《计算方法》复习资料全

..专业资料...专业资料.单项选择题1.已知近似值xi，x2，则仏,x)=()A.xV（x）+xV（1.已知近似值xi，x2，则仏,x)=()A.xV（x）+xV（x）2112C.xV（x）+xV（x）1122B.D.2V（x）+V（x）12V（x）V（x）122.已知求积公式J2f（x）dx沁f（1）+Af（）+f⑵，则A=（）1A.-63.已知A11B.-3「261C.-2362D.-3，则化为A为对角阵的平面旋转变换角。=()兀B.4兀兀c.yD.4.兀A.6设求方程f(x)=0的根的切线法收敛,则它具有()敛速。D.三次5.A.线性B.超越性C.D.三次5.A.O(h5)B.O(h4)C.O(h3)D.O(h2)填空题兀的近似值3.1428是准确到近似值。满足f(x)=x，f(x)=x，f(x)=x的拉格朗日插值余项为TOC\o"1-5"\h\zaabbcc用列主元法解方程组时，已知第2列主元为a(1)则a(1)=。4242乘幕法师求实方阵的一种迭代方法。欧拉法的绝对稳定实区间为。计算题1.用已知函数表1.用已知函数表xoi2yi25求抛物插值多项式，并求f(2)的近似值。用紧凑格式解方程组-1-14-1-14-10_x1丁-1x2—34x1—131——13.已知方程组213.已知方程组2113010_x1T1x2=-12x1—131——11)2)3)证明高斯－塞德尔法收敛；写出高斯－塞德尔法迭代公式取初始值x(o)=(0,0,0)t，求出x1)2)3)用n二4复化辛卜公式计算积分11dx，并估计误差。o1+x用一般迭代法求方程［o,O.5］内的根。对方程同解变形，并检验压缩条件；写出一般迭代法迭代公式；选初始值x二0.5，求出x。01证明题1.设x*=Bx*+b,HB|<1证明由公式x(m+1)=Bx(m)+b,m=0,1丄，得到的序列£(m>｝收敛于x*。证明计算0)的切线法迭代公式为xn+11/a2(xn+匚xn+11/a2(xn+匚(n=0,1厶)、单项选择题1.A2.D3.B4.C5.C、填空题1.10-22.R(x)=H)(x一x)(x一x)(x一x)3!abc3a(1)=maxa(1)42i>2i2三、计算题1.作差商表：4.按规模最大的特征值与特征向量5.[-2,0]xiyi一阶差商一阶差商011212531N(x)=1+(x-0)+(x-0)(x-1)=x2+125=1.252.解：(1)完成分解A=LRr=4，r=—1，r=0，1112r=4，r=—1，r=0，11121311154l，l=0，r=4—=，r=—1，l=-214312244233215所以矩阵的三角分解A=LRr33561514—101-15一—_1——144c4—560—一115A解方程组LY=b,y=1,1y21328y3153.解方程组RX=Y,x3.解方程组RX=Y,x=[32所以x=(2丄如(1)因为A严格对角占优矩阵，所以高斯一塞德尔迭代法收敛。2)高斯－塞德尔法迭代公式为：—x(m))2X(m+1)=—12VX(m+1)=1C1—x(m+1)—x(m))313x(m+1)=C—x(m+1))2213(3)取初值X(o)=(O,O,O)t，计算得x(1)=，x(1)=—怎，x(1)=1222341114(44「1114(44「111dxu1+2x—+4x—++—01+x126157J24.用n=4复化辛卜公式计算得：沁0.6932524f(4)(x)=E，因为f(x)=丄M=maxf(4)(x)=24424所以，口-2880X24=^205.(1)在24所以，口-2880X24=^205.(1)在【0,0.5］上将方程同解变形为X=Cx3+1)=申(x)4max|0(x)3=max—x24162)一般迭代法公式为：xn+1(3)由x=0.5，计算得x沁0.2812501四、证明题1.证明由公式x(m+1)=Bx(m)+b和x*=Bx*+b两式相减得x(m)-x*-||Bx(m-1)-x*|-…-||B|m两式相减得x(m)-x*所以有：x所以有：x(m)一x*T0,x(m)Tx*,(mTg)2•证明因为计算0)等同于求方程x2-a=0的正根,令f(x)=x2-a，广(x)=2x,代入切线法迭代公式得:x=xn+1x=xn+1nn=0,1,•••―n2xn单项选择题以下误差公式不正确的是(A．A(x-x)uAx-Ax12121.B．A单项选择题以下误差公式不正确的是(A．A(x-x)uAx-Ax12121.B．A(x+x)uAx+Ax12122.3.C.A(xx)uxAx+xAx122112xD.A(-+)uAx-Axx122已知等距节点的插值型求积公式J5f(x)dxu工Af(x)，那么工A=()kk=0kk=0A．1B.2C.D.4辛卜生公式的余项为(A.-嚅EB．(b-a)5c.-fc.-f⑷vn丿D.—2880一42-2用紧凑格式对矩阵A=22-2-2-3121A.1B.一2C.-1D.一24.进行的三角分解，则r22=()5.用一般迭代法求方程f(x)=0的根，将方程表示为同解方程X=9(x)的，则f(x)=0的根是()A.y=x与y=9(x)的交点B.y=x与与x轴的交点的横坐标的交点的横坐标c.y=x与y=9(x)的交点的横坐标d.y=9(x)与x轴的交点的横坐标填空题取x=3.142作为x=3.141592654…的近似值，则x有位有效数字.消元法的步骤包括.龙贝格积分法是将区间[a,b]并进行适当组合而得出的积分近似值的求法。乘幕法可求出实方阵A的特征值及其相应的特征向量.欧拉法的绝对稳定实区间为。计算题6.xi012yi10.50.21已知函数y=的一组数据：1+x2求分段线性插值函数，并计算f(1.5)的近似值.-10的谱半径.210-10的谱半径.27.求矩阵A=01-208.已知方程组

