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文档简介
27.1圆的认识华东师大版九年级下册圆周角复习回顾什么是弦?连接圆上任意两点的线段叫做弦.什么是弧?什么是等弧?圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.OABOABC你知道∠ACB是什么角吗?圆周角怎样来判定圆周角?圆周角、弦、弧三者间又有什么关系呢?新课探究探究1:圆周角的概念观察∠ACB、∠ADB、∠AEB,这样的角有什么特点?CAOBDE讨论:点C,D,E在什么位置?∠ACB、∠ADB、∠AEB的顶点都在圆上,并且两边都与圆相交,这样的角叫做圆周角.(1)(2)(3)(4)找一找下面哪些是圆周角?圆周角的顶点在圆上,它的两边与圆相交.圆周角与其他角的区别探究2:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°线段AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的任意一点(除点A、B外),那么,∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看,∠ACB会是怎样的角?ABCO?ABCO?我们可以看到,OA=OB=OC,所以△AOC、△BOC都是等腰三角形,因而∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB
又因为∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°所以
ABCO?因此,不管点C在⊙O上何处(除点A、B外),∠ACB总等于90°,即:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).对于一般的弧所对的圆周角,又有什么规律呢?探究3:圆周角定理DBCOA∠ADB∠ACB=C′量一量:变动点C在圆周上的位置,你发现其中有什么规律吗?可以发现圆周角的度数没有变化DBCOA∠ACB∠AOB量一量:=
我们发现圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.怎样证明这些结论呢?在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况?共有三种情况:(1)圆心在圆周角的一边上;
(2)圆心在圆周角的内部;
(3)圆心在圆周角的外部.CAOBCAOBD12CAOB12(1)(2)(3)分别就这三种情况证明这一猜想.已知:在⊙O的一条弦,所对的圆周角是∠ACB,
所对的圆心角是∠AOB.求证:∠ACB=∠AOB.
CAOBCAOBD12CAOB12(1)(2)(3)CAOB证明(1)圆心在∠ACB的边CB上.∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACB
,∵∠AOB
是△OAC的外角,∴∠AOB=∠ACB+∠OAC=2∠ACB
,∴∠ACB=∠AOB.
CAOBD12(3)圆心在∠ACB的外部.作直径CD.∴∠1=∠AOD
,∴∠ACB=∠1-∠2=(∠AOD
-∠BOD)CAOB12D
∠2=∠BOD
,
=∠AOB.
由此我们可以得到:
圆周角定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.探究4:外接圆、内接多边形由圆周角定理,可以得到以下推论:推论1:90°的圆周角所对的弦是直径.如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个圆就叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形.推论2:圆内接四边形的对角互补.如右图∠BAD+∠BCD=180°∠ABC+∠ADC=180°ABCD60°xBACEFD20°x30°(1)(2)解(1)∵同弧对的圆周角相等,∴∠x=60°.解(2)连接BF,∵同弧所对的圆周角相等,∴∠ABF
=∠D=20°,∠FBC
=∠E=30°,∴∠x=∠ABF
+∠FBC=50°.BACEFD20°x30°(2)随堂演练1.试找出图中所有相等的圆周角.【教材第44页练习】∠1=∠4∠2=∠7∠3=∠6∠5=∠82.在圆中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°,求这条弧所对的圆心角和圆周角的大小.由题意(2x+100)°=2(5x-30)°x
=20∴(2x+100)°=140°,(5x-30)°=70°.故这条弧所对的圆心角为140°,圆周角为70°.【教材第44页练习】3.使用曲尺检验工件的凹面,成半圆时为合格.如图所示的三种情况中,哪种是合格的?哪种是不合格的?为什么?第三种合格,另外两种不合格.【教材第44页练习】∵90°的圆周角所对的弦是直径,∴若要合格,曲尺顶点应在圆周上,曲尺两边应与凹面的两个端点接触,∴只有第三种情况符合.4.证明:∵OA
⊥
OB,∴∠AOB
=
90°,
∴∠C
=∠D=45°,∵AC
⊥BD,∴∠DEC
=90°,∴∠DAE
=45°,∴∠C=∠DAE.
∴AD∥BC课堂小结顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角.
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