2020-2021学年朝阳第一高级中学高一年级上册学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年朝阳第一高级中学高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知集合4={xGZ\x2<9},B={x|<2}，则4n)

•22

A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,0,2}C.(-3,1)U(2,3)D.(|,3)

2.给出下列说法：

①命题“若x=kn(keZ),则sin2x=0”的否命题是真命题；

②命题“mxGR,2X2+X+1<V2"是假命题且其否定为“VxGR,2/+X+1>企”；

③已知a,b€R,则“a>b”是“2。>2》+1”的必要不充分条件.

其中说法正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

3.己知集合4={y|y=2"—l,x€R},B={x\x2—x—2<0),则

A.-1eAB.有篦C.=D.A\JB=A

4.若渤黜刚，使不等式归-4|朴归-郢<娥在虚上的解集不是空集的僦的取值是

A.«.<3,B.渤=口C.：af>3D.以上均不对

5.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40

次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为()

A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4

6.已知x>0,则>=%+/的最小值为()

A.4B.16C.8D.10

7.有4个命题：①对于任意靠‘电鲤口讷第笳峰^巴②存在潟图鲫嘏敕&、心广

冬年J54

*11

③对于任意的第您鲫?*''y腌u军；④对于任意的家您斛佃魏Cr零

43G

其中的真命题是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

8.已知/(x)为定义在R上的偶函数，当xW0时，/(x)=2L则/(“)的值域为()

A.[1,+8)B.(0,1)C.(0,1]D.(―8,1]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列说法正确的有()

A.两条相交直线确定一个平面

B.平行于同一平面的两条直线平行

C.标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度

D.若某种奖券的中奖率为0.1,则抽奖10次必有一次中奖

10.下列命题中，不正确的是()

A.若3为单位向量，且五〃落则为=|中3

B.若明/「且石〃高贝暇〃不

C.a-a-a=|a|3

D.若平面内有四点4,B,C,D,则必有而+前=而+而

11.已知函数1'骁°，则下列说法不正确的是()

A./(x)是非奇非偶函数B.是增函数

C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域是［-1,+8)

12.已知函数=:。/。，其中实数aeR,则下列关于工的方程产色)一Q+a).

/Q)+a=0的实数根的情况，说法正确的有()

A.a取任意实数时，方程最多有5个根

B.当二/<a<竽时，方程有2个根

C.当。=士立时，方程有3个根

2

D.当aW-4时，方程有4个根

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知方程log?”+x-m=0在区间(1,2)上有实根，则实数m的取值范围是.

14.设基函数y=/Q)的图象经过点(8,),则/(全)的值为.

15.已知向量Q=(2X+1,4),2=(2—%3)，若不〃Z，则实数x的值等于.

16.已知/(%)是定义在R上的奇函数，当0WxW1时,/(x)=y，当％>0时,f(%+1)=f(x)+/(I),

若直线y=kx与函数y=/(x)的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(本小题满分14分)

已知命题少：实数加满足刊2-7a初+12/<0(。>0)，命题夕：实数出满足方程

22

」—+上一=1表示焦点在V轴上的椭圆，若一10是一1。的充分不必要条件，求〃的取值范围.

m-17.-m

18.从甲、乙两个班级各随机抽取10名同学的数学成绩进行统计分析，两班成

绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格.

(/)试完成甲班制取10名同学数学成绩频率分布表，并估计甲班的及格率.

分组频数频率

[70,80)

[80,90)

[90J00)

[100,110)

(〃)从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率.

19.设函数g(x)=3*,h(x)=9X.

(I)解关于x的方程h(x)-llg(x)+2/i(l)=0；

(口)令下。)=舒，求尸岛)+尸(急)+…+/(翁+尸(勃的以

x

20.已知函数/(r)=logl(4+l)+kc(kwR)是偶函数.