0_x1-1_1x2=-12x1—131——12113011)2)3)证明高斯－塞德尔法收敛；写出高斯－塞德尔法迭代公式取初始值X(o)=(0,0,0)T，求出X(I1)2)3)x35_x1「10_59x2=16917x3303354-n二4时，用复化梯形与复化辛卜生公式分别计算积分101丁泸-3355.用改进平方根法求解方程组证明题证明向量X的范数满足不等式(1)IIx||<|X§丽卜||⑵丄凶<||x||<||x||g2gni三参考答案一．单选题D2.C3.C4.A5.C二．填空题4消元和回代逐次分半按模最大[-2,0]三．计算题1.解xe［0,1］，H%x)=—x1+_x0.5=1-0.5x0-11-0xel1,2］，%(x)=x0.5+口x0.2=-0.3x+0.81-22-1所以分段线性插值函数为10分12分Mx)=J1-0.5xx叫打[0.810分12分L%(1.5)=0.8-0.3x1.5=0.355.2.解|九I-A|=九一1矩阵A的特征值为九i0九一110=X（X-1）（九一3）九一2=0,九=1,九=323所以谱半径P（A）=max{0丄3}=33.1）因为A严格对角占优矩阵，所以高斯一塞德尔迭代法收敛。（2）高斯－塞德尔法迭代公式为：一x（m））2x(m+1)=—12Vx(m+1)=1^一1—x(m+1)—x(m))313x(m+1)=1C—x(m+1))22113⑶取初值x（0）=（o,0,0＞，计算得x（1）=，卍）=-2，呼=4b一a14.解h===0.2544用复化梯形公式计算：0.25「f(0)+2(f(0.25)+f(0.5)+f(0.75))+f(1)「2=0.11089227用复化辛卜生公式计算得：0.25[f(0)+4(f(0.25)+f(0.75))+2f(0.5)+f(1)]3=0.11158185由公式计算得4分8分12分12分r=a=3,r=a=3,r=a=5;111112121313121=予=3=1,111a121=予=3=1,111a5==31r3

11r=a一lr22222121=5一lx3=2,r=a一lr=9一lx5=423232113r42l=-^3==2,r=a-Ur+1r=32r23333311332233224分4再得y=10,叮6,y3=38分XiXiXiXi..专业资料...专业资料.12分得X=(1,-1,2片12分四．证明题证明（1）设x.是向量X的分量，贝yIIX|I2=Jmax|x『<i.I证明（1）设x.是向量X的分量，贝yIIX|I2=Jmax|x『<i.I2<nxi2.i=12）所以由向量范数的概念可知，结论成立。5分由IIX||=coI|X||=coaxlx」］n-工lx」二-llXll:1」ninmaxini=1maxx.iii=110分10分一、选择题x=1.234,有3位有效数字，则相对误差限E<().r(A).0.5X10-i；(B).0.5X10-2；(C).0.5X10-3；(D).0.1X10-2.42-22.用紧凑格式对矩阵A=22-2进行的三角分解，则r22=（）-2-312」A.1B.12C.-1D.-23.过点（x0，y0）,（x1，y1），•••(x5,y5）的插值多项式P（x）是（）次的多项式。(A).6(B).5(C).4(D).3.4.设求方程f（x）=0的根的单点弦法收敛，则它具有（）次收敛。A.线性B•平方C.超线性D.三次i0x-x-3x=7.2i235.当&（）时，线性方程组「Xi+7x2+3x3=8.3的迭代解一定收敛.2x-4x+ax=9.2TOC\o"1-5"\h\zi23(A)>=6(B)=6(C)<6(D)>6.二、填空题二阶均差f(XXX)=.0,1,2在区间【a，〃］上内插求积公式的系数A,A，…,A满足A+A+■■■+A=01n01ni33已知n=3时，科茨系数C⑶=忙，C⑶=二，C⑶=石，那么C(3)=08182834.4.标准四阶龙格一库塔法的绝对稳定域的实区间为4.4.标准四阶龙格一库塔法的绝对稳定域的实区间为..专业资料...专业资料.高斯消去法能进行到底的充分必要条件为。三、计算题写出梯形公式、辛卜生公式，并分别用来计算积分n-dx.01+X2(1).若用二分法求f(x)=0在［1,2］之间近似根，精确到0.01，求二分的次数n+1.⑵.设f(x)=X3+X2-11,若用牛顿法求解，请指出初值应取1还是2,为什么？83.已知方程组83.已知方程组46—31132_X1-20_—1x2—3312X36—131——1证明雅可比法收敛写出雅可比迭代公式(3)取初值X(°)=(0,0,0》，求出X⑴已知微分方程|y'=x+yIy(0)=1取步长h=0.1,试用欧拉法求出满足已知微分方程和初始条件的函数y的前三个值。若J1f(x)dx=A0f(-1)+Aif(0)+A2f(1)有二次代数精度，求A0，A1—101201A2。四、证明题设f(x)=(x-1)(x-2).证明对任意的x有：f(1,2,x)=1.四参考答案一．选择题1.B2.A3.B4.A5.D二．填空题1.[f(xx)-f(xx)]/(x-x)2.b－a0,11,2021/8.[-2.78,0]三．计算题1.解梯形公式J三．计算题1.解梯形公式Jbf(x)dx沁b-—a[f(a)+f(b)_a211111应用梯形公式得JdxQ[+]=0.7501+x221+01+1辛卜生公式为Jbf(xbx沁b—a[f(a)+4f(a+b)+f(b)]a62..专业资料...专业资料.应用辛卜生公式得I〜严f（0）+4f（罟+f◎=h+4x丄+丄]=4761+1+160(1).二分的次数：n+1〉=[ln(b-a)-lne]/ln2=[ln1-ln10-2]/ln2=2ln10/ln2=6.6445取7.⑵.若用牛顿法求解，要求：f(x/f"(x/>0,f'(x)=3x2+2xf''(x)=6x+2,可见：f''(1)>0,f''(2)>0.而f(2)〉0,所以取x0=2.解（1）因为A是严格对角占优矩阵，由定理知雅可比迭代法收敛。2)雅可比迭代公式X(m+1)=CX(m)—2X(m)+20)/8TOC\o"1-5"\h\z1/23)<x(m+1)=^—4x(m)+x(m)+33丿/112(13)x(m+1)=^—6x(m)-3x(m)+36丿/12、312/(3)初值X(o)=(0,0,0)t，则X(1)=(2.5,3,3>自变量的值x=0x=0.1x=0.2x=0.30123相应的y值y0=1,y=y+hf(x,y)=1+0.1X(0+1)=1.11000y=y+hf(x,y)=1.1+0.1X(0.2+1.1)=1.22y=1.22+0.1X(0.2+1.22)=1.362。分别令f(x)=1,f(x)=x,f(x)=x2。得：'A+A+A=2012<—A+A=002A+A=2/302所以A=1/3,A=4/3,A=1/3。012四．证明题(共10分)证明：f(1,2)=[f(1)-f(2)]/(1-2)=[0-0]/(-1)=0,对任意的X有f(2,x)=[f(2)一f(x)]/(2一x)=[0-(x-1)(x-2)]/(2一x)=(x-1),所以f(1,2,x)=[f(1,2)—f(2,x)]/(1-x)=[0—(x-1)]/(1一x)=1一、填空题「15-2「(1)设A=-210,则a||=-82⑵对于方程组[ox1—4二3,Jacobi迭代法的迭代矩阵是TOC\o"1-5"\h\zGJ=.⑶3x*的相对误差约是x*的相对误差的倍.求方程x=f(x)根的牛顿迭代格式是设f(x)=x3+x-1，则差商ft),1,2,3]=.设nxn矩阵G的特征值是人,九2,A,九,则矩阵G的谱半径12nP(G)=12⑺已知A=01,则条件数C叽(A)⑻为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将ln(x7x2-1)改写为n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次.拟合三点(T],f(x1)),(x2,f(x2)),63,f(x3))的水平直线是(15分)证明:方程组

