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文档简介
第一部分考研真题精选
一、选择题
1设A,B,C为三个随机事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/12,则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为()。[数一2020研]
A.3/4
B.2/3
C.1/2
D.5/12
【答案】D查看答案
【解析】只发生A事件的概率:
只发生B事件的概率:
只发生C事件的概率:
A,B,C中恰有一个事件发生的概率:
故选择D项。
2设A,B为随机事件,则P(A)=P(B)的充分必要条件是()。[数一2019研]
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(AB(_))=P(BA(_))
D.
【答案】C查看答案
【解析】选项A只能说明事件A与事件B不相容,选项B只能说明事件A与事件B相互独立,并不能说明P(A)=P(B)。对选项D来说,若令B=A(_),等式恒成立,亦不能说明P(A)=P(B),故选C。
3设事件A,B相互独立,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=()。[数一、数三2014研]
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
【答案】B查看答案
【解析】P(A-B)=0.3=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A),故P(A)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2。
4设随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布N(μ,σ2),则P{|X-Y|<1}()。[数一2019研]
A.与μ无关,而与σ2有关
B.与μ有关,而与σ2无关
C.与μ,σ2都有关
D.与μ,σ2都无关
【答案】A查看答案
【解析】因为X,Y相互独立且都服从N(μ,σ2),记Z=X-Y,则Z服从N(0,2σ2)分布。P{|Z|<1}只与σ2有关,因此P{|X-Y|<1}与μ无关,而与σ2有关。故选A。
5设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且
则P{X<0}=()。[数一2018研]
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
【答案】A查看答案
【解析】由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的图像关于x=1对称,利用特殊值法:将f(x)看成随机变量X~N(1,σ2)的概率密度,根据正态分布的对称性,P{X<0}=0.2。
6设随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),记p=P{X≤μ+σ2},则()。[数一2016研]
A.p随着μ的增加而增加
B.p随着σ的增加而增加
C.p随着μ的增加而减少
D.p随着σ的增加而减少
【答案】B查看答案
【解析】因为p=P{X≤μ+σ2}=P{(X-μ)/σ≤σ}=Φ(σ),所以p的大小与μ无关,随着σ的增大而增大。
7设连续型随机变量X1,X2相互独立,且方差均存在,X1,X2的概率密度分别为f1(x),f2(x),随机变量Y1的概率密度为,随机变量Y2=(X1+X2)/2,则()。[数一2014研]
A.EY1>EY2,DY1>DY2
B.EY1=EY2,DY1=DY2
C.EY1=EY2,DY1<DY2
D.EY1=EY2,DY1>DY2
【答案】D查看答案
【解析】
DY1=E(Y12)-E2(Y1)=EX12/2+EX22/2-E2(X1)/4-E2(X2)/4-E(X1)E(X2)/2=D(X1)/4+D(X2)/4+E(X1-X2)2/4≥D(X1)/4+D(X2)/4=DY2
8设X1,X2,X3是随机变量,且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),Pj=P{-2≤Xj≤2}(j=1,2,3)则()。[数一、数三2013研]
A.P1>P2>P3
B.P2>P1>P3
C.P3>P1>P2
D.P1>P3>P2
【答案】A查看答案
【解析】若X~N(μ,σ2),则(X-μ)/σ~N(0,1),故
P1=2Φ(2)-1,P2=P{-2≤X2≤2}=P{-1≤X2/2≤1}=2Φ(1)-1,则P1>P2;
P3=P{-2≤X3≤2}=P{(-2-5)/3≤(X3-5)/3≤(2-5)/3}=Φ(-1)-Φ(-7/3)=Φ(7/3)-Φ(1)
P3-P2=1+Φ(7/3)-3Φ(1)<2-3Φ(1)<0,故P2>P3。
9设F1(x),F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是()。[数一、数三2011研]
A.f1(x)f2(x)
B.2f2(x)F1(x)
C.f1(x)F2(x)
D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)
【答案】D查看答案
【解析】四个选项均满足大于等于零的条件,由D选项而易知,D项满足连续分布概率密度的条件,为概率密度(其他选项均无法验证满足(-∞,+∞)上积分为1的条件)。
10设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0;1,4;-1/2),下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是()[数三2020研]
A.
B.
C.
D.
