九年级数学上册专题14 圆的综合问题（专项突破）-原卷版

/专题14圆的综合性问题【思维导图】◎突破一：圆与三角形的综合问题例．（2021·江苏南通·一模）(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．(2)如图2，按以下步骤画图：①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．专训1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．(1)若的半径为5，求的长；(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）专训2．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）如图，已知为不完整的直径，为弦且，，点M、N为上的点，连接，点N从点A开始沿优弧运动，当点M与点B重合时停止．已知，以为直径向内作半圆P．(1)求的半径；(2)当点N与点A重合时，求半圆P与所围成的弓形的面积；(3)①点P的运动路径长是___________；②当半圆P与相切时，求与夹角的正切值．专训3．（2021·安徽·一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半径r．专训4．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图，以AE为直径的交直线于A、B两点，点C在上，过点C作于点D，连接，，，其中与交于点F，且平分．(1)求证：是的切线；(2)若，．①求的长；②求的值．◎突破二：圆与四边形的综合问题例．（2022·广东广州·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，弧AD=弧DC．(1)求边CD的长；(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．①尺规作图:作△ABE；（保留作图痕迹，不写作法）②连接DE，求线段DE的长．专训1．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．(1)求圆⊙的半径；(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．专训2．（2016·江苏无锡·九年级阶段练习）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（5，0），点E在OB上，∠AEO=45°，点P从点Q（﹣3，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t（t≥0）秒．（1）求点E的坐标；（2）当∠PAE=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．专训3．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）如图，在中，以为直径的半经过点，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)连接，，若，，求的长．专训4．（2022·浙江湖州·八年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．(1)如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连接BD和CE，延长CE交BD于点F．求证：BD＝CE；(2)在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠AFD的度数；(3)如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关系，并证明你的结论．◎突破三：圆与函数的综合问题例．（2021·湖北荆门·模拟预测）我们把方程称为圆心为、半径长为的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点，且点的坐标为，与轴相切于点，过点，，的抛物线的顶点为．(1)求的标准方程；(2)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(3)连接，求的值．专训1．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．专训2．（2022·辽宁·沈阳市外国语学校一模）如图1，已知抛物线顶点A在x轴上，直线l：y=x-交抛物线于A，B两点，且AB=2(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交于C点，点P在抛物线上，且在第一象限，∠APC=45°，求P点坐标；(3)如图2，过点M（1，-1）作直线交抛物线与E、F，点N在抛物线上且NE∥x轴，连FN，试证明：直线FN过定点，并求定点的坐标．专训3．（2022·江苏无锡·一模）如图，抛物线经过，且与y轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是x轴的正半轴上一点，，求点P的坐标；(3)当点P是抛物线上第一象限上的点，，直接写出点P的坐标为______．专训4．（2022·全国·九年级专题练习）我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标