2x-x+x=1123<x+x+x=1123x+x-2x=1123使用Jacobi迭代法求解不收敛.（15分）定义内积（f,g）=rf（x）g（x）dx0试在H1=Span*!,x｝中寻求对于f（x）=jx的最佳平方逼近元素p（x）.（15分）给定数据表x-2-1—0.10.10.4x-2-1—0.10.10.410.921.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.（15分）依据如下函数值表x0124f(x)19233建立不超过三次的拉格朗日插值多项式.（15分）试用Simpson公式计算积分J2e1/xdx1的近似值,并估计截断误差.（15分）用Newton法求方程x-Inx=2在区间（2,s）内的根，要求xk—xk-1<10-8k九.（15分）给定数表x—1012f(x)10141615f'(x)10.1求次数不高于5的多项式H5（x），使其满足条件:..专业资料...专业资料.H5(xi)=f(xi),i=0,1,2,3

H5(xi)=f(xi),i=0,2其中x.=—1+i,i=0,1,2,3。五参考答案、填空题(1)(2)(3)(4)(5)(6)1—2351

—8—202，贝HA=___13(1)(2)(3)(4)(5)(6)1—2351

—8—202，贝HA=___1300对于方程组仁；—4；=3,Jacobi迭代法的迭代矩阵是G3x*的相对误差约是x*的相对误差的1/3__倍.J=02.52.5「0求方程x=f(x)根的牛顿迭代格式是x+1=x—xn—f(xn)+1n1+f'(xn)设f(x)=x3+x—1，则差商ft),1,2,3]=_1设nxn矩阵G的特征值是人,九2,A,九,则矩阵G的谱半径12np(G)=_max。<i<n1(7)已知A=,则条件数Cond(A)6O0一⑻为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将ln(x-Jx2—1)改写为—ln(x+.x2+1)。n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n-1次.拟合三点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),g,f(x3))的水平直线是13y=3yf(xi)°3i=1(15分)证明:方程组.专业资料.

2x-x+x=1TOC\o"1-5"\h\z123<x+x+x=1123x+x-2x=1

123使用Jacobi迭代法求解不收敛.证明Jacobi迭代法的迭代矩阵为_00.5-0.5「Gj=-10-1（5分）|_0.50.50Gj的特征多项式为九-0.50.5det（Xl-GJ）=1九1=九（九2+1.25）（5分）-0.5-0.5九Gj的特征值为九1=0，九2=扛25i，九3=r125i，故p（GJ）=<125>1，因而Jacobi迭代法不收敛。（5分）三.(15分)定义内积(f,g)=J1f(x)g(x)dx0试在H1=Span^L,x｝中寻求对于f(x)=•、：x的最佳平方逼近元素p(x).0=J1xdx=—02

