆中最长的弦，错误；其中正确说法有两个，故选：B。讲解用时：3分钟解题思路：根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断。教学建议：熟练掌握基本概念。难度：3适应场景：当堂练习例题来源：淮南月考年份：2017秋【例题3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=。【答案】10°【解析】本题考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°﹣2×50°=80°，∴∠ACD=90°﹣80°=10°．讲解用时：5分钟解题思路：先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余。教学建议：注意隐含条件CD=BC。难度：3适应场景：当堂例题例题来源：陕西模拟年份：2017【练习3】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于。【答案】28°【解析】本题考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．讲解用时：5分钟解题思路：利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可。教学建议：连结OD，则CO=DO=BO=DE。难度：3适应场景：当堂练习例题来源：平南县一模年份：2016【例题4】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为。【答案】20°【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=70°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=20°，∴∠BDC=∠BAC=20°．讲解用时：5分钟解题思路：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数。教学建议：注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键。难度：3适应场景：当堂例题例题来源：苏州模拟年份：2018【练习4】已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是。【答案】65°【解析】此题主要是考查了圆周角定理的推论的运用，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∠BAD=25°，∴∠B=65°，∴∠C=65°．讲解用时：3分钟解题思路：根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠B=65°，再根据同弧所对的圆周角相等进行求解。教学建议：注意∠ABD=∠ACD。难度：3适应场景：当堂练习例题来源：长春一模年份：2018【例题5】如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，=，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD。【答案】连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵=，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及三角形全等的判定和性质，连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵=，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．讲解用时：8分钟解题思路：连接OA、OB，根据半径相等得到∠A=∠B，根据等弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOD，根据三角形全等的判定定理证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质证明结论。教学建议：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等。难度：4适应场景：当堂例题例题来源：溧水区期末年份：2017秋【练习5】如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD。【答案】连接AC，∵∠AOB=90°，C、D是的三等分点，∴∠AOC=∠COD=30°，∴AC=CD，又OA=OC，∴∠ACE=75°，∵∠AOB=90°，OA=OB，∴∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°，∴∠ACE=∠AEC，∴AE=AC，∴AE=CD．【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，连接AC，∵∠AOB=90°，C、D是的三等分点，∴∠AOC=∠COD=30°，∴AC=CD，又OA=OC，∴∠ACE=75°，∵∠AOB=90°，OA=OB，∴∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°，∴∠ACE=∠AEC，∴AE=AC，∴AE=CD．讲解用时：10分钟解题思路：连接AC，根据题意证明AE=AC，由AC=CD得到答案。教学建议：灵活运用三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键，注意等量代换的运用。难度：4适应场景：当堂练习例题来源：周村区一模年份：2015【例题6】如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径。【答案】（1）∠ABD=45°；（2）3【解析】本题考查了圆周角定理，（1）∵∠C=45°，∴∠A=∠C=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=45°；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，∴AB=6，∴⊙O的半径为3．讲解用时：8分钟解题思路：（1）求出∠A的度数，继而在Rt△ABD中，可求出∠ABD的度数；（2）连接AC，则可得∠CAB=∠CDB=30°，在Rt△ACB中求出AB，继而可得⊙O的半径。教学建议：熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键。难度：4适应场景：当堂例题例题来源：铜陵县一模年份：2018【练习6】如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE。（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC=6，则当CD=时，四边形EBCA是矩形．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵∠E=∠BAC，∴∠E=∠DACM∵BE∥AC，∴∠E=∠ACE，∴∠ACE=∠DAC，∴AD∥EC．（2）CD=6【解析】本题考查圆周角定理、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵∠E=∠BAC，∴∠E=∠DACM∵BE∥AC，∴∠E=∠ACE，∴∠ACE=∠DAC，∴AD∥EC．（2）解：当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ACD=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ABD=∠D，∴AB=AD，∴BC=CD=6．讲解用时：10分钟解题思路：（1）欲证明AD∥EC，只要证明∠ACE=∠DAC即可；（2）当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可解决问题。教学建议：（2）根据等腰三角形的性质即可解决问题。难度：4适应场景：当堂练习例题来源：尉氏县一模年份：2018【例题7】如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F。（1）求证：CF=BF；（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长。【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∴∠ECB=∠A，又∵C是的中点，∴=，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；（2）半径为5，CE=【解析】此题考查了圆周角定理、弧、弦的关系、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∴∠ECB=∠A，又∵C是的中点，∴=，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；（2）解：∵=，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90°，∴AB=，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=AB•CE=BC•AC，∴CE===．讲解用时：10分钟解题思路：（1）要证明CF﹦BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，则∠CEB﹦90°，则∠ECB=∠A；再利用C是的中点，∴∠DBC=∠A，得证；（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径，再利用面积法可以求出CE的长度。教学建议：灵活运用圆的基本性质解答。难度：4适应场景：当堂例题例题来源：下城区期中年份：2016秋【练习7】如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧和弧是否相等，并说明理由。【答案】【解析】本题考查了平行四边形性质、平行线性质、圆心角和弧与弦的关系定理等知识点的应用，=，理由：连接AE，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，∴∠GAF=∠FAE，∴．讲解用时：8分钟解题思路：要证明=，则要证明∠DAF=∠GAD，由AB=AF，得出∠ABF=∠AFB，平行四边形的性质得出，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出=。教学建议：关键是求出∠DA