九年级数学上册专题29 圆与四边形综合（解析版）

/专题29圆与四边形综合1．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形ABCD中，若，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半，根据以上信息回答：(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称______．(2)如图2，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，若⊙O的半径为6，，求“奇妙四边形”ABCD的面积，(3)如图3，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)正方形(2)54(3)，证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质即可证明判断．（2）如图2中，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH＝DH．解直角三角形求出BD，再根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可．（3）结论：．如图3中，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E．证明△BOM≌△OAE（AAS）即可解决问题．（1）∵正方形的两条对角线互相垂直且相等，∴正方形是“奇妙四边形”，故答案为：正方形（2）如图2中，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH＝DH．∵∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝30°，在Rt△OBH中，∵∠OBH＝30°，∴OHOB＝3，∴BHOH＝3，∵BD＝2BH＝6，∴AC＝BD＝6∴“奇妙四边形”ABCD的面积•AC•BD＝54．（3）结论：．理由如下：如图3中，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E．∵OE⊥AD，∴AE＝DE，∵∠BOC＝2∠BAC，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形，∴∠BOC＝2∠BOM，∴∠BOM＝∠BAC，同理可得∠AOE＝∠ABD，∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD＝90°，∴∠BOM+∠AOE＝90°，∵∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠OBM＝∠AOE，在△BOM和△OAE中∴△BOM≌△OAE（AAS），∴OM＝AE，∴AD＝2OM．∴．【点睛】本题主要考查了垂径定理、30°角直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、“奇妙四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．(1)求证：AF=CE；(2)若BF=2，，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证；（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解．（1）证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．∵DE是⊙O的切线，∴∠ADE=90°．∵AD∥BC，∴∠CED=∠ADE=90°．∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°．∴∠AFD=∠CED=90°．在△DAF和△DCE中，，∴△DAF≌△DCE（AAS）．∴AF=CE．（2）解：如图，连接AH，DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°．∵AD=AB，，∴．在Rt△ADF和Rt△BDF中，由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，∴AD2－AF2=BD2－BF2．∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．∴．∴AD=5．∴⊙O的半径为．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．3．如图，四边形ABCD是的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求AD的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接OA，先证明，结合，即可证；（2）作，则四边形是矩形，且，由此可求得的长，在中，勾股定理求出，即的长，在中，利用勾股定理求．(1)证明：如图，连接OA，∵AE是切线，∴．∵DA平分，∴．又∵，∴，∴，∴，又，∴．(2)解：过点作于．，四边形是矩形，，．，，∴，在Rt△OFD中，，∴，在Rt△AED中，，∴AD的长是．【点睛】本题考查了圆的内接四边形，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是灵活运用相关性质定理．4．四边形ABCD内接于，AC为其中一条对角线．(1)如图①，若，，求的度数；(2)如图②，若AD经过圆心O，CE为的切线，B为的中点，，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系即可解答；（2）连接OC，由切线的性质可得，即可求出．再根据等边对等角即可求出，从而由圆内接四边形对角互补可求出．根据B为的中点，可得出，从而可求出．最后由求解即可．(1)解：∵四边形ABCD内接于，，∠BAD=70°∴，∴；(2)如图，连接OC．∵CE为的切线，∴．∵，∴．∵AD经过圆心O，∴，，∴．∵，∴．∵B为的中点，∴，∴，∴．∴．【点睛】本题为圆的综合题．考查圆心角、弧、弦之间的关系，切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆的相关知识点，会连接常用的辅助线是解题关键．5．数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”．小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：(1)如图1，当与相切于点时，求的长；(2)如图2，当与相切时，①求的长；②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______．【答案】(1)BP=2(2)①4.8；②9.6【分析】（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得PT=AB=4=PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP=2；（2）①由⊙P与CD相切，有PC=PE，设BP=x，则PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6．