f）=J\xdx=35分)解申0(0=J1xdx=—02

f）=J\xdx=35分)=J1dx=1，0（p1,）=J1x2dx=,

1103（p1,f）=J1105法方程为解得c0=14c1解得c0=14c1_11/2「「2/3「1/21/3-c1-2/55分)12=15。所求的最佳平方逼近元素为412p(x)=+x，0WxW115155分)试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.解y(x)二c试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.解y(x)二c0+C]x+c2x2+c3x3j-24-8「-50100_1-11-10100341000，ATA=100340111103401301248A=8分）ATy=(2.9,4.2,7,14.4)t法方程TOC\o"1-5"\h\zAtAc=ATy(2分)的解为Cq=0.4086,C]=0.39167,c?=0.0857,c§=0.00833(3分)得到三次多项式y(x)=0.4086+0.39167x+0.0857x2+0.00833x3误差平方和为b3=0.000194（2分）五.（15分）依据如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式.(x-(x-1)(x-2)(x-4)(0-1)(0-2)(0-4)177=一一x3+x2-x+1

884

li(x)==—X31(1-0)(1-2)(1—4)3TOC\o"1-5"\h\z(X-0)(li(x)==—X31(1-0)(1-2)(1—4)33(x-0)(x-1)(x-4)15一一X3+X2一X(2一0)(2一1)(2一4)44l3(X一0)(X一1)(X一2)(4-0)(4-1)(4-2)1l3(X一0)(X一1)(X一2)(4-0)(4-1)(4-2)1X3-2411X2+X8128分）拉格朗日插值多项式为3L(X)=2f(Xi)l.(X)=l0(X)+9l](X)+23l2(X)+3l3(x)i=011451=—X3+X2—X+14427分）七.（15分）试用Simpson公式计算积分J2e1/Xdx1的近似值,并估计截断误差.22-1Je1/xdx沁(e+4e1/1.5+e1/2)=2.026318分）1123624f⑷=(+++)e1/XX8X7X6X5max|f(4)(x)|=f(4)(1)=198.431<x<2截断误差为|Rj<max|f⑷(x)|=0.0689028801<x<27分）八.（15分）用Newton法求方程x-Inx=2在区间（2,s）内的根，要求Xk-Xk-1Xk<10一8。解此方程在区间（2,s）内只有一个根s，而且在区间（2,4）内。设f(x)=X-lnx-25分)f'(X)=1--，f''(X)5分)XX2Newton法迭代公式为k+1二xkXk-lnk+1二xkXk-lnxkx(1+lnx)

kk1-1/xkxk-1k=0,1,2,A5分）取取x0=3，得s〜x4=3.146193221。（5分）九.（15九.（15分）给定数表H5H5(xi)=f(xi),i=0,1,2,3H5'(xi)=f(xi),i=0,2其中Xi=—1+i,i=0,1,2,3。解先建立满足条件p3(X)=f(Xi)，i=0,1,2,3的三次插值多项式p3(x)。采用Newton插值多项式p3(X)=f(x0)+ftx0,x」x—x0)+ftx0,X],X2lx—X0)(X—X])+—x—x0)(x—x1)(x—x2)==10+4(x+1)一(x+1)x一(x+1)x(x一1)688分)再设H5再设H5(x)=〃3(x)+(ax+b)(x+1)x(x—1)(x—2)，由H5'(—1)=p3'(—1)+(—a+b)(—6)=1H5'(1)=p3'(1)+(a+b)(—2)=0.16059161解得a59161解得a=-,b=360360故所求的插值多项式19H(x)=14+x-x2565分)-6x3+360(161-59x)x(x2-1)(x-2)2分)一、填空题1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有收敛2、迭代过程(k=l,2,…)收敛2、迭代过程的充要条件是3、已知数e=2.718281828...,取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组.专业资料...专业资料...专业资料.的迭代格式中求5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式少具有次代数精度.的求积系数之和7、插值型求积公式的求积系数之和8、对角线元素为正的下三角形的取值范围9、若，为使A可分解为A=LLT其中L为则矩阵A的谱半径(A)=1010、解常微分方程初值问题的梯形格式1010、解常微分方程初值问题的梯形格式..专业资料...专业资料.是阶方法二、计算题..专业资料.2).2).专业资料.1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度2、设

