上海大学随机过程第六章习题及答案

第三章习题1・甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为P，乙胜的概率为q，平局的概率为r，其中p,q,r<0,p+q+r二1，设每局比赛后，胜者得1分，负者得T分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以X表示比赛至第n局时甲获得的分数,n则｛X,n>1｝是一齐冯马尔可夫链.n（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率.解（1）｛X,n>0｝的状态空间为nS二｛—2,—1,0,1,2｝（2）｛X,n>0｝的一步转移概率矩阵为n_10000_qrp00P=0qrp000qrp_000013）因为两步转移概率矩阵为一1q+rq0r2+pq02pr0p200P(2)=P2=q22rqr2+2pq2prp20q22qrpq+r2p+pr_00001所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为p⑵=p+pr=p(1+r)122.设｛Y,i=1,2,…｝为相互独立的随机变量序列，则i（1）｛Y,i=匕2，…｝是否为Markov链？i（2）令X=EY，问｛X,i=是否为Markov链?niii=1解（1）由于==i)P(Yn=jY1=i,Y=i，…P(Yn=jY1=i,Y=i，…，Y=i)=122n-1TOC\o"1-5"\h\z1122n-1nP(Y=i,Y=i，…，Y=i)1122n-1=P(Yn=j)=P(Y=j|Ynn-1P(Y=i)=P(Yn=j)=P(Y=j|Ynn-11132n-1n—P(Y=i,Y=i，…，Y=i)1122n-1因此，｛Y,n=1,2,・・・｝是马尔可夫链.n(2)取f(U)=X=U，当U=i时，X=U+U是U的函数，记为f(U).依111111212222次类推，X=U+UHFU为U的函数，记为f(U),x=U+UHFUn-112n-1n-1n-1n-1n12n为U的函数，记为f(U).由于U,U，…,U，…相互独立，则其相应的函数nnn12nf(U),f(U)，…，f(U)，…也相互独立，从而1122nnP(X=j|XP(X=j|X=i,X=i，…,X=i)=P(£Y=jX=i,X

n1122_-__n-1ii=1=P(X+Y=jX=i,X=i，…，X=i)=P(Y=j-i)~1122n-1=P(X=j|X=i)nn-1n-1n112=l，…,Xn-1=i)因此｛X,n=1,2,…｝是马尔可夫链.n3设X,i=1,2，…是相互独立的随机变量，且使得P(X=j)=a,j=0,1，…，如果iijX>max｛X,i=1,2，…,n—1｝，其中X=—a，就称在时刻n产生了一个记录.若在时刻nni0产生了一个记录，就称X为记录值，以R表示第n个记录值.nn(1)证明，｛R,n=1,2<-*｝是Markov链，并求其转移概率;n(2)以T表示第i个与第i+1记录之间的时间，问{T,n=1,2,…}是否是Markov链，若是,in则计算其转移概率.证明：(a)根据题意有：R=X,R=X,R=X，……满足1n12n2knkX<X....<X....且1<n<n....<n....n1n2nk12k故P{R=zIR=i,R=i，…R=i}=P{R=zIj>i>i>...>i}kH1kkk-1k-111kH1kk-11=P{R=zIj>i}=P{R=zIR=i}kH1kkH1kk故｛R.,i>1｝是一个马尔可夫链且P{R=zIR=i}=P{X=zIXk+ikkjnk(由于X的独立性)i(b)记T为第i个记录与第i+1个记录之间的时间，T是相互独立的随ii机变量，因为=i,且X<i,k=1,2...,t-1}n+ki由于=i,且X<i,k=1,2...,t-1}n+ki由于X的独立性)iii+1n+tiiIa,j>i=P{R=X=z}={ji+1ni+1[0,j<i故｛T，i>1｝是一个马尔可夫链i令Z=(R,T),i>1TOC\o"1-5"\h\ziii则P{zZ,Z，…,Z}i+1ii-11=P{(R,t)|(R,t),(R,t),•••,(R,t)}i+1I+1IIII-1I-111=P{(X1+t1+-+=P{(X1+t1+-+ti+1i+1,t)(X,t),(X1+t1+?+tii1+t1+?+ti-1,t),•••,(Xi-1,t),(X,t)}1+t1+t2211=P,t)|(X1+t1+••%i+1,t1+t+?+ti1i=P1+t1+-+ti+1=z,t)(Xi+11+t+?+t1ia.，j>i0/j<i故｛(RT),i>1｝是一个马尔可夫链。i,i4考虑一个具有状态0,1,2,…的Markov链，其转移概率满足P=P=1-P，其中i,i+1ii,i-1p=1，请找出为了使该Markov链正常返，所有的p所应该满足的充要条件，并计算其在0i这种情况下的转移概率.解：根据题意知，要满足马尔可夫链为正常返约，当且仅当兀兀=Y兀Pj=0，1，2...jiyi有一组解兀>0，Y兀=1j

