第09课-多自由度系统的振动响应课件

前课回顾模态正交性的含义？[U]T[M][U]=[∧][U]T[K][U]=[∧]展开定理？振动系统的响应是n个振型的线性组合前课回顾模态正交性的含义？主要内容1.概述2.振型叠加法3.直接积分法4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析主要内容1.概述主要内容1.概述2.振型叠加法3.直接积分法4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析主要内容1.概述1.概述(1)多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动力响应分析。系统的动力响应与系统的固有振动特性、激励特性以及系统的初始条件有关。响应类型：简谐激励响应周期性激励响应非周期激励响应随机振动响应（第五章内容）系统的动力响应分析可以从理论计算、数值模拟和试验测试三个渠道进行，三者互相结合、促进，共同应用于实际的工程分析。1.概述(1)多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动1.概述(2)动力响应分析主要方法：振型叠加法逐步积分法积分变换方法1.概述(2)动力响应分析主要方法：1.概述(3)振型叠加法基于线性叠加与振型正交性理论，将物理空间耦合的振动模型转换为模态空间解耦的微分方程；主要特点：计算效率高，适用于线性系统1.概述(3)振型叠加法1.概述(4)逐步积分法（直接积分法）是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换，直接进行逐步数值积分。主要方法：中心差分法，Newmark方法，精细积分法主要特点：计算量大，适用于线性系统、非线性系统，可以求解所有确定激励下的响应问题。1.概述(4)逐步积分法（直接积分法）1.概述(5)积分变换法利用Fourier变换或Laplace变换将时间域微分形式的运动方程变换为频域域或Laplace域的代数方程进行求解。一般与振型叠加法与试验模态分析方法相结合，独立应用较少。主要应用于线性系统。1.概述(5)积分变换法主要内容1.概述2.振型叠加法3.直接积分法4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析主要内容1.概述2振型叠加法(modesummationmethod)主要思想：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标（主坐标），使方程解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的动力响应。主要依据：展开定理、模态正交性和线性叠加原理。=+++

+2振型叠加法(modesummationmethod)WhyBotherwithModalModels?PhysicalCoordinates=CHAOSModalSpace=Simplicityq1

11

2q21q31

3BearingRotorBearingFoundationWhyBotherwithModalModels?P方程(1)与方程(2)计算量差多少？方程(1)与方程(2)计算量差多少？振型叠加法主要计算过程特征值分析：求解系统的固有频率和模态振型坐标变换：将运动方程转换到模态空间Duhamel积分：求解一系列单自由度系统振动方程振型叠加：得到系统的物理响应振型叠加法主要计算过程特征值分析：求解系统的固有频率和模态振SolutionofaSDOFsystem零输入响应(初值问题)零状态响应SolutionofaSDOFsystem零输入响应SolutionofaSDOFsystem？？？？？SolutionofaSDOFsystem？？？？？SummationofmodalequationsolutionsSummationofmodalequationso例题4.5求图示系统在零初始条件下的响应

例题4.5求图示系统在零初始条件下的响应主要思路利用影响系数法、牛顿第二定律或Lagrange方程列出系统的运动方程；利用频率方程法或特征值分解法计算系统的固有频率与振型；利用振型矩阵计算模态质量矩阵、模态刚度矩阵及模态力；利用Duhamel积分求解单自由度系统的动力响应；利用叠加原理和模态变换矩阵合成系统的物理响应。主要思路利用影响系数法、牛顿第二定律或Lagrange方程列解：建立系统微分方程

固有频率，主振型

解：建立系统微分方程固有频率，主振型解得

解得由

解得

构成

由解得构成主质量矩阵

主刚度矩阵

主质量矩阵主刚度矩阵主坐标下的振动微分方程（令）

主坐标下的振动微分方程（令第09课-多自由度系统的振动响应课件利用杜哈梅积分

利用杜哈梅积分第09课-多自由度系统的振动响应课件第09课-多自由度系统的振动响应课件讨论几个问题振型叠加法的理论依据？展开定理，模态正交性，叠加原理阻尼问题振型矩阵对阻尼矩阵正交性，Rayleigh阻尼可以利用试验模态分析测量的阻尼比振型叠加法的计算量？模态截断将振型方程凝聚（个数减少）可以方便地只计算感兴趣的自由度响应讨论几个问题振型叠加法的理论依据？振型叠加法的基础（依据）展开定理基于线性空间理论系统任一瞬时的响应都可以表示为各阶振型的线性组合，从而运动方程可以实现物理空间与模态空间的转换。模态正交性模态振型对于质量矩阵、刚度矩阵正交，从而保证模态空间中的运动方程是解耦的。线性叠加原理模态空间中系统总响应等于各单自由度响应之和，从而可以独立求解各振型方程，再叠加得到系统的响应。阻尼矩阵呢？振型叠加法的基础（依据）展开定理阻尼矩阵呢？WithregardtoWithregardto第09课-多自由度系统的振动响应课件振型叠加法的计算量几乎所有的工程结构的振动响应中低阶模态振动占主导地位，高阶振动影响极小，因此只采用低几阶模态进行振型叠加计算可以获得足够的精度（模态截断），这一思想在大量工程实践得到充分证明。振型叠加法的计算量几乎所有的工程结构的振动响应中低阶模态振动讨论几个问题振型叠加法的理论依据？展开定理，模态正交性，叠加原理阻尼问题振型矩阵对阻尼矩阵正交性，Rayleigh阻尼可以利用试验模态分析测量的阻尼比振型叠加法的计算量？模态截断将振型方程凝聚（个数减少）可以方便地只计算感兴趣的自由度响应讨论几个问题振型叠加法的理论依据？主要内容1.概述2.振型叠加法3.直接积分法4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析主要内容1.概述第09课-多自由度系统的振动响应课件第09课-多自由度系统的振动响应课件第09课-多自由度系统的振动响应课件第09课-多自由度系统的振动响应课件主要内容1.概述2.振型叠加法3.直接积分法4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析主要内容1.概述4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析4.基于状态空间理论的matlab动力响应分析k1=1000;k2=2000;k3=3000;m1=1;m2=2;alpha=1;beta=0.005;M=[m1,0;0,m2];K=[k1+k2,-k2;-k2,k2+k3];C=alpha*M+beta*K;n=size(M,1);Z=zeros(n);G=[CM;MZ];H=[K,Z;Z,-M];E=[eye(n);Z];ssA=-G\H;ssB=G\E;ssC=[-M\K-M\C];ssD=inv(M);t=0:0.01:10;f1=2*ex