1)写出解的Newton迭代格式2)证明此迭代格式是线性收敛的，证明：3、设R=I—CA，如果，证明：1)A、C都是非奇异的矩阵六参考答案44、一、填空题1、局部平方收敛5、三阶均差为06、n7、b-a8、9、110、二阶方法11、证明：当=1时，公式左11、证明：当=1时，公式左..专业资料...专业资料.边：公式右..专业资料...专业资料.边：边：左边==右边（3分）=x时左边：右边：左边==右边4分）左边：当当时左..专业资料...专业资料.右边：左边==右边4分）边：右边：左边==右边4分）边：右边：44分）44分）..专业资料...专业资料.具有三次代数精度。（1分）2、证明：1）因，由，由Newton迭代公式：，由，由Newton迭代公式：..专业资料...专业资料.n=O,l,…5分）n=O,l,…..专业资料...专业资料.5分）2）因迭代函数，而4分）55分）55分）..专业资料...专业资料.故此迭代格式是线性收敛的。1分）3、证明：（1）因-R=CA，所以C,A都是非奇异矩阵，所以I-R非奇异，因I（5分）0IIIIIIEZ-Ii~iIIO墨&II~Io县LOOJE..专业资料...专业资料.又RA-i=A-i-C,故由（5分）移项得结合（2.1）、（2.2）两式，得5分）七填空设设x=，取5位有效数字，则所得的近似值设设阶差商设设阶差商..专业资料...专业资料.则二阶差商数值微分中，已知等距节点的函数值数值微分中，已知等距节点的函数值,则由数值微分中，已知等距节点的函数值数值微分中，已知等距节点的函数值,则由..专业资料...专业资料.三点的求导公式，有求方程的近似根，用迭代公式求方程取初始值取初始值取初始值取初始值..专业资料...专业资料.那么解初解初始值问题解初解初始值问题..专业资料...专业资料.近似解的梯形公式是..专业资料...专业资料.6、，则A的谱半径7、设，其中，其中L为下三角阵，当其对角线元素..专业资料...专业资料.8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯■塞德尔迭代都9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为10、设时，必有分解式足条件时，这种分解是唯一的。、计算题1、设1)试求在上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足H(x)H(x)以升幕形式给出。H(x)H(x)以升幕形式给出。..专业资料...专业资料.的表达式2)写出余项的表达式2、已知满足满足满足满足..专业资料...专业资料.试问如何利用构造个收敛的简单迭代函数使使..专业资料...专业资料...专业资料.0,1…收敛?，使得数值积3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的?的数值解4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：七参考答案一、填空题1、2.31502、3、4、1.55、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、（1）分）（2）（10（2）（10（2）（10（2）（10..专业资料...专业资料.分）、由，可得..专业资料...专业资料.分）4分）4分）故4分）k=O,l,故4分）、，（7分）该数值求积公式具有5次代数精确度，（4分）它是Gauss型的（4分）、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间在区间在区间在区间..专业资料...专业资料.上积分，记步长为h,对积分..专业资料...专业资料.（5分）用Simpson求积公式得分）所以得数值解公式5分）一.填空题TOC\o"1-5"\h\z数值稳定的算法是指：。方程xex-1=0的一个有根区间为:，可构造出它的一个收敛的迭代格式为：。解方程f(x)=0的Newton迭代公式为，Newton迭代法对于单根是阶局部收敛的。解三角线性方程组的方法是过程。矩阵A的谱半径定义为p(A)=，它与矩阵范数的关系是。线性方程组Ax=b中令A=D+L+U，其中D是A的对角部分构成的矩阵，L和U分别是A的(负)严格下(上)三角矩阵，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是。f(x)的差分形式的Newton插值多项式：A2fAnfN(x+th)=f(x)+Aft+ot(t—1)+A+ot(t—1)A(t—n+1)。n0002!n!二．(10分)设f(x)=x3—3x2+4x—3，请用秦九韶算法计算f(2)。三．(10分)请用二分法计算方程f(x)=x3—3x2+4x—3=0的近似根，并进行到第3步为止。2x+x+x=0123四.(20分)用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组：［x+x+x=3123x+x+2x=1123五.(15分)用余弦函数cosx在x=0,x=存,x=开三个节点处的值写出二次01422Lagrange插值多项式函数，并近似计算cos耗及其绝对误差与相对误差，且与误6差余项估计值比较。六.(15分)某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：学期(x)1234平均成绩(y)63.270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。八参考答案一.填空题数值稳定的算法是指：舍入误差对计算结果影响不大的算法。方程xex-1=0的一个有根区间为：(0,1),可构造出它的一个收敛的迭代格式为：x=1/exk-1。—k解方程f(x)=0的Newton迭代公式为x=x一f(x)/f'(x)，Newton迭kk-1k-1k-1代法对于单根是二阶局部收敛的。解三角线性方程组的方法是回代—过程。矩阵A的谱半径定义为p(A)=max{l九l|lXI-A1=0},它与矩阵范数的关系是P(A)<llAll。线性方程组Ax=b中令A=D+L+U，其中D是A的对角部分构成的矩阵，L和U分别是A的(负)严格下(上)三角矩阵,则Jacobi迭代法的迭代矩阵是-D-1(L+U)。f(x)的差分形式的Newton插值多项式：A2fAnfN(x+th)=f(x)+Aft+ot(t—1)+A+ot(t—1)A(t—n+1)。TOC\o"1-5"\h\zn0002!n!二.(10分)设f(x)=x3-3x2+4x-3，请用秦九韶算法计算f⑵。解：按秦九韶算法列表计算如下：(2分)1-34-3x=22-24

-1l=f（2）（7-1l=f（2）（7分）所以f（2）=1.（1分）三.(10分)请用二分法计算方程f(x)=x3-3x2+4x-3=0的近似根，并进行到第3步为止。解:取［0,2］的中点c=1,此时有f(c)=-1<0,而f(2)=1>0,故此时方程的隔离区间缩小为［1,2］;(2分)再取［1,2］的中点c=1.5,此时有f(c)=-0.375<0,而f(2)=1>0,故此时方程的隔离区间缩小为［1.5,2］;(2分)再取［1.5,2］的中点c=1.525,此时有f(c)二-0.330<0,而f(2)=1>0,故此时方程的隔离区间缩小为［1.525,2］;(2分)2x+x+x=2x+x+x=0123<x+x+x=3123x+x+2x=1123(20分)用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组:解:先用紧凑格式的三角分解法计算分解矩阵:'2110''2110''2（Ab）=1113=1/2J121‘J/2从而有110、1/21/23（10分）1/21-1/2,'2110'‘100'‘211'A=1113=1/21001/21/2（3分）J121‘J/21/21/<001>11/2011/21回代求解得:x）‘11/2011/21回代求解得:x）‘01x=32x3丿J/2x=1/2,x八丿3（5分）=11/2,x=-3（2分）21五.(15分)用余弦函数cosx在x=0,x=存，x=升三个节点处的值写出二次01422Lagrange插值多项式函数，并近似计算cos开及其绝对误差与相对误差，且与误6差余项估计值比较。

