江苏省泰州市实验中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析

江苏省泰州市实验中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在横坐标为-1的点处的切线为，则点到直线的距离为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A2.函数的值域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：C4.在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C.试题分析：由题意易得：，作平面于，由对称性可知，因此，问题转化为在平面内，体对角线上找一点使得最小，如下图所示，过点作它关于直线的对称点，交直线与点,再过点作于点，交于点，则的长度即为所求的最小值，易得，∴，，.考点：立体几何中的最值问题.5.若，，,则=

（

）

A．2009

B．2010

C．2011

D．1

参考答案：C略6.等差数列中，已知则A.

B.

C.4

D.5参考答案：A略7.已知，，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．9.已知，则=（

）A．

B．

C．D．参考答案：D．解：Z=1+，，，故选D．10.下列三个数，大小顺序正确的是A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为

．参考答案：1试题分析：．考点：1、向量的数量积运算；2、向量加法．

12.函数的定义域为

．参考答案：.试题分析：因为函数的定义域应满足：，且，解之得，故应填.考点：1、函数的定义域；2、对数函数；13.函数f(x)=+ln(x+1)的定义域是

。参考答案：14.已知函数，在下列四个命题中：①的最小正周期是；②的图象可由的图象向右平移个单位得到；③若，且，则；④直线是函数图象的一条对称轴，其中正确命题的序号是

（把你认为正确命题的序号都填上）．参考答案：③④15.已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，0]【考点】导数的运算．【分析】先对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0问题，进而求出参数a的取值范围．【解答】解：y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0．实数a的取值范围是（﹣∞，0]．故填：（﹣∞，0]．16.小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有

▲

种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为

▲

.参考答案：32；

超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元，如果掏出纸币50元，则2张20元，1张10元，或3张10元，1张20元，共有；如果掏出纸币60元，则2张20元，2张10元，或3张20元，共有；如果掏出纸币70元，则3张20元，1张10元，或2张20元，3张10元，共有；如果掏出纸币80元，则3张20元，2张10元，共有；如果掏出纸币90元，则3张20元，3张10元，共有；综上，共有种.设“如果不放回的掏出4张，刚好是50元”为事件，则所有的基本事件的总数为，中含有的基本事件的总数为，故.所以分别填.

17.函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=

．参考答案：4【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数．（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式；（2）已知0＜a＜1，求证：f（）＞0；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程组，即可求出a，b的值；（2）将x=待入f（x）的解析式，构造函数，通过求导可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（）＞0；（3）求导，f'（x）=，对参数a进行分类讨论，易知a≤0，或a≥时，f（x）至多一个零点，不符题意；当0＜a＜时，f（x）存在两个极值点x1，x2，通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是．【解答】解：（1）在中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，∴a=b，∵，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，∵f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5），∴k=，∴1﹣2a=5，得a=﹣2，∴；（2）令，则∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴x∈（0，1）时，故0＜a＜1时，f（）＞0；（3），①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多一个零点，不符题意；

②当时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多一个零点，不符题意；③当时，令f′（x）=0，解得，，此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0，∵，∴，使得f（x0）=0，又∵，∴f（x）恰有三个不同的零点：综上所述，a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究切线方程，利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．19.某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大.为此有关专家提出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施.实施方案1：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5.实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数.（1）分别求，的分布列和数学期望；（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元.为了实现两年后的平均利润更大，应该选择哪种方案？参考答案：（1）分布列见解析，期望分别为；（2）应选择方案2．试题分析：（1）利用相互独立事件同时发生的概率思想可求得的所有可能取值及相应的概率，从而得分0.8811.11.250.30.30.20.2的可能取值为，其分布列为0.8811.21.50.20.30.20.3（2）设实施方案1、2的平均利润为利润1、利润2，根据题意：利润1（万元）利润2（万元），∴利润1<利润2，∴实施方案2平均利润更大，故应选择方案2.考点：随机变量分布列，数学期望，用样本估计总体．20.已知等比数列{an}的首项为2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且，，.（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由，求得，进而求得公比，根据等比数列通项公式求得；根据求得和，根据等差数列通项公式求得；（2）根据（1）可求得，根据等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）设数列的公比为，数列的公差为由，得：

.由得，解得：（2）由（1）知，数列的前项和【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的求解、等比数列前项和的求解，关键是能够通过已知条件求解出等差和等比数列的基本量，进而得到通项公式；求和时，要根据通项公式的形式确定具体的求和方法.21.已知函数.（I）若是上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，记的最小值为，证明：.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【分析】（I）问题转化为或恒成立，令g（x）＝，通过求导求出g（x）的最小值，从而求出a的范围（Ⅱ）由（I）可得当时，在有唯一的，使得a=且得到，从而得到的最小值为，分解因式分析正负可证得左边成立，再通过构造函数，求导分析得到最大值，证得结论.【详解】（I）求导得，由题意知，设，则，在递减，在上递增，即是的极小值点，所以，要使是上的单调函数，即或恒成立，只有.（Ⅱ）令，即a=xlnx，在在上递增，当时，在有唯一的，使得a=又由的单调性，知，即，所以的最小值为，将代入，得，从而知，另一方面，记，求导得，当时，所以是的唯一极大值点，即，有，综上所述，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查了构造法的技巧及分析问题的能力，属于难题．22.（12分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中点，

（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角正弦值；

（Ⅲ）求二面角B—AC—G的平面角的正弦值

参考答案：解析：解法一（几何法）

（Ⅰ）证明：正方形ABCD

∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF

∵AG，GB面ABEF，

∴CB⊥AG，CB⊥BG又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG

∵CG∩BG=B，∴AG⊥平面CBG

面AG面AGC，故平面AGC⊥平面BGC.…4分（Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，

∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角∴Rt△CBG中又BG=，∴

……8分