(1)连接PT，如图：∵⊙P与AD相切于点T，∴∠ATP=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABPT是矩形，∴PT=AB=4=PE，∵E是AB的中点，∴BE=AB=2，在Rt△BPE中，；(2)①∵⊙P与CD相切，∴PC=PE，设BP=x，则PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，BP2+BE2=PE2，∴x2+22=（10-x）2，解得x=4.8，∴BP=4.8；②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ的中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，如图：由题可知，EM是△ABQ的中位线，∴EM∥BQ，∴∠BEM=90°=∠B，∵PN⊥EM，∴∠PNE=90°，EM=2EN，∴四边形BPNE是矩形，∴EN=BP=4.8，∴EM=2EN=9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查矩形与圆的综合应用，涉及直线和圆相切、勾股定理、动点轨迹等，解题的关键是理解M的轨迹是△ABQ的中位线．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）连接OA，OB，OC，由AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB可证出△OAC≌△OAB（SSS），利用全等三角形的性质可得出∠OAC＝∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC，结合AD∥BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是⊙O的切线；（2）①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE＝90°可得出∠BAE＝90°，由同角的余角相等可得出∠BAG＝∠AEB，结合∠ABC＝∠ACB＝∠AEB可得出∠BAG＝∠ABC，再利用等角对等腰可证出AG＝BG；②由∠ADC＝∠AFB＝90°，∠ACD＝∠ABF，AC＝AB可证出△ADC≌△AFB（AAS），利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG＝x，在Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解．【详解】证明：（1）连接OA、OB、OC，如图1，∵AC=AB，OA=OA，OC=OB，∴△OAC≌△OAB，∴∠OAC＝∠OAB，∴AO⊥BC，∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线；（2）①连接AE，如图2，∵AD∥BC，AD⊥CD，∴BC⊥CD，∴∠BCE＝90°，∴BE是直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAG+∠EAF＝90°，又∵AF⊥BE，∴∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠BAG=∠AEB，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠BAG=∠ABC，∴AG=BG；②∵AC=AB，∠ACD＝∠ABF，∠ADC=∠AFB＝90°，∴△ADC≌△AFB，∴AF=AD=4，BF=CD=5，设FG=x，则AG=GB=x+4，在Rt△BFG中，由勾股定理可得：，解得：，∴．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定义，平行线的性质，圆内接四边形，等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；（2）①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG＝∠ABC；②在Rt△BFG中，利用勾股定理求出FG的长．7．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：△PEC是等腰三角形；（3）若AC＋BC＝2时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据等腰三角形等边对等角以及已知条件证明∠BCP+∠OCB=90°即可；（2）根据题意以及角平分线定义求得∠PEC=∠PCE即可得出结论；（3）连接BD，作,,垂足为M，N，先证明，然后证明四边形为正方形，结合已知可得出结论．【详解】解：连接OC,∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∵∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP=∠ACO∴∠BCP+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）∵∠BCP＝∠BAC，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠PCE＝∠PCB+∠BCD，∠PEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠PEC=∠PCE，∴△PEC是等腰三角形；（3）连接BD，作,,垂足为M，N，∵CD平分，，，∴,,∴,∵,∴，∵,∴四边形为矩形，∵,∴矩形为正方形，∴,∵,∴,∵，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，角平分线的性质，等腰三角形等边对等角，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练运用以上知识点性质及定理是解题的关键．8．如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接，．延长交于点，交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO=∠CBO=90°，由△COB≌△COD即可解决问题．（2）先证明∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30，在Rt△AEF中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）如图，连接．为的切线，．平分，．，，，在△BOC和△DOC中，，为的切线．（2），，，，．为的直径．，，．在中，，，，．【点睛】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角30°，属于中考常考题型．9．如图，已知内接于，AB是的直径，于点D，延长DO交于点F，连接．