解：二次Lagrange插值多项式函数为：(x-解：二次Lagrange插值多项式函数为：(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)L(x)=12y+02y+012(x-x)(x-x)0(x-x)(x-x)101021012202(x—升)(x—哥)(x—0)(x—哥)(x—0)(x—哥)=42-1+—y+—-0(0—升)(0—哥)(升—0)(哥—哥)1(升—0)(哥—哥)42442224(4x-兀)(2x-兀).(8x—0)(2x-兀)<2=-1—-—(x—x)(x—x)1y2(10分)6吩)=2+翠=3(2分)其绝对误差与相对误差分别为:7171e=cos-L（一）沁0.0152&兀e=e/cos〜0.0176(2兀e=e/cos〜0.0176(2分)r6误差余项估计值为R2存G-0吋-陽-却3<U640.02392(2分）可以看出,误差余项略大于绝对误差.（1分）六.（15分）某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：学期（x）1234平均成绩（y）63.270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。解:用最小二乘法求解.设所求的直线为y=a+bx,则整体误差为:E(a,b)=£(a+bx-y)2(5分)iii=1fSEQa6E、QfSEQa6E、Qb=0得关于a,b的线性方程组为:=04a+b£4x=£y

iii=1i=1xyiii4a工x+b工x2=£ii=1i=1i=1,即4a+10b=289.7z,(510a+30b=747.6解得a=60.75,b=4.67所以所求的直线为y=60.75+4.67x.(2分)将x=5,6,7,8分别代入y=60.75+4.67x后可估计得出他在大学三四年级各个学期的平均成绩分别为：y=84.1,88.77,93.44,98.11。填表。(3分)九注：填空题答案要求填写在相应的表中，否则无效。一、填空题(共48分，每小题4分)TOC\o"1-5"\h\z1、数值方法中需要考虑的误差为。2、若y=2n,贝yAy=,Vy=。nnn3、辛普森公式的代数精度为。4、函数f(x)的线性插值余项表达式为。5、若非线性方程f(兀)=0可以表成x=9(x)，用简单迭代法求根，那么申(x)满足，近似根序列x,x,A,x,A一定收敛。12k6、取X(0)=(1,1,1)T用Gauss-Seidel方法求解方程组‘4x+x-x=5123«2x+5x+2x=—4123x+x+3x=3123迭代一次所得结果为：X(1)=()T。7、用列主元素消去法求解线性方程组x—x+x=5123<—18x+3x—x=—15123x+x+x=6123第二次所选择的主元素的值为。

8、运用梯形公式和Simpson公式，计算积分f1x3dx,其结果分别0为。9、设方程f(x)=0的有根区间为[a,b],使用二分法时，误差限为x一x*x一x*<k+1(其中x+1a+b=—kk2)。10、用改进的欧拉方法求解初值问题｛;(;二》，取步长h=0.2，则TOC\o"1-5"\h\zy(1.2)。——1L11计算f二心-"取-2~1・4，利用算式E，(3一2远3，乔冇;99-70<1计算，得到的结果最好的算式为12、由序列｛1,x,A,xn,A｝正交化得到的Chebyshev多项式的权函数为区间为。已知函数表x-112f(x)-304给出Lagrange二次插值多项式，并求f(0)的近似值；给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求f(0)的近似值给出离散数据的线性拟合多项式，并求f(0)的近似值。五、设a>0，给出用牛顿迭代法计算丄的公式，并根据初值

ax二1.2345/2二0.61725来计算一—的值。(要求迭代3次)o1.2345六、

y'-12xy用欧拉预一校公式求解初值问题1-齐花0<x<1、y(0)=0要求取步长h二0.5。九参考答案二、填空题(共48分，每小题4分)二、(12分)X-X-112f(x)-304给出Lagrange二次插值多项式，并求f(0)的近似值；给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求f(0)的近似值;解：先作插值多项式P(x)，用P(x)沁f(x)，求P(0)(1)L(兀)=I(x)j+1(x)y+1(x)y2001122=(x-X!)(x-x2)+(X-xo)(x-x2)TOC\o"1-5"\h\z(X-X)(X-X)0丿(X-X)(X-X)1o1o21o12(X-X)(X-X)+o1f(X)(X-X)(X-X)22021=(X一1)(X—2)+(X+1)(X一2)0+(X+1)(X—1)4_(-1-1)(-1-2)(一)(1+1)(1-2)°(2+1)(2-1)•14=一—(X一1)(X一2)+—(X+1)(X-1)TOC\o"1-5"\h\z37=一X2+X——2314f(0)-L2(0)=-.2+(-1)23(2)用Newton二次插值f(x)一f(x)0—x-x01f[xf[x0,x2]_f(兀丿一f(x2)_0^_-4_4x—x1—2—1122一4]_f[x0,x1]一f[x1，x2]_1_x-x一1一202P(x)_f(x)+f[x,x](x-x)+f[x,x,x](x-x)(x一x)20010012013553_-3+T(x+1)+7(x+1)(x一1)_6x2+2x一35f(0)«P(0)_-3+3―5_226四、（15分）设a>0，给出用牛顿迭代法计算1的公式’并根据初值％_1.2345/2_0.61725来1计算1.2345的值。（要求迭代3次）解设方程f(x)_--a_0,f'(x)_1xx2f(x)牛顿迭代：xk+i_「吋_xk(2-叫取x_1.2345/2_0.61725，下表是迭代3次的计算结果：00.617250.764160.807450.81004五、（10分）'y'_i_王用欧拉预一校公式求解初值问题］y1+x20Ux<1y（0）_0要求取步长h_0.5，计算结果保留6位小数。解：欧拉预校公式为：y,_y+hf(x,y)n+1nnnhy._y+t[/(x,y)+/(x】，y丿]1211..专业资料.0.0.专业资料.将f(x)=1-芒2，h二0.5带入上式’可得xn+1=y+(0.5-一y)n1+xn+1n+1nn+1nx=y+0.5[1-—yn1+x2nnxn+1—1+x2n+1yn+1由y0二0可得:~二0.500000,1~二0.500000,1y(0.5)沁y二0.400000；1~二0.74000,2y(1)沁y二0.6350002十一、填空题TOC\o"1-5"\h\z1、《计算方法》主要讲述的五部分内容为。3、已知“=3.1415926…，取冗«3.14159，那么兀具有的有效数字是4、若非线性方程f(兀)=0可以表成x=9(x)，用简单迭代法求根，那么申(x)满足，近似根序列x,x,A,x,A—定收敛。12k5、取X(0)=(1，1，1)T用Gauss-Seidel方法求解方程组4x+x一x=5123<2x+5x+2x=-4123x+x+3x=3123迭代一次所得结果为：X(1)=()T。6、用列主元素消去法求解线性方程组