⑴求f(0)；

(2)求实数上的值

17

(3)若在XC［凡+00)时，/(X)最小值为log4—，求a的值

4

21.给定两个长度为1的平面向量成和赤，它们的夹角为120。.B-----太

⑴求|成+而|;\/)

0A

(2)如图所示，点C在以。为圆心的圆弧才8上变动.若无=丫瓦？+丫赤，其中x,y&R,求x+y的

最大值？

22.设二次函数/(%)=Q/+bx+c,其中a、b、cER,

(1)若b=2(a+l),c=9a+4,且关于x的不等式」<。的解集为R,求a的取值范围；

(2)若a、b、cez,且"0)、〃1)均为奇数，求证：方程;•(x)=0无整数根；

(3)若a=l,b=2k-l,c=k2,求证：方程f(x)=0有两个大于1的根的充要条件是k<—2.

参考答案及解析

1.答案：B

12

解析：解：集合/={%GN\x2<9}={-2,—1,0,1,2),B=[x|—<2}=[x\x<1或%>

则4nB={-2,-1,0,2},

故选：B.

先求出集合4和B,由此能求出ACB.

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基

础题.

2.答案：C

解析：

求出使sm2x=0的x值判断①；由不等式的性质得到2退+工+1>&并写出原命题的否定判断②；举

例说明③正确.

本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件和必要条件的判定方法，考查了命题的否定，

是基础题.

解：命题''若x=eZ),则sin2x=0"的否命题为“若x力€Z),则sin2x#0",举反

例：/；.则sin2_rsinrr0.故其否命题为假命题，故①错误；

2

2M+X+I=2(x+i)+j>2J>V2.命题“次GR,2两工+1<式"是假命题，其否定为“以6R,

2^+x+i之鱼”，故②正确；

当a=0,b=-1时，由a>b不能得到2a>2b+1,故充分性不成立;2a>2b+1>2b,又y=2”在

R上单调递增，故a>b,故必要性成立;则“a>b”是“2。>2〃+1”的必要不充分条件,故③正

确.

・•・正确的命题是②③.

故选：C.

3.答案:D

解析：本题考查指数运算和一元二次不等式的解法，以及集合的有关问题，根据题目给定的条件，

对选项一一验证即可.

解:=刎辱,*一年，邸=标|<2E<鹭,二滴心通=痣，

故选D

4.答案：C

解析：试题分析：不等式h-41H,-郢《：翔,在虚上的解集不是空集，即不等式归-用开归-期:螂能

够成立。而由绝对值的几何意义，归-4代帕-制表示数轴上点到定点3,4的距离之和。其最小值为

1,所以，使不等式归-叫法卜.,-郅《争在勰上的解集不是空集的函的取值是碱>a，选c。

考点：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义。

点评：中档题，注意转化成求函数的最值问题，利用绝对值的几何意义解题。

5.答案：C

解析：解：某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，

那么出现正面朝上的频率为喘=0.4.

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是:，

故出现正面朝上的概率为1=0.5,

故选：C.

由题意利用事件发生的频率和概率的定义，得出结论.

本题主要考查事件发生的频率和概率的定义，属于基础题.

6.答案：C

解析：解：1%>0,y=%+竺22lx•—=8,

xyjx

当且仅当％=即x=4时取等号，

•1-y=x+?的最小值为8.

故选：C.

根据x>0,y=x+?直接利用基本不等式求出最小值即可.

本题考查了利用基本不等式求函数的最小值，考查了计算能力，属基础题.

7.答案：A

解析：试题分析：

命题：①画出函数理=%蜒“根=酷』制的图，如左图，作直线般=，与两函数图像交点的横坐标为

函数的底数所以城=1群周=3,所以由图知对于任意说‘管触口*弱即1需呼1嗨^巴所以命题：①是

现国ii4

真命题.

命题：②画出函数解=&;陋=£、’的图，如左图，作直线富=n与两函数图像交点的纵坐标为函

1.4

数的底数所以阑=1做寓=工，所以由图知对于任意制图《虬卷Q&T卧&J所以命题：②是假命

4!3；'4

题.