（1）求证：；（2）填空：①当_________时，四边形是菱形；②当_________时，．【答案】（1）见解析；（2）①；②【分析】（1）由垂径定理易证，进而可证明OD是的中位线，问题得证；（2）①要四边形是菱形，需，即为等腰三角形，，那么；②由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）证明：于点D，，，是的中位线，；（2）解：当时，四边形是菱形．理由如下：，AB是直径，，，而，是等边三角形，，又分别是的中点，，而．是等边三角形，，，∴四边形是菱形；②当时，，，于点D，是等腰直角三角形，，．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定､等边三角形的判定与性质､菱形的判定､圆周角定理､三角形中位线定理；熟练掌握全等三角形的判定和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．10．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝4，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．【答案】（1）见解析；（2）CF＝4+2．【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AE＝DC，∴∴∠ADE＝∠DBC．在△ADE和△DBC中，．∴△ADE≌△DBC（AAS）．∴DE＝BC；（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：则∠OHG＝∠OHB＝90°，∵CF与⊙O相切于点C，∴∠FCG＝90°．∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG＝OH．∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°．∴∠AOB＝2∠ADB＝120°∴∠BOH＝∠BOA＝60°，∴∠OBH＝30°∴OH＝OB＝2．∴OG＝2．∴CF＝CG＝OC+OG＝4+2．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确计算是解题的关键．11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝°；②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝．【答案】（1）证明见解析；（2）①60，②4．【分析】（1）连接OA，证明∠OAG=90°，即可证得AG为⊙O的切线；（2）①连接OA，AF，OF，当四边形ABOF为菱形，则△AOB为等边三角形，从而求出∠ACB，∠DEC的度数，根据对顶角相等即可得到∠AEG的度数；②若△AGE为等腰直角三角形，则可以得出△DEC,△ABC均为等腰三角形，通过证明四边形AODG是矩形，得到DC=AG，从而得到BC的长度，根据等腰直角三角形的性质，即可求出AB的长．【详解】（1）证明：连接OA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCA+∠DEC＝90°，∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，∴∠OAC+∠GAE＝90°，∴∠OAG＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为60．②如图3中，连接OA．∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案为4．【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．12．如图，在中，，是的外接圆，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）填空：①若，________；②连接，当的度数为________时，四边形是菱形．【答案】（1）见解析；（2）①，②．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；（2）①作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案．②证明△ABM和△ABC是等边三角形，得出AM=AC=BC=BM，即可得出结论．【详解】解：（1）证明：连接，如图1：∵是的切线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①作AG⊥CM于G，如图2：∵∠OCA=30°，AC=6，∴AG=AC=3，∴CG=AG=3，则MC=2CG=6；故答案为：6．②当∠AMB的度数为60°时，四边形AMBC是菱形；理由如下：如图3：由（1）得：AM=AC，∠MAC=180°-∠AMC-∠OCA=120°，∵∠AMB=60°，∴∠MAC+∠AMB=180°，∴AC∥BM，∴∠ABM=∠BAC，∴△ABM是等边三角形，∠BAC=∠MAC-∠MAB=60°=∠ABC，∴AM=BM，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∴AM=AC=BC=BM，∴四边形AMBC是菱形；故答案为：60°．【点睛】本题是圆的综合题目，考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握圆的切线性质和圆周角定理是解题的关键．13．如图，在中，以为直径的经过点过点作的切线点是上不与点重合的一个动点，连接．求证:；填空:当_时，为等腰直角三角形:当时，四边形为菱形．【答案】见解析；①45°②120°【分析】（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据平行线的性质得到∠ACB＝90°．再根据切线的性质定理及圆周角定理即可得到结论；（2）①根据圆的对称性由BD＝AD可得弧BD＝弧AD，再由圆周角定理得∠DCB＝∠DCA，进而得解；②由菱形可得OD＝AD，结合OD＝OA，证得△OAD为等边三角形，则∠OAD＝60°，最后根据圆周角定理即可得解．【详解】解：如图，连接为的直径，，是的切线，（2）①∵为等腰直角三角形，∴AD＝DB，∴弧AD＝弧DB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝45°，②∵四边形为菱形，∴OD＝AD，又∵OD＝OA，∴OD＝OA＝AD，∴△AOD为等边三角形，∴∠OAD＝60°，∵∠OAD＝∠DOB，∴∠DOB＝120°．【点睛】本题考查了圆的对称性、圆周角定理、直径的性质和切线的性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．14．如图，已知是的直径，切于点，过作直线交于另一点，连接、．（1）求证：平分；（2）若是直径上方半圆弧上一动点，的半径为2，则①当弦的长是时，以，，，为顶点的四边形是正方形；②当的长度是时，以，，，为顶点的四边形是菱形．【答案】（1）见解析；（2）①；②或．【分析】（1）首先根据切线