<4x一x+x=5123一18x+3x一x=一15123x+x+x=6123第二次所选择的主元素的值为。7、运用梯形公式和Simpson公式，计算积分J1x3dx,其结果分别为0。8、设方程f（x）=0的有根区间为［a,b］，使用二分法时，误差限为x一x一x*<k+1（其中x=a2%）。k+129、用改进的欧拉方法求解初值问题比二一吧取步长h=02，则TOC\o"1-5"\h\zy（1・2）q。10、由序列｛1,x,A,xn,A｝正交化得到的Chebyshev多项式的权函数为，区间为。二、（15分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别1、给出Lagrange二次插值多项式，并求f（3・5）的近似值；（3分）2、给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求f（3・5）的近似值；（5分）3、给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求f（3.5）的近似值。（7分）三、（15分）对于求积公式Jhf（x）dxQh［f（0）+f（h）］+ah2［f'（0）-f'（h）］02（1）求待定参数a使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）（2）用所求公式计算Jhx2dx的值。（5分）

四、10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组49四、10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组49615269186x)1(9)15x22318x32240>G丿4<47‘五、（10分）对非线性方程f（x）=（x-1）3（x-2）=0（小数点后保留5位）。1、取x=0・9,用牛顿迭代法计算x,x；（3分）0122、取x=0.9,用计算重根的牛顿迭代格式计算x,x；（3分）0123、取x=0・9，0x=1・1,用弦截法计算3、取x=0・9，0123六、（10分）用欧拉预一校公式求解初值问题\y=1-17^0<x<1丿（0）=0要求取步长h=0.5，计算结果保留6位小数。试卷十参考答案一、填空题插值与拟合，数值微积分，线性方程组的解法，非线性方程的解法，常微分方程数值解3．5b'（x）<11.25,-1.7,1.15或5/4,-17/10,23/206.7/67.0.50.258.（b-a）/2k+19.0.71408110.[-1,1]1—X2二、（10分）利用已知的离散数据点（2,4）,（3,9）,（5,25）,分别..专业资料...专业资料.1、给出Lagrange二次插值多项式，并求f(3・5)的近似值；(3分)2、给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求f(3.5)的近似值；(5分)3、给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求f(3.5)的近似值。(7分)解1、以插值点(2，4)，(3，9)，(5，25)代入插值公式，得(x-x)(x-x)(X-x)(x-x)(x-x)(x-x)L(x)=12f(x)+02f(x)+01f(x)TOC\o"1-5"\h\z(x-x)(x-x)0(x-x)(x-x)1(x-x)(x-x)220210122021=(x-3)(x-5)%4+(x-2)(x-5)%9+(x-2)(x-3)决=(2-3)(2-5)(3-2)(3-5)(5-2)(5-3)4925L(x)=(x-3)(x-5)-(x-2)(x-5)+(x-2)(x-3)=x226代入可得f(3.5)沁L(3.5)=12.25。2、做出插值点(2,4)(3,9)(5,25)的差商表：ixi/[xi]f[xi-i，xi]f[xi-2,xi-1，xi]024139(9-4)/(3-2)=52525(25-9)/(5-2)=8(8-5)/(5-2)=1N(x)=f[x]+f[x,x](x-x)+f[x,x,x](x-x)(x-x)001001201=4+5(x-2)+(x-2)(x-3)=x2代入可得f(3.5)沁N(3.5)=12.25。3、设拟合多项式为P(x)=a+ax101则由法方程AtAX=AtY可得:「12_「4_「11「a「11「130=9235a23515125

-310_a--310_a-38_整理可得：10380=160a1解之得：785097则P1(x)—N+Nx,心)〜P"=亍78,a7150均方误差为：R二》[P(x)-y]2沁2.571428iii=0三、(10分)对于求积公式Ihf(x)dx«h[f(0)+f(h)]+ah2[f'(0)-fh02(1)求待定参数a使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；(10分)(2)用所求公式计算Ihx2dx的值。(5分)0解：(1)求积公式中只含有一个待定参数a当f(x)=1,x时，有Ih1dx=0中1+1]Ih1dx=0中1+1]+0Ihxdx=—[0+h]+ah2(1-1)=02h2~2故令f(x)=x2时求积公式精确成立，即Ih0hx2dx=—[0+h2]+ah2[2x0一2h]解得1a=12将f(x)=x3代入上述确定的求积公式，有Ih0Ih0hx3dx=[0+h3]+2竺[0-3h2]=丄h4124说明求积公式至少具有三次代数精度。