根据P二P二1-P，方程可重写为i,i+1ii,i-1兀=兀q011兀二兀P+兀q,i>1ii-1i-1i+1i+1则TOC\o"1-5"\h\z兀q二兀P,i>0i+1i+1iiPP因此匕冗=no•…i,i>0i+10qq1i+1PP从而，随机游动为正常返约的充要条件是兰厶比5q....qi=01i+1捕捉苍蝇的一只蜘蛛依循一个Markov链在位置1，2之间移动，其初始位置是1，转移矩阵为'0.70.3、阵为'0.70.3、.0.30.7丿'0.4，未觉察到蜘蛛的苍蝇的初始位置是2,并依照转移矩阵为c(0.60.6、0.4丿Markov链移动，只要它们在同一个位置相遇，蜘蛛就会捉住苍蝇而结束捕捉.证明：在捕捉的过程中，除非知道它结束的位置，否则都必须用三个状态的Markov链来描述，其中一个是吸收状态，表示结束捕捉，另外两个代表蜘蛛与苍蝇处在不同位置对此求转移矩阵；求在时刻n蜘蛛与苍蝇都处在各自初始位置的概率；求捕捉过程的平均持续时间.证明：捕捉过程中，除非知道它结束时的位置，可用三个状态的马尔可夫链来描述，其中一个是吸收状态代表捕捉结束，而另外的两个代表植蜘蛛与苍蝇处在不同的位置，对此链求转移概率矩阵。求在时刻n蜘蛛与苍蝇都处于各自的出事位置的概率，捕捉过程的平均持续时间是多少？解：(1)根据题意可知，在捕捉过程中共有三个状态，我们分别令为1，2，3则1=｛蜘蛛为1，苍蝇在2｝2=｛蜘蛛为2，苍蝇在1｝3=｛蜘蛛，苍蝇在同一位置｝TOC\o"1-5"\h\z0.280.180.54其中状态3也代表着捕捉结束，则转移概率矩阵为0.180.280.54001

(2)分别设X,Y代表时刻n蜘蛛和苍蝇的位置。nn令p二P{X二1,Y=2}P=P{X=2,Y=1}nnnnnn则有p=P{X=1,Y=2}=nnnP{X=1,Y=2|X=1,Y=2}P+P{X=1,Y=2|X=1,Y=2}P'TOC\o"1-5"\h\znnn-1n-1n-1nnn-1n-1n-1=0.28P+0.18P'n-1n-1同理P'=0.28P'+0.18P且P=0.28,P'=0.18nn-1n-111(3)苍蝇被吃掉的概率为P=P{蜘蛛不动，苍蝇动}+P{苍蝇不动，蜘蛛动}故P=0.7*0.6+0.4*0.3=0.54故捕捉过程的平均时间为1.85在一个分枝过程中，每个个体的后代个数服从参数为(2，p)的二项分布，从一个个体开始，计算：灭绝概率；到第三代群体灭绝的概率；若开始时不是一个个体，初始的群体总数Z是一个随机变量，服从均值为九的泊松分

01布，证明：此时对于p>-，灭绝概率为exp仏(1-2p)/p2}.解(a)设兀二P{灭绝的概率}=£p{灭绝的概率|X=j}P{X=j}1

j=0£“j0£“j0j=0.pj(1-p)2-jIj丿故有兀=(1-p)2+2p(1-p)兀+p2兀2000解得兀=1解得兀=1-2p(1-p)土Q1-4p(1-p=+11-2pI+1-2p+2p2=《02p22p2「1(卩-1)2p2因为E[X]=2p，根据定理4.5.1可知,若P<0.5时，兀=10P>0.5时，兀=(p-1)20p2

