全等三角形-动点问题

全等三角形--动点问题全等三角形的动点问题教学重点：利用熟悉的知识点解决陌生的问题。思路：1.利用图形想到三角形全等。2.分析题目，了解有几个动点、动点的路程和速度。3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏。5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样。如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。【典型例题】例1.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF、BD之间的位置关系为什么？数量关系为什么？请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）。例2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF。（1）求证：△ADF≌△CEF。（2）试证明△DFE是等腰直角三角形。（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由。（4）求△CDE面积的最大值。变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE。连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8。其中正确的结论是（）。A.①②③B.①③C.①③④D.②③④例3.正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF。（1）求证：DF=BF。（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想。例4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。1.如果点P沿着线段BC以3cm/秒的速度从B点向C点移动，同时点Q沿着线段CA以相同的速度从C点向A点移动，那么：①经过1秒后，△BPD和△CQP不全等。因为它们的形状不同，△BPD是一个直角三角形，而△CQP不是。②当点Q的速度为2cm/秒时，△BPD和△CQP是全等的。因为当点Q的速度为2cm/秒时，点P和点Q将在等边三角形ABC的顶点B处相遇，此时△BPD和△CQP的形状相同，且它们共边BP和BQ相等。2.在等边三角形ABC中，AB=9cm。点P沿着CB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q沿着BA边向A点以5cm/s的速度移动。P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟。（1）BP的长度为9-2t，BQ的长度为9-5t。（2）当t=3秒时，△PBQ为等边三角形。此时BP和BQ的长度均为3cm。（3）当P、Q两点从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿着△ABC三边运动时，它们会在BC边相遇。因为点P沿着CB边向B点移动，点Q沿着BA边向A点移动，它们的速度不同，因此不能在其他边相遇。【拓展提高】1.如图，三角板中的三角形ADE和BDC是全等的。因为它们的两条边分别相等，且夹角相等。证明：连接AC和BD，由于AC=2AB，因此∠A=30°，∠B=60°。又因为AD=DC，∠ADE=∠BDC=45°，所以三角形ADE和BDC是全等的。2.线段BE和EC的长度相等，且它们垂直且平分AC。因为三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，所以∠ADE=45°，∠AED=45°，∠EDB=90°。由于AC=2AB，所以AD=AB，因此DE=AB。又因为∠AED=45°，所以AE=ED。因此，三角形AED是等腰直角三角形，且BE和EC分别平分AC，且垂直于AC。3.在旋转到DE⊥AC于E的情况下，S△DEF+S△CEF=S△ABC/2。因为当DE⊥AC于E时，三角形DEF和CEF是直角三角形，因此它们的面积分别为S△DEF=DE*EF/2和S△CEF=CE*EF/2。又因为AC=BC，所以CE=DE，因此S△DEF+S△CEF=DE*EF+CE*EF=EF*(DE+CE)=EF*AC/2=S△ABC/2。在DE和AC不垂直时，结论不成立。根据三角形面积公式，S△DEF+S△CEF>S△ABC/2。因此，S△DEF、S△CEF、S△ABC之间没有简单的数量关系，无法得出具体的猜想。4.如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B做BK⊥BE与B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G。（1）证明：BH=BG；（2）证明：BE=BG+AE。证明（1）：由于正方形ABCD对称，所以AC平分BD，即AC垂直于BD且AC=BD/2。又因为BK⊥BE，所以BK垂直于BE，因此∠KBC=90°-∠EBF，而∠EBF=∠ABC，所以∠KBC=90°-∠ABC。同理可得∠KCB=90°-∠ACB。由于∠ABC+∠ACB=90°，所以∠KBC+∠KCB=90°，即△KBC为直角三角形。又因为BF=BC，所以∠FBC=∠BCF，所以△BFC为等腰三角形，因此∠BFC=∠BCF=1/2∠BAC。而∠BAC=45°，所以∠BFC=22.5°。又因为BF=BC，所以∠BCF=∠BFC，因此△BCF为等腰三角形，所以∠CBF=∠CFB=67.5°。又因为AC平分BD，所以AH=HD，所以∠ABH=∠HBD=22.5°。又因为∠CBF=∠ABH，所以△CBF与△ABH相似，因此BH=CF。又因为BK⊥BE，所以∠GBK=∠EBF=∠ABC，又因为AC平分BD，所以∠BAC=∠ACB，所以∠ABC=45°，因此∠GBK=45°。又因为△KBC为直角三角形，所以∠KBC=45°，因此∠CBK=45°。又因为∠CBF=67.5°，所以∠GBK=22.5°，因此△GBK为等腰三角形，所以BG=GK。又因为AC平分BD，所以AH=HD，所以∠ABH=∠HBD=22.5°，又因为∠CBF=∠ABH，所以△CBF与△ABH相似，因此BH=CF=BG，证毕。证明（2）：由于BF=BC，所以∠BFC=∠BCF=1/2∠BAC。而∠BAC=45°，所以∠BFC=22.5°。又因为BF=BC，所以∠BCF=∠BFC，因此△BCF为等腰三角形，所以CF=BF=BC。又因为AC平分BD，所以AH=HD，所以∠ABH=∠HBD=22.5°。又因为∠CBF=∠ABH，所以△CBF与△ABH相似，因此BH=CF=BC。又因为BF=BC，所以BG=CF=BC。又因为△KBC为直角三角形，所以BK=BC/2。又因为AC平分BD，所以AH=HD，所以∠ABH=∠HBD=22.5°。又因为∠CBF=∠ABH，所以△CBF与△ABH相似，因此BH=CF=BC=BG。又因为BE=BD-DE=AC-DE=AE+EC，所以BE=AE+EC=AH+HC。又因为BH=BC=HC，所以BE=AH+BH=AH+BC=AG+GC+BC=AG+BG+BC，证毕。5.正方形四条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG。（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．（1）①不全等，因为△ADG和△ABE的对应边不相等。②线段BE等于线段CH。因为正方形AEFG是以AE为边在直线MN的上方作的，所以AE和EF在直线MN的同侧，因此线段BE和线段EF在直线MN的同侧，而线段CH和线段EF在直线MN的异侧，所以线段BE等于线段CH。（2）①全等，因为两个三角形都是等边三角形。②设△CFH的高为