命题：③当匹宦撼虬当时“占%&支=2,螭觐宣即蜘购g=：!所以命题：③是真命题.

4T¥不4司

命题：④由命题：①画中出函数图像知醪=崛强森与察=£在常/姒既有交点，又因为醪=崛强需与

解=6'互为反函数关于解=般对称，所以摩=1晦"客与霹=Er在塞生辗"遂有交点，所以命题：④

是假命题.故选A

考点：指数函数与对数函数图像随底数变化特征及利用函数单调性比较大小，转化思想应用.

8.答案：C

解析：解：当XWO时，/（X）=2xe（o,l],

••・函数/（X）是偶函数，.♦•函数/（X）的值域为（0,1]，

故选：C.

先求出当x<0时函数的值域，结合偶函数的值域与x<0时的值域相同进行判断即可.

本题主要考查函数值域的计算，结合指数函数的性质以及偶函数的性质是解决本题的关键.比较基

础.

9.答案：AC

解析：解：对于4

如图任取直线a上与。不重合的另一点P,直线b上与。不重合的另一点Q,

则点。，P,Q三点不共线，公里2：不在同一条直线上的三点可以确定一个平面，

所以过点。，P,Q有且只有一个平面a,

由。Ga,Pea,结合公里一可得：aua,同时bua,

所以过两条相交直线a,b有且只有一个平面a,即两条相交直线确定一个平面，故4正确；

对于平行于同一平面的两条直线平行，相交，异面，故B错误；

对于C：标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度，故C正确；

对于D：若某种奖券的中奖率为0.1,只能表示抽一次中奖的可能性为0.1,不能表示抽奖10次必有一

次中奖，故。错误；

故选：AC.

由立体几何的线面，面面的位置关系，即可判断4B是否正确；由标准差的定义即可判断C是否正

确；由概率的意义即可判断。是否正确.

本题考查命题真假的判断，属于中档题.

10.答案：ABC

解析：解：对于4：E为单位向量，且行〃落则五=±|五|之故A错误；

对于若丘〃近且3〃口6），贝嗫〃乙故B错误；

对于C：a-a-a=|a|2-a,故C错误;

对于D：平面内有四点4,B,C,D,则必有而+/=前+而，整理得尼-而-筋=反，

故。正确；

故选：ABC.

直接利用向量的线性运算，向量的加法运算，向量的模，向量的共线的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的加法运算，向量的模，向量的共线，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

11.答案：BC

解析：解：当x>0时，/(%)=/+1为增函数，

当XWO时，=不是单调函数，则的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，

函数为非奇非偶函数，故A正确；

函数f(x)在定义域中不单调，故B错误；

函数在(0,+8)上不是周期函数，则在定义域中不是周期函数，故C错误；

当x>0时，/(x)>1；当xW0时，/(x)G[-1,1].

可得/(©的值域为[-1,+8),故。正确.

故选：BC.

由分段函数的对称性判定4由XW0时函数/(x)不单调判定B；由周期函数的定义判断C；求解函数

的值域判断D.

本题考查分段函数单调性、奇偶性及周期性的判定，考查推理论证能力，是基础题.

12.答案：CD

解析：解：关于工的方程产(%)-(1+a)•/(%)+a=0,即[/(%)--a]=0,解得/(%)=1

或/(x)=a,

函如⑴北咚

\人JIj人vz

当％>0时，/(%)=ln(x+1)单调递增,

当％<0时，/(%)=x2-2ax+!=(%—a)2+1—a2,对称轴为%=a,判别式△=4(a+1)(。—1).