1p<0.5艮卩兀=\p—10(—)2,p>0.5〔p(b)II=｛第三代群体首次灭绝｝=工p｛第三代群体首次灭绝|x=j｝｛x=j｝22j=1=为IIjCjpj(1—p)2-j2j=1故II=I【2p2+211p(1—p)(c)II*二p｛群体灭绝｝=另p｛群体灭绝IZ二k｝p｛Z二k｝00k=0=另p｛群体灭绝1Z0=k｝令e鼻k=0E^k兀ke—九二e—九exp｛九兀｝二exp｛九(1—2p)p2｝0k!0k=0一辆出租车流动在三个位置之间，当它到达位置1时，然后等可能的去位置2或3.当它到达位置2时，将以概率1/3到位置1，以概率2/3到位置3.但由位置3总是开往位置1.在位置i和位置j之间的平均时间是t12=20,t13=30,t23=30，且tj=t，.求此出租车最近停的位置是i的(极限)概率是多少？i=1,2,3；此出租车朝位置2开的(极限)概率是多少？有多少比例的时间此出租车从位置2开到位置3?注意，以上均假定出租车到达一个位置后立即开出.解：根据题意有P=1/2,P=1/2,P=1/3,P=2/3,P=01213212332t=t=20,t=t=30,t=301221133123(a)根据=工兀(a)根据=工兀piiji兀=1i(4兀+兀+兀=11231兀=—兀+兀13231兀=—兀22112兀=兀+兀、321323兀=—i73解得｛兀=—21414(b)此出租汽车朝位置2开的极限概率是兀p+兀p，为3/14112332(c)兀pt_,22323(c)兀pt_,22323Y兀Ptjjijiij—X2X30143-x1(30+20)+A(1x20+-x30)+Ax307214331412768转移矩阵称为双随机的，若对于一切j，兰P二1，设一个具有双随机转移矩阵的Markoviji=0链，有n个状态，且是遍历的，求它的极限概率.解：由于Markov链是状态有限的遍历链，极限分布是唯一的平稳分布，满足兀+兀+...+兀=112n兀="兀p,j=1,2,.・・，njiiji=1解得兀解得兀1=兀2=。故极限分布为n9.设齐次Markov链的状态空间为｛1,2,3｝，—步转移概率矩阵为‘1-pp0、

P=1-p0p其中，0<p<1，问该齐次Markov链是否是遍历的，若是，则求其极限分布.解:解记q=1-p，因为q2+pqpqp2P(2)=P(2)=P2=q22pqp2q2pqpq+p2并且p⑵的元素都大于零，所以该齐次马尔可夫链是遍历链.由于齐次马尔可夫链是遍历链，因而其极限分布就是平稳分布.设平稳分布为兀=｛兀,兀，兀｝，求解方程组123

兀=兀P,兀+兀+兀=1123q兀+qK=兀TOC\o"1-5"\h\z121p兀+qK=K32pK+pK=K33K+K+K=1123'p'2_旦7~^2

1+p+p

qIq丿所以极限分布为所以极限分布为1（、1p1+—+〔qIq丿K匕KIqIq丿_、

p（、21++qIq丿10设一个单细胞生物处于两个状态a,B之一，处于状态A的一个个体以指数率a变到状态B；处于状态B的一个个体以指数率0分裂成两个新的A型个体•请为这样的生物群体定义一个合适的连续时间Markov链，并且确定这个模型的适当的参数.解：我们以XC）,XC）分别记t时刻群体中A细胞和B细胞的个数，则链AB&QxQt>o｝是连续时间马尔可夫链。AB且根据题意：处于A的一个个体以指数率a变到状态B；处于状态B的一个个体以指数率0分裂成两个新的A型个体，则转移率为：

