得旋转曲面的方程课件

解析几何第四章：柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面解析几何第四章：柱面、锥面、1水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的2观察柱面的形成过程:

定义在空间,由平行于定方向且与一定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面称为柱面定方向叫做柱面的方向,定曲线叫柱面的准线，那族平行直线中的每条直线都叫柱面的母线.柱面母线准线观察柱面的形成过程:定义在空间,由平行于定方向且与一3柱面举例：抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程：柱面举例：抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程：4柱面及其方程定义：由平行于定方向且与一条定直线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面定曲线叫做柱面的准线，平行直线中的每一条直线叫柱面的母线下面我们来推导柱面的方程。柱面及其方程定义：由平行于定方向且与一条定直线相交的一族平行5设准线方程为：F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0母线的方向数为：X，Y，Z若为准线上的任意一点，则过的母线方程为：且：F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0设准线方程为：F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0母6例1柱面的准线方程为例1柱面的准线方程为7得旋转曲面的方程课件8得旋转曲面的方程课件9得旋转曲面的方程课件10得旋转曲面的方程课件11从柱面方程看柱面的特征：实例椭圆柱面，双曲柱面,抛物柱面,母线//轴母线//轴母线//轴从柱面方程看柱面的特征：实例椭圆柱面，双曲柱面,抛物柱面121.椭圆柱面xyzO2.双曲柱面1.椭圆柱面xyzO2.双曲柱面13空间曲线的射影柱面如果我们从上式中依次消去一个元，可得空间曲线的射影柱面如果我们从上式中依次消去一个元，可得14得旋转曲面的方程课件15锥面及其方程定义：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线设锥面的准线：F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0顶点为A(x0,y0,z0)如果M1(x1,y1,z1)为准线上的任意点则锥面过M1的母线是F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0且消去x1,y1,z1得到三元一次方程F(x,y,z)=0为满足条件的锥面方程锥面及其方程定义：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族16

n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程

F(x,y,z)=0是

n次齐次方程：准线顶点F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程

锥面是直纹面x0z

y

锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线.n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的17例1、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。例1、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。18得旋转曲面的方程课件19得旋转曲面的方程课件20定义以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．旋转曲面这条曲线叫旋转曲面的母线．定义以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲21曲线CCy

zo绕

z轴旋转曲面曲线CCyzo绕z轴旋转曲面22曲线CxCy

zo绕z轴.旋转曲面曲线CxCyzo绕z轴.旋转曲面23曲线

C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕

z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z).x

S旋转曲面曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.24曲线C旋转一周得旋转曲面

SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zo

S旋转曲面曲线C旋转一周得旋转曲面SxCSMNzP.绕z轴..f25建立旋转曲面的方程：如图将代入得方程建立旋转曲面的方程：如图将26方程方程27例1、求直线绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：例1、求直线绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M28即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋29得旋转曲面的方程:即得旋转曲面的方程:即30旋转椭球面（长形）（短形）旋转椭球面（长形）（短形）31得旋转曲面的方程课件32例４将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双叶双曲面yzoxyzox例４将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面33

xyozxyoz旋转单叶双曲面xyozxyoz旋转单叶双曲面34旋转椭球面xyzxyz旋转椭球面xyzxyz35旋转抛物面xyzoxyzo旋转抛物面xyzoxyzo36几种特殊旋转曲面1双叶旋转曲面2单叶旋转曲面3旋转锥面4旋转抛物面5环面几种特殊旋转曲面1双叶旋转曲面37x0y1

双叶旋转双曲面绕x轴一周x0y1双叶旋转双曲面绕x轴一周38x0zy.绕x轴一周1

双叶旋转双曲面x0zy.绕x轴一周1双叶旋转双曲面39x0zy.1

双叶旋转双曲面.绕x轴一周x0zy.1双叶旋转双曲面.绕x轴一周40axyo2

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周axyo2单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周41axyoz.上题双曲线绕y轴一周2

单叶旋转双曲面axyoz.上题双曲线绕y轴一周2单叶旋转双曲面42a.xyoz..2

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周a.xyoz..2单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周433