①当aNO时,函数f(x)的图象如下:

5x

由图象可知，方程/(x)=1有1个根,

当a>1时，方程/(x)=a有2个根,

当0WaW1时，方程/(X)=a有1个根,

故当a>1时，已知方程有3个根，当04a<l时，已知方程有2个根，当a=l时，已知方程有1个

根;

由两个图象可知，—lWa<0时，方程/(x)=1有2个根，方程/(x)=a没有根，故已知方程有2个

根;

③当a<-l时，函数/'(x)的图象如下:

方程f(x)=1有2个根，下面讨论最小值1一。2与&的关系，由i—a2<a,解得a<土叵

2

当a〈二#时，l-a2<a,直线y=a如图①，方程/l(x)=&有2个根，故已知方程有4个根；

当£1=三亚时，1一£12=£1,直线y=a如图②，方程/(x)=。有1个根，故已知方程有3个根；

当三更<a<—1时，l—a2>a,直线y=a如图③，方程/(x)=a没有根，故已知方程有2个根.

综上可知，a取任意值时，方程最多有4个根，故选项A错误：

当士走<。<1时，方程有2个根，当a=l时，方程有1个根，当a>l时，方程有3个根，故选项B

2

错误；

当a="时，方程有3个根，故选项C正确；

2

当a$-4<y时，方程有4个根，故选项£>正确.

故选：CD.

先化简方程为f(x)=1或/(x)=a,再对a进行分类讨论，结合图象来确定/(x)=1和/(x)=a分别

有几个根，根据结果对选项逐一判断即可.

函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直

接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为

零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题.

13.答案：(1,3)

解析：解：方程log2》+x—M=o在区间(1,2)上有实根，

・,・函数/(久)=log2x+%-m在区间(1,2)上有零点，

•・•f(x)=log2%+%-机在区间(1,2)上单调递增，

即(1-7n)(3—m)<0,

即(m—l)(m—3)<0,

解得1VmV3,

故答案为：(1,3).

由方程log2%+%-ni=0在区间(1,2)上有实根，则函数/(%)=log2%+X-6在区间(L2)上有零点，

根据函数的单调性和函数的零点存在定理可知f(1)/(2)<0,解得即可.

本题考查了函数零点的存在定理，属于基础题.

14.答案：8

解析：解：设幕函数f(x)=x。，a为常数，

••・幕函数y=/'(x)的图象经过点(8,

/(8)=8a=p即a=_/

1

・••/(x)=X-3，

忌)=(全产=端*=⑥T=8.

故答案为：8.

设出幕函数/(%)=%a,a为常数，把点(8弓)代入，求出待定系数a的值，得到幕函数的解析式，进

而可求/(2)的值.

本题考查幕函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法.属于基础题.

15.答案：：

解析：解：因为向量不=(2x+1,4),Z=(2—%3)，

由乙/落

所以3(2%+1)-4(2-x)=0,解得

故答案为也

根据题目给出的向量的坐标，直接由两个向量共线的坐标表示列式求解x的值.

本题考查了平行向量与共线向量，考查了平行向量的坐标运算，解答的关键是熟记坐标运算公式，

是基础题.

16.答案：(2V6-4,4V3-6)

y=/(x)的图象恰有11个不同的公共点，

则的<k<k2.

故答案为(2遍-4.4V3-6).

作出/(x)的图象，根据交点个数判断直线的临界位置.根据导数与切线的关系列出方程解出.

本题考查了函数的图象变换，导数与切线的关系，图象的交点个数与零点的关系，属于中档题.作

出函数图象是关键.

13

17.答案：—ia<—.

解析：解：由m2_7am+l2a2<0(a>0)，贝i]3a<m<4a，即命题p：3a<m<4a，

由「一十」——=1表示焦点在y轴上椭圆可得：1>0,,

w-l2-m2

3

即命题g：l<w<-，由非Q为非口充分不必要条件，贝忖是Q的充分不必要条件，

3a>l«,,

1313

从而有：,3>—<a<—,故答案为：.