,n),(m,n),(m+l,n—1)q(m,n),(m+2,n—1)=np11设系统的“状态”可建模为两状态的连续时间Markov链，其转移率为v二九,v二卩.当01系统状态是i时，“事件”按照速率为Q的泊松过程发生，i二0,1.记N(t)为(0,t)中事件的i个数，求N(t)limtT8t如果初始状态是状态0,求E(N(t)).解：Q假设初始状态处于1并保持z时间，然后转到状态0并保持y时间；然11后再转到状态1并保持z时间，然后再转到状态0并保持y时间；这样22循环往复下去，则过程念,y)}°°构成一交替更新过程。如果初始状态处ii1于0,那么过程念,y)}°°构成了一延迟交替更新过程。ii1设处于状态1时在z时间内得到累积报酬为N(在z时间内事件发生的个数)TOC\o"1-5"\h\ziii处于状态0时，在y时间内得到累积报酬为N(在y时间内事件发生的个数)iii设MC)二到t时刻为止更新的总个数，则有N(t)>N+N+N+N+•••+N,、+N。1122M(t)M(t)N(t)<N+N+N+N+•••+N,、+N(、+N。+N八1122M(t)M(t)M(t)+1M(t)+1由交替更新报酬定理知：NlimNlim—1+N+…+N八1M(t)E在一个周期内系统得到的报酬］E周期长度」aaOaaO+1=九卩1—F

+—

九卩pa+Xa01X+p00limM(thlM(t)+1故有limlimM(thlM(t)+1故有limtsN(t)t01九+A6)若系统的初始状态为0,类似(a)的构造知，过程«y,z)}.“仍然成为一交iii=1替更新过程。由(a)知Nt)=E在一个周期内系统得到的报酬］t工~E周期长度」pa+la=01l+p则EDv(t)］=tX单位时间内发生的事件数L咒+巴tl+p12设有一质点在1，2,3上作随机跳跃，在时刻t它位于三点之一，且在［t,t+h］内依概率2+°(h)分别可以跳到其它两个状态，求转移概率所满足的Kolmogorov方程.解：若i=2,则TOC\o"1-5"\h\zp(h)=—h+o(h)nq=丄,q=1(1)i,i+12i,i+12i,ip(h)(h),p(h)=1-h+o(h)。i,i-12i,ii+1=1，类似可得，Vie{1,2,3},(1)式成立。其中当i=1时，i-1=3i+1=1，Kolmogorov向前方程为11p'=-qp(t)+qp(t)+qp(t)=-p(t)+一p(t)+一p(t)又乞py.=1，故p；■j=1ij(t)+一(1-p2ij-2pj(t)+又乞py.=1，故p；■j=1ij(t)+一(1-p2ij-2pj(t)+2,解得pijij(t)=/一e-2(t-s)ds+p(0)e弋2ij利用初始条件pij•利用初始条件pij•・i二j•・心j，解得p(t)=<ij333313设｛Xt,t>0｝为状态离散连续参数的齐次Markov链，其状态空间为｛12…,m｝，且q=ij1,i主j1-m,i=ji,j=1,2,…,m，〉求即).解：解由题设设知e矩阵为1一m11…1-11-m1…1e=■■■••••••_111••-1-m由向前方程得=(1-m)p(t)+工p(t),igS

dtijikk主j由£p(t)=1，得ikk=1工p(t)=1-p(t)ikijk丰j代入上面的方程，得dj)=(1-m)p(t)+(1-p(t))

dtijij=-mp(t)+1,i,j=1,2,…,mij解之得p(tp(t)=Ceij1-mt+mi,j=1,2,…，m由初始条件p(0)=1,p(0)=0,i丰j，所以:iiij当i=j时，C=1-丄；m当i主j时，C=--；m于是p(t)iimp(t)iim丿i=1,2,•…,mp(t)二(1—e-mt),i,j二1,2,…，mijm14已知齐次马尔可夫链的转移概率矩阵厂12)330111333021<33丿问此马尔可夫链有几个状态？求二步转移概率矩阵.解因为转移概率矩阵是三阶的,故此马尔可夫链的状态有三个;二步转移概率矩阵P⑵二(p(2))=P2p在每次试验中发生的概率为,令p在每次试验中发生的概率为,令(12「厂12\厂342、330330999111111252333333999021021243<33J<33丿<999>15.在一串贝努利试验中,事件n—1,2,3,…10,第n次试验A不发生n—1,2,3,…An|1,第n次试验A发生{X,n—1,2,…}n是否齐次马尔可夫链？写出状态空间和转移概率矩阵;求n步转移概率矩阵.解(1)根据题设条件知道X1,X2,…,Xn，…是相互独立的，所以{Xn，n—匕2，…}是马尔可夫链,又转移概率