旋转锥面两条相交直线绕x轴一周x

yo3旋转锥面两条相交直线绕x轴一周xyo44.两条相交直线绕x轴一周x

yoz3

旋转锥面.两条相交直线绕x轴一周xyoz3旋转锥面45x

yoz.两条相交直线绕x轴一周得旋转锥面.3

旋转锥面xyoz.两条相交直线绕x轴一周得旋转锥面.3旋转锥46yoz4

旋转抛物面抛物线绕z轴一周yoz4旋转抛物面抛物线绕z轴一周47yoxz.抛物线绕z轴一周4

旋转抛物面yoxz.抛物线绕z轴一周4旋转抛物面48y.oxz生活中见过这个曲面吗？.4

旋转抛物面抛物线绕z轴一周得旋转抛物面y.oxz生活中见过这个曲面吗？.4旋转抛物面抛物线绕z495环面yxorR绕y轴旋转所成曲面5环面yxorR绕y轴旋转所成曲面505环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.5环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.515环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..5环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗52救生圈.5环面救生圈.5环面53二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应54截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo椭球面截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面55(1)对称性

(2)范围(1)对称性(2)范围56(3)形状它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆)(3)形状它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆)57得旋转曲面的方程课件58得旋转曲面的方程课件59比较知所以比较知所以60椭球面的方程椭球面与三个坐标面的交线：椭球面椭球面的方程椭球面与三个坐标面的交线：椭球面61椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面62椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆63球面截面上圆的方程方程可写为球面截面上圆的方程方程可写为64双曲面单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆单叶双曲面双曲面单叶双曲面（1）用坐标面65与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.（2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.与平面的交线为椭圆.当变动时，66单叶双曲面图形xyoz（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.单叶双曲面图形xyoz（3）用坐标面67性质与形状

(2)(3)均为双曲线,(4)为椭圆,(4)叫做单叶双曲面的腰椭圆;(2)(3)有共同的虚轴与虚轴长。性质与形状(2)(3)均为双曲线,(4)为椭圆,(4)叫做68（iv）与平行于坐标面平面的交线：为考察（1）的形状，我们先用平行于面的平面去截它，其截线为（iv）与平行于坐标面平面的交线：为考察（1）的形状，我们先69可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在（3）与（4）上滑动。

可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆70最后，若用一组平行于xoz面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿。最后，若用一组平行于xoz面的平面去截（1），其截线情况与上71双叶双曲面双叶双曲面xyoz双叶双曲面双叶双曲面xyoz722性质与形状：

（i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。

（ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲面。

（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线：

2性质与形状：（i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴73（iv）与平行于坐标面平面的交线：

（iv）与平行于坐标面平面的交线：74可见，双叶双曲面（1）是由z=±C外的一系列“平行”椭圆构成。这些椭圆的顶点在双曲线（2）和（3）上变化。

可见，双叶双曲面（1）是由z=±C外的一系列“平行”椭圆构成75单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面

单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面76得旋转曲面的方程课件77得旋转曲面的方程课件78xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面抛物面椭圆抛物面xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=79（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.椭圆抛物面方程（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐80与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的81与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴.顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.与平面的交线为抛物线.它的轴平行于82

2、性质和形状：

（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线2、性质和形状：（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线83（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z轴正向，它们叫做椭圆抛物面的主抛物线。对称轴均为z轴；而（4）为原点。（iv）与平行于坐标面平面的交线：

（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z轴84得旋转曲面的方程课件85椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向一致，且它们所在平面始终保持垂直。椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动86zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：87特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕z轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由88用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法双曲抛物面（马鞍面）用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy89截痕法.xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面双曲抛物面（马鞍面）截痕法.xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=90截痕法.xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面双曲抛物面（马鞍面）截痕法.xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=91（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：92

2、性质和形状：

（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线

2、性质和形状：（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线93（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向一指z轴正向，一朝z轴负向。对称轴均为z轴，它们叫做双曲抛物面的主抛物线，它们所在平面互相垂直；而（4）为二相交于原点的直线。（iv）与平行于坐标面平面的交线：

（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向一指z轴94得旋转曲面的方程课件95双曲抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向相反，且它们所在平面始终保持垂直。椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心，所以又叫做无心而次曲面。

双曲抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动96666x+y+z=63x+y=6217.作图练习一x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图666x+y+z=63x+y=6217.作图练习一x0z97666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图17.作图练习一666x+y+z=63x+y=62.x0zy平面983x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图17.作图练习一3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy993x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3