再令f(x)=x4，代入求积公式时有因此所求求积公式具有三次代数精度。Ih0Ih0h2[0-4h3]h11(2)Jhx2dx=—[0+h2]+—[2X0—2h]=—h3

02123四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组496496156x)-1(9)15x22318x32240>G丿4<47‘26918解：设A=LU=1l21l31l1l32l1lA=LU=1l21l31l1l32l1lu11u12u22u13u23u33u14u24U34u442分）「1「2426「21,U-1231213633211由矩阵的乘积可得：L=4142436分）设Ux=Y,设Ux=Y,则原方程组可以化为LY=b，解之得Y=（9,5,3,—1）T，（i分）根据Ux二Y，可得X二（0.5,2,3,—1）T1分）五、（10分）对非线性方程f（x）=（x-1）3（x-2）=0（小数点后保留5位）。1、取xo=0・9,用牛顿迭代法计算x1、取xo=0・9,用牛顿迭代法计算x,x；（3分）122、取xo=0・9,用计算重根的牛顿迭代格式计算H，x2；（3分）3、(1)取x-o・9，o用牛顿迭代格式x-1・1,用弦截法计算x,x12；(4分)3xk+xk+1x=0.90—f(x)—090.0011—093235宀八、X1—x0-吋-•一屈-*("

x2=x1一笛=0*93235--0000337=0*95446分)（2）计算重根的牛顿迭代公式：1分）3f(x1分）x=x一3i

k+1kf'(x)kx=0.901分）=x0-3册=O'9-3X-S=°.1分）0=x-3华f(x1)=0.99706-3x_0000367=0-9999971=x-3华f(x1)=0.99706-3x_0000367=0-9999971分）（3）用弦截法迭代格式：xk+1f(x)kkf(x)-f(x)kk-1(x-xkk一1)2分）=0.9,x1二1.1f(x)((xf(x)一f(x)1

10-x)二1.0100001分）六、（10分）f(x)-f(x)(x221-x)二1.0099011分）用欧拉预—校公式求解初值问题丁=1-丿(0)=02xy1+X20<x<1要求取步长要求取步长h=0.5，计算结果保留6位小数。解：欧拉预校公式为：｛y,欧拉预校公式为：｛y,=y+hf(x,y)n+1nnnhy.=y+t[/(x,y)+/(x1n2n+1,yn+1）］（3分）将将f（x）=1-r+h，h=0.5带入上式’可得y.=y+(0.5—y.=y+(0.5—nn+1Vyn+1=y+0.5[1—nxny)1+x2nnxn—y1+x2nn(3分)x~n+1—y]1+x2n+1n+1由y0二0可得:~二0.500000,y(0.5)沁y二0.400000；(2分)11~二0.74000,y(1)沁y二0.635000(2分)221.、单项选择题以下误差限公式不正确的是(A.£(x—x)=£(x)-£(x)1212B.2.3.4.£(x+x)=£(x)+£(x)1212£(x2)=2|x|£(x)C.£(xx)=lx|£(x)+lx|£(x)1212'11V2长为h的等距节点的插值型求积公式，当n=2时的牛顿一科茨求积公式为()fbf(x)dxu牛f(a)+f(b)a2D.rR步A．B．C．D．fbf(x)dxu—a3fbf(x)dxu—

a3fbf(x)dxu—a4f(a)+ff(a)+f+f(b)+f(b)丿」通过点(x,y),(x,y)的拉格朗日插值基函数l(x),l(x)满足(00A.l(x)=0,00C.l(x)=10011(x)=0II01B.l(x)=0，l(x)=10011D.l(x)=1,l(x)=10011(x)=1II用二分法求方程f(x)=0在区间［a,b］上的根，若给定误差限£,则计算二分次数的公式是n>()ln(b—a)+ln£A.+1ln2

ln(b—a)—ln£C.忑+1ln(b—a)+ln£B.—1ln2ln(b—a)—ln£D.—1ln25.若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是()10x一x+4x=0TOC\o"1-5"\h\z123A.彳2x一5x+x=2123x一x+6x=-11232x一x+2x=0123C.<—x—5x+x=11232x+x+6x=0123

3x—x+x=1123B.<—x—5x+2x=0123x+2x+6x=—112310x—x+4x=0123D.彳2x—5x+x=0123x—x+x=—1123填空题数x*=2.1972246•…的六位有效数字的近似数的绝对误差限是。已知函数y=f（x）在点x=2和x=5处的函数值分别是12和18，已知f（5）u2,12则f'（2过n对不同数据（x,y）,i=1,2,・・・，n，的拟合直线y=ax+a，那么a,a满足的法ii1010方程组是已知函数f（x）的函数值f（0）,f（2）,f（3）,f（5）,f（6），以及均差如下f(0)=0,f(0,2)=4,f(0,2,3)=5,f(0,2,3,5)=1,f(0,2,3,5,6)=0那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幕的系数y'=f（x,y）（「」）解初值问题＜10.（）xe[a,b]解初值问题＜10.yx=y00y（x）—y（x）=hf（匚,y（匚））,匚e[x,x],k=0,1,2,・・・，n—1k+1kkkkkk+1TOC\o"1-5"\h\z中的平均斜率ft,yC））,其中h,x分别是n等分[a,b]的步长合节点。若用x点kkkk处的斜率近似平均斜率ft,y（匚）），得到初值问题的数值解的近似公式kky(x)qy=y+k+1k+1k四、计算题5x—x—x—x=—41234—x+10x—x—x=1211.用高斯一赛德尔迭代法求解线性方程组｛134。，已知—x—x+5x—x=81234—x—x—x