q,j=0、p,j=1P{X_jIX_i}_P{q,j=0、p,j=1n+1nn+1n与无关,{X,n_1,2,…}故n是齐次马尔可夫链；步转移概率矩阵fqPP二(p)=ijp=P{X步转移概率矩阵fqPP二(p)=ijp=P{X二jIX二i}=P{X二j}=<ijn+1n+1q,j=0

pj=1-n(3)步移概率矩阵P(n)=(p(n))=Pijp(0<p<1)Xn、八前(1)(2)16.从次品率n、八前(1)(2)次抽查出的次品数,{X,n_1,2,・・・}n是否齐次马尔可夫链？写出状态空间和转移概率矩阵;(3)如果这批产品共有100个,其中混杂了3个次品,作有放回抽样,求在抽查出2个次品的条件下,再抽查2次,共查出3个次品的概率.解(1)根据题意知,{Xn,n_1,2,…}是齐次马尔可夫链；S_{0,1,2,…,n,…}(2)状态空间,p_1_是次品率,q1p是正品率,根据题意知

〔0,j<iq,/=ipij=P{X=j1X=i}pijn+1np,j=i+1〔0,j>i+1i,j=0,1,2,…，n,•…p=0.03(3)次品率,所求概率为P{X=3|X=2}=p(2)n+2n23+8=Ypp2kk3k=0=0+0+q-p+p-q+0+—=2pq=2x0.03x0.97=0.0582n17•独立重复地掷一颗匀称的骰子，以Xn表示前次掷出的最小点数,{X,n=1,2,…}n是否齐次马尔可夫链？写出状态空间和转移概率矩阵;P{X=3,X=31X=3}求n+1n+2n;⑷求P{X2=1}解(1)根据题意知,{X,n=1,2,…}n是齐次马尔可夫链;1,j1,j=10,j>2(2)状态空间S={,1,2,3,4,5,6}p=P{X=j|X=i}ijn+1np=P{X=jIX=1}=\1jn+1n

p=P{X2jn+1=jIXp=P{X2jn+1=jIX=2}=<np3j二P{Xn+1p4j二P{Xn+1p5j二P{Xn+116’j5,j=260,j>31•十

三,J—1,264•3=]-,j=36，0,j>4],j二1,2,363,j二460,j二5,6j二1,2,3,462.5J=560,j二6，j=h2,6,6p=P{X，j=h2,6,6TOC\o"1-5"\h\z6jn+1nP{X=3,X=3IX=3}(3)n+1n+2n=P{X=3丨X=3}•P{X=3丨X=3,X=3}n+1nn+2n+1n二P{X二3IX二3}-P{X=3IX=3}n+1nn+2n+1444=p-p=_•_=_3333669；

=1|X=i}1⑷P{X?=1}=史P{X==1|X=i}1i=11=116=36-i=2{X18.设齐次马尔可夫链Xn,n=0,1,2,}的转移概率矩阵为P1=116=36-i=2{X18.设齐次马尔可夫链Xn,n=0,1,2,}的转移概率矩阵为P=52331133020131且初始概率分布为Pj(0)=P{X0=j}=,j=1,2,3,⑴求P{X1=1，X2=2,X=3}；P{X=3}求2求平稳分布.解(1)P{X1=1,X2=2,X3=3}=P{X=1}P{X1=2|X=1}P{X=3|X=2,X=1}21321=P{X=1}P{X=2|X=1}P{X=3|X=2}2121=P{X=1}.p.p11223三P{X=j}P{Xj=1=1|X0=j}.p12-P23戸P{X0=j}Pj1j=1-P12-P234481；=2.1X1(1+1+0)33333⑵P{x2=3}丄p{x0=⑵P{x2=3}丄p{x0=j}p{x2=31X0=j}j=1=£P{x0j=1=j}p(j2)=1(2+2+3)=丄99927⑶平稳分布(pi'p2p3)满足方程组11=p_+p-