【答案】C查看答案
【解析】由二维正态的性质知X+Y~N(μ,σ2),因
μ=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0
故
又服从二维正态分布,而
故与X不相关,由二维正态的性质知,与X独立。
故应选C项。
11随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3,且三种结果发生的概率均为1/3。将试验E独立重复做2次,X表示2次试验中结果A1发生的次数,Y表示2次试验中结果A2发生的次数,则X与Y的相关系数为()。[数一2016研]
A.-1/2
B.-1/3
C.1/3
D.1/2
【答案】A查看答案
【解析】由题可求出X,Y的联合分布概率如表1所示。
表1
所以,EX=0×4/9+1×4/9+2×1/9=2/3。同理EY=2/3,EX2=8/9,EY2=8/9,EXY=2/9。Cov(X,Y)=EXY-EXEY=-2/9。DX=EX2-(EX)2=4/9,DY=EY2-(EY)2=4/9。所以
12设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=()。[数三2016研]
A.6
B.8
C.14
D.15
【答案】C查看答案
【解析】根据题意,X、Y相互独立,则D(XY)=E(XY)2-(EXY)2=EX2EY2-(EXEY)2=[DX+(EX)2][DY+(EY)2]-(EXEY)2=14。
13将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()。[数一2012研]
A.1
B.1/2
C.-1/2
D.-1
【答案】D查看答案
【解析】假设木棒两段长度分别为x,y,有x+y=1即y=1-x,故x,y是线性关系,且相关系数为-1。
14设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则P{X<Y}=()。[数一2012研]
A.1/5
B.1/3
C.2/5
D.4/5
【答案】A查看答案
【解析】已知X~E(1),Y~E(4)。故概率密度
从而(X,Y)联合概率密度为
则
15设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则P{X2+Y2≤1}=()。[数三2012研]
A.1/4
B.1/2
C.π/8
D.π/4
【答案】D查看答案
【解析】由题意知X~U(0,1),Y~U(0,1)且相互独立,则
由图1,得
图1
16设随机变量X与Y相互独立,且EX与EY存在。记U=max{X,Y},V=min{X,Y}则E(UV)等于()。[数一2011研]
A.EU·EV
B.EX·EY
C.EU·EY
D.EX·EV
【答案】B查看答案
【解析】UV=max{X,Y}min{X,Y},而无论X与Y的关系如何,UV=XY。从而E(UV)=E(XY)=EX·EY。
17设X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,其中P(X=0)=P(X=1)=1/2,Φ(x)表示标准正态分布函数,则利用中心极限定理可得的近似值为()。[数一2020研]
A.1-Φ(1)
B.Φ(1)
C.1-Φ(2)
D.Φ(2)
【答案】B查看答案
【解析】E(X)=1/2,D(X)=1/4,,,将标准化可得,由中心极限定理可知近似服从标准正态分布,,故选B项。
18设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,σ2)(σ>0)的简单随机样本,令
则()。[数三2018研]
A.
B.
C.
D.
【答案】B查看答案
【解析】因为
所以
根据抽样定理得:
又X(_)与S2相互独立,所以
19设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记,则下列结论中不正确的是()。[数一2017研]
A.服从χ2分布
B.2(Xn-X1)2服从χ2分布
C.服从χ2分布
D.n(X(_)-μ)2服从χ2分布
【答案】B查看答案
【解析】A项,Xi-μ~N(0,1),故
B项,
即(Xn-X1)2/2~χ2(1)。
C项,由
D项,(X(_)-μ)~N(0,1/n),则,所以n(X(_)-μ)2~χ2(1)。
20设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本,则统计量服从的分布是()。[数三2014研]
A.F(1,1)
B.F(2,1)
C.t(1)
D.t(2)
【答案】C查看答案
【解析】由题意知,,X1-X2~N(0,2σ2),,X3~N(0,σ2),所以X3/σ~N(0,1),X32/σ2~χ2(1),且与X3/σ相互独立,故
21给定总体X~N(μ,σ2),σ2已知,给定随机样本X1,X2,…,Xn,对总体均值μ进行检验,令H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0,则()。[数一2018研]
A.若显著性水平α=0.05时拒绝H0,则α=0.01时必拒绝H0
B.若显著性水平α=0.05时拒绝H0,则α=0.01时必接受H0
C.若显著性水平α=0.05时接受H0,则α=0.01时必拒绝H0
D.若显著性水平α=0.05时接受H0,则α=0.01时必接受H0
【答案】D查看答案
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