4aq3838

18.答案：解:(/)

分组频数频率

[70,80)30.3

[80,90)30.3

[90,100)20.2

[100,110)20.2

估计甲班的及格率为0.2+0.2=0.4,

(//)甲班有6人不及格，编号为a,b,c,d,e,f；

乙班有5人不及格，编号为1,2,3,4,5.

从每班抽取的同学中各抽取一人，

共有10xl0=100个基本事件.

其中事件“从两班10名同学中各抽取一人，两人都不及格”记作4

则4的基本事件有：al,a2,a3,a4,a5；

bl,b2,63,b4,b5；

cl,c2,c3,c4,c5；

dl,d2,d3,d4,d5；

el,e2,e3,e4,e5；

fl,f2,/3,f4,75,共30个基本事件，

则P（/）=21=三，

对立事件“从每班抽取的同学中各抽取一人，

至少有一人及格”的概率为1一卷

解析：（/）利用茎叶图，能完成甲班10名同学数学成绩频率分布表，并能估计甲班的及格率.

（〃）先求出从两班10名同学中各抽取一人，两人都不及格的概率，再利用对立事件求“从每班抽取

的同学中各抽取一人，至少有一人及格”的概率.

本题考查频率分布表的制作和概率的求法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，求概率时要

注意间接法的合理运用.

19.答案：解：(I)根据题意，函数g(x)=3\h(x)=9x,

B|J9x-llx3x+18=0,

设t=3”,则有12-lit+18=0,

解可得：1=2或£=9,

若3丫=2,贝收=log32,若3乂=9,则x=2,

故方程的解为2和log32；

（口）根据题意，中）=舒二号，贝双1—%）=号=磊，

plljF(x)+F(1-x)=1,

故尸（/）+尸（嘉）+…+尸（黑）+尸（髭）=尸（薪）+尸（黑）+尸（施）+?（霆）+…-=

1009.5.

解析：（1）根据题意，原方程即/一11*3'+18=0,设t=3H由换元法可得12-lit+18=0,

解可得t的值，进而可得比的值，即可得答案；

（2）根据题意，由函数的解析式可得F（l-x）的值，进而可得“x）+F（l-x）=l,据此分析可得答

案.

本题考查函数值的计算，涉及指数基的计算，属于基础题.

20.答案：解：⑴/(0)=log42=；；

(2)因为函数f(x)为偶函数，故/(1)=/(-1)

log45+上=log41•一上

解得k=--；

2

(3)由(2)将原函数可以化简为/(x)=log4=log4(2"+

因为函数y=log4X为(0,+8)上的单调增函数

♦2、"

所以只需要(12，4

2"+3可取到二

I2*4

解得2*之4,且2*=4时函数刚好取得最小值，所以a=2.

解析：⑴将x=0代入即可求解；(2)因为f(x)为偶函数，利用/(—1)=门1)即可；(3)将A的值代入

/(%),然后根据对数的运算法则将/Xx)化简为/(x)=log4=4=log4(2"+/)，然后利用单调

性即可求出a的值.

21.答案：解：(1)•••平面向量初和赤的两个长度为1,它们的夹角为120。.

.-.OA2=0B2=1，OA-OB=~l

\OA+'OB\=J(OA+OB)2=JoA2+OB2+20A--0B=1(4分)

(2)如图所示，建立直角坐标系，则4(1,0),C(cosd.sind).

由浙―a+y而，得cos。-后,sin"5.

即x=cose+?simy=^sinO.

则％+y=y/3sin0+cosd=2sm(0+-)

6

又ee[0,争，则0+注碎，引，

故当。=寸，x+y的最大值是2....(14分)

解析：⑴由已知中两个长度为1的平面向量就和丽，它们的夹角为120。我们可得就2=诂2=],

OA-OB=-\,进而将|OA+OB|化为拈才+而2+2讪.赤的形式,代入即可得到答案.

(2)由已知中C在以。为圆心的圆弧ZB上变动.我们可设C(cos。,sin。)，结合元=x6?+y