1323p1+p03,p2p321=p+p+p1323v1=p0+p_+p-2333,33,1p1p2+解之得19.p114'P224'P3具有三状态:0,1,2的一维随机游动，以x(t)=j表示时刻,粒子处在状态}}的一步转移概率矩阵j(j=0'1'2)'过程{x(t)'t=t't't'过程012'qP0'P=q0pj0qp丿'求粒子从状态1经二步、经三步转移回到状态1的转移概率;求过程的平稳分布.(1)p(2)=P{x(t)=1|x(t)=1}11n+2nk=0pp=qp+0+pq=2pq1kk1k=0qpqp2'P(2)=P2=q22pqp2*q2pqpq+p2丿(q2+(q2+q2ppq+qp2P⑶=P3=q3+2pq3pq3+pq22pq2+p2q、p22p2q+p32p2q+p3丿于是p(3)=P{X(t)=1丨X(t)=1}=pq11n+3n(p,p,p)(2)平稳分布012满足方程组p=pq+pq+p00012p=pp+p0+pq1012,p=p0+pp+pp2012p+p+p=1012解之得q2q2p=01-pq，◎=符2=磊20.设同型产品装在两个盒内,盒1内有8个一等品和2个二等品,盒2内有6个一等品和4个二等品.作有放回地随机抽查,每次抽查一个,第一次在盒1内取.取到一等品,继续在盒式Xn内取;取到二等品,继续在2盒内取.以n表示第次取到产品的等级数,则{X,n=1,2,n}是齐次马尔可夫链.(1)写出状态空间和转移概率矩阵;(2)恰第3、5、8次取到一等品的概率为多少？求过程的平稳分布解(1)根据题意,S={1,2}状态空间p=P{X=1丨X11n+1n=1}=10p22=P{X=2|X=1}=n+1n105，=P{X=1|X=2}=63n+1n105，=P{X=2|X=2}42n+1np12p2111]525丿转移概率矩阵厂453j5⑵P{X1-1}=45，P{X1=2}P{X=1,X=1,X=1}358=P{X=1}P{X=1|X=1}P{X=1|X3538=P{X=1}P{X=1|X=1}P{X=1|X=1}35385=P{X=1}p(2)p(3)11=z2P{X二i}P{X二11X二i}p(2)p⑶13i=111111LP{X=i}p(2)p⑵p(3)1i1i=11111,(196]252518712525丿<94311251259332j125125P⑶二P3二P⑵=P25=1,X3=1}(1)(1)P{X=1,X=1,X=1}358=£P{X=i}p(2)p(2)p(3)1i11111i=1=(0.8X0.76+0.2X0.72)-0.76x0.752=0.429783(3)平稳分布(p(3)平稳分布(p1,p2)满足方程组43p112p=p+p—2"1525，p+p=112解之得p1p解之得p1p221.La,a］的双极性二进制传输信号｛u(t),t>0｝的码元符号概率为［q,p］o将U(t)送入码元幅度取样累加器，累加器输出为｛y(n),n=1,2｝，简记为Y。试求：n画出Y(n)的状态图；Y(n)的状态概率兀(n)和pY>0］，假定初始分布为等概的；knY(n)状态转移概率p..(m,n)和pY=3|Y=1,Y=3,Y=4］。j151810解将U(t)送入码元幅度取样累加器，则相当于33)k<k<0,则P(Y(n)=k)=Cn-|k|(pq)2qkY(n)=EX(k)n=1,2,…k=1其中X(k)=JAP—Aq对Y(n),如果X(n)的取值为4,贝IjY(n)增加A,否则减少A画出状态转移图为2)兀=P(Y(n)=kA)k=—n,—n+.n—1,nk・・・当n-|k|等于奇数时，可知P(Y(n)=kA)=0而当n—IkI等于偶数时，则在n个样本中必须选择卫个样本互相抵消,2可知一共有C宁种方法，每种方法中，抵消项的发生概率为(pq)宁，如果nn_|k|n_|k|k>0,则P(Y(n)=k)=C2(pq)2pkn综上所述兀kk综上所述兀kk>0,n—IkI为偶数k<0,n—IkI为偶数C2(pq)2q—knn—IkI为奇数n-|k|n-|k|=P(Y(n)=k)=^C2(pq)2pknnn_|k|/、n-kP(Y>0)=£C2(pq)2pknnk=0设n>m•.