《用绝对值的几何意义》解题

《用绝对值的几何意义》解题大家都知道，绝对值的几何意义是数轴上表示该数的点到原点的距离。对于一些问题，使用绝对值的几何意义来解决，可以直观简捷，事半功倍。一、求代数式的最值例如，已知a是有理数，求|a－2007|+|a－2008|的最小值是多少。通过绝对值的几何意义，我们可以知道|a－2007|+|a－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和。要使和最小，这个点必须在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示）。因此，|a－2007|+|a－2008|的最小值为1。再例如，对于不等式|x－2|－|x－5|，我们可以把数轴上表示x的点记为P。由绝对值的几何意义知，|x－2|－|x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差。当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示）。因此，|x－2|－|x－5|的最大值和最小值分别为3和－3。二、解绝对值方程例如，对于方程|x－1|+|x＋2|＝4，我们可以把数轴上表示x的点记为P。由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1时，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3。所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，则点P必须在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为2（如图3所示）。因此，方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为x＝－2－2或x＝1＋2。三、求字母的取值范围例如，对于不等式|x+1|+|2－x|＝3，我们可以通过绝对值的几何意义知道，|x+1|+|x－2|的最小值为3。此时x在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示）。因此，x的取值范围是－1≤x≤2。再例如，对于不等式|x＋2|+|x－4|＞a，我们可以得出|x＋2|+|x－4|的最小值为6。而对于任意数x，|x＋2|+|x－4|＞a恒成立。因此，a的取值范围是a＜6。四、解不等式例如，对于不等式|x＋2|+|x－3|＞5，我们可以通过绝对值的几何意义知道，|x＋2|+|x－3|的最小值为2。因此，当|x＋2|+|x－3|＞5时，x的解集是x＜－2或x＞5。已知方程为：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|首先，根据绝对值的几何意义，|x+2|+|1-x|的最小值为3，此时x在-2~1之间（包括两端点）取值。若|x+2|+|1-x|>9-|y-5|-|1+y|成立，则x必在-2的左边或1的右边取值，即x<-2或x>1。因此，原方程的解集为x<-2或x>1。接下来，我们需要求出x+y的最大值和最小值。根据绝对值的性质，当y-5>0时，|y-5|=y-5；当y-5<0时，|y-5|=-(y-5)。同理，当y+1>0时，|y+1|=y+1；当y+1<0时，|y+1|=-(y+1)。将上述性质代入原方程，得到：|x+2|+|1-x|=9-(y-5)-(y+1)化简后得到：|x+2|+|1-x|=15-y接下来，我们需要分别讨论x的取值范围。当x<-2时，原方程变为：-(x+2)-(1-x)=15-y解得y=-12-x因此，x+y的值为-12。当-2<x<1时，原方程变为：x+2+(1-x)=15-y解得y=-13因此，x+y的值为-10。