•Y=1LX・••可以得到Y是马尔可夫序列TOC\o"1-5"\h\znknk=1P(m,n)=P(Y=j|Y=i)ijnm=P(工X=jI迟X=i)kkk=1k=1=P(工X=j-i)kk=m=P(Sx=j-i)kk=1=P(Y-=j-i)n-m0n一m一j+i为奇数=<C""F'(pq)：八卩㈠j一i>0,n一m一j+i为偶数nn—m—|j—i|“、n—m—|j—i|.”一…C2(pq)2qi-jj一i<0,n一m一j+i为偶数nP[Y=3|Y=1,Y=3,Y=4]151810=P[Y=3|Y=4]1510=P[Y=一1]5=C2(pq)2q一(—1)5=10p2q322.设｛X(n),n>1｝是相互独立随机变量序列，令：Y(n)=YXp(i),p是任意的整数,i=1试证明：随机序列Y(n)是马氏链。Y(n)=工Xp(i)=艺Xp(i)+X(n)=Y(n-1)+Xp(n)i=1i=1令X'(i)=Xp(i)则与7.1一样，所以Y(n)是马氏链23.微小粒子在相距2d的反射板之间做随机游动。粒子的初始位置在中线0位置上，每隔T时间粒子游动一步，每步跨距为d。随机游动在第n步后的质点位置记为｛X(n),n=0,1,...｝，状态为(一d,0,+d)，设X(n)的状态转移概率矩阵为：TOC\o"1-5"\h\z00.70.3P=0.800.20.70.30试求：(1)随机游动的状态图；(2)最可能的样本波形(设X(0)=0)；(3)求X(n)的极限分布和平稳分布。解(1)自己画(2)最可能的波形，即是说按转移概率最大的状态进行转移。设X(0)=0，则(3)计算P2,得每个元素大于0,所以该马尔可夫链遍历，平稳分布与极限分布相等利用VP=V，与£p=1,解出V=(0.4332,0.3641,0.2028)ii=124.在差分编码系统中，将输入的二进制(0,1)数据序列｛a(n),n=1,2,...｝进行差分编码，输出为序列｛X(n),n=0,1,...｝，讨论输出X(n)的状态分类。其中编码规则为X(n)=a(n)㊉X(n-1)与X(0)=0。解设a(n)=0的概率为p,a(n)=1的概率为q,T0㊉0=0,0㊉1=1,1㊉1=0,则不难画出状态转移图f-p+q2+pq2+p2q200•.•p+q二1q二1-p•:f—p+q2+qp—100状态0为正常返，因为0，1互通所以状态0与1均为正常返E=C={1,2}若明日是否降雨仅与今日是否有雨有关，而与以往的天气无关，并设今有雨而明日有雨的概率为0.7；今日无雨明日有雨的概率为0.2,设X(0)表示今日的天气状态，X(n)表示第n日的天气状态。“X(n)=1”表示第n日有雨；“X(n)=0”表示第n日无雨。X(n)是一个齐次马氏链。写出X(n)的状态转移概率矩阵求今日有雨而后第2日仍有雨的概率求有雨的平稳概率解(1)X(n)的状态有两个，1和0，其状态转移矩阵为：「0.80.2-P二0.30.72)今日有雨后第二日仍有雨的概率为2=(0,1)0.80.30.22=(0,1)0.80.30.2］「0.80.20.7」0.30.7=(0.45,0.55)3)利用VP=V,与^p=1,解出V=(0.6,0.4)ii=1独立增量随机信号Y(t)的增量信号为X(t)，对于时刻编序t=0<t<t<……<t<……，X(t)=Y(t)—Y(t),Y(t)=0，若增量信号的一阶012kkkk-10特征函数为e(v；t)。试求：(1)e(v；t)与e(v；t)；(2)e(v,v；t,t)与XkY1Y3Y1212e(v,v,v；t,t,t)。Y123123

(1)・・・Y(t)丄X(