2019中考数学试题分类汇编考点30：切线的性质和判定（含解析）

2019中考数学试题分类汇编：考点30切线的性质和判定

一.选择题（共11小题）

1.（2019•哈尔滨）如图，点P为。。外一点，PA为00的切线，A为切点，P0交。0于点

B,NP=30°,0B=3,则线段BP的长为（）

【解答】解：连接0A,

：PA为。。的切线，

AZ0AP=90°,

VZP=30°,0B=3,

；.A0=3,则0P=6,

故BP=6-3=3.

2.（2019•眉山）如图所示，AB是。。的直径，PA切。0于点A,线段P0交。0于点C,连

结BC,若NP=36。，则/B等于（）

【解答】解：；PA切。0于点A,

Z0AP=90",

VZP=36°,

・・・NA0P=54°,

.\ZB=27°.

故选：A.

3.（2019•重庆）如图，已知AB是。0的直径，点P在BA的延长线上，PD与。。相切于点

D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若。0的半径为4,BC=6,则PA的长为（）

【解答】解：连接D0,

・・PD与GO相切于点D

\ZPD0=90°,

.*ZC=90o,

・・DO〃BC,

,.△PDO^APCB,

,DQP042

,BCPB63'

x+4_2

设PA=x,则

x+83

解得:x=4,

故PAM.

故选：A.

4.（2019•福建）如图,AB是。0的直径,BC与。0相切于点B,AC交。0于点D,若NACB=50°,

则/BOD等于（）

A.40°B.50°C.60°D.80°

【解答】解：；BC是。0的切线，

AZABC=90°,

ZA=90°-ZACB=40°,

由圆周角定理得，ZB0D=2ZA=80°,

故选:D.

5.（2019•泸州）在平面直角坐标系内，以原点0为圆心，1为半径作圆，点P在直线

y=J5x+2盯上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A,则PA的最小值为（）

A.3B.2C.73D.V2

【解答】解：如图，直线丫=/a+2我与x轴交于点C,与y轴交于点D,作OH_LCD于H,

当x=0时，y=J^x+2后2对，则D（0,2我），

当y=0时，«x+2后0,解得x=-2,贝l|C（-2,0）,

“D刃2?+（2仃产%

V^（）H«CD=^-OC«OD,

22

...。且警正

连接0A,如图，

VPA为。0的切线,

；.OA_LPA,

，PA^OP^A^VOP2-1-

当0P的值最小时，PA的值最小,

而0P的最小值为0H的长，

APA的最小值为J（J5）2"r加・

6.（2019•泰安）如图，BM与。。相切于点B,若NMBA=140°则NACB的度数为（）

【解答】解：如图，连接OA、0B,

/.Z0BM=90°,

VZMBA=140°,

AZAB0=50°,

V0A=0B,

，NAB0=NBA0=50°,

・・・NA0B=80°,

AZACB=—ZA0B=40°,

2

故选：A.

7.（2019•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺

【解答】解：设三角板与圆的切点为C,连接0A、0B,

由切线长定理知AB=AC=3,0A平分/BAC,

AZ0AB=60°,

在Rt^ABO中，0B=ABtanN0AB=3代，

光盘的直径为6弋母，

故选：D.

8.（2019•重庆）如图，AABC中，ZA=30°,点。是边AB上一点，以点0为圆心，以0B

为半径作圆，。。恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分NABC,AD=2«,则线段CD

的长是（）

A.2B.V3C.|D.1V3

【解答】解：连接0D

•.•0D是。。的半径，AC是。0的切线，点D是切点,

A0D1AC

在RtZ\AOD中，VZA=30",AD=2«,

.•-0D=0B=2,A0=4,

.\ZODB=ZOBD,又；BD平分NABC,

ZOBD=ZCBD

ZODB=ZCBD

，OD〃CB,

.ADAO

,,CD=OB

即2M:4

CD-2

•'•CD=V3.

故选：B.

9.（2019•湘西州）如图,直线AB与。0相切于点A,AC、CD是。0的两条弦,且CD〃AB,

若。。的半径为5,CD=8,则弦AC的长为（）

A.10B.8C.4aD.4代

【解答】解：•.•直线AB与00相切于点A,

.\OA±AB,

又：CD〃AB,

.-.AO±CD,记垂足为E,

VCD=8,

；.CE=DE=LD=4,

2

连接0C,则0C=0A=5,

在RtZ\0CE中，2=^22=3,

，AE=A0+0E=8,

则AC刃CE2+AE742+82=4代,

故选：D.

10.（2019•宜昌）如图，直线AB是。。的切线，C为切点，OD〃AB交。0于点D,点E在

ED,则NCED的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【解答】解：：直线AB是。。的切线，C为切点,

Z0CB=90°,

V0D/7AB,

，NC0D=90°，

AZCED-—ZCOD=45°，

2

故选:D.

11.（2019•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆。与边AB、

CD分别交于点E、点F,给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆0的圆心；（2）AF与DE

的交点是圆。的圆心；（3）BC与圆0相切，其中正确说法的个数是（）

【解答】解：连接DG、AG,作GHLAD于H,连接0D,如图,

是BC的中点，

；.AG=DG,

；.GH垂直平分AD,

...点0在HG上，

VAD/7BC,

.♦.BC与圆0相切；

VOG=OG,

••.点0不是HG的中点，

圆心0不是AC与BD的交点；

而四边形AEFD为。0的内接矩形，

/.AF与DE的交点是圆0的圆心;

A（1）错误，（2）（3）正确.

故选：C.

—.填空题（共14小题）

12.（2019•安徽）如图，菱形AB0C的边AB,AC分别与。0相切于点D,E.若点D是AB

的中点，则ND0E=60°.

AE

B

IO/

【解答】解：连接OA,

•..四边形ABOC是菱形，

.,.BA=BO,

；AB与。。相切于点D,

A0D1AB,

,点D是AB的中点,

/.直线0D是线段AB的垂直平分线,

.".OA=OB,

.".△AOB是等边三角形，

OAB与。。相切于点D,

A0DXAB,

.,.ZA0D=—ZA0B=30°，

2

同理，ZA0E=30°,

ZD0E=ZA0D+ZA0E=60o,

故答案为：60.

13.（2019•连云港）如图，AB是。0的弦，点C在过点B的切线上，且0CL0A,0C交AB

于点P,已知N0AB=22°,则/OCB=44°.

cB

・・,BC是。。的切线，

A0B1BC,

AZ0BA+ZCBP=90o,

VOC±OA,

AZA+ZAP0=90°,

VOA=OB,NOAB=22°,

.\ZOAB=ZOBA=22°,

AZAP0=ZCBP=68°,

VZAPO=ZCPB,

/.ZCPB=ZABP=68°,

/.Z0CB=180°-68°-68°=44°,

故答案为：44°

14.（2019•泰州）如图，AABC中,ZACB=90°,sinA=—,AC=12,将△ABC绕点C顺时

13

针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点，以点P为圆心，PAZ长为半径作。P,

当。P与4ABC的边相切时，OP的半径为孚■或警.

【解答】解：如图1中，当。P与直线AC相切于点Q时，连接PQ.

设PQ=PA，=r,

•.•PQ〃CA',

.PQ_PBy

A，B，

.r_13T

>•一，

1213

156

r=南'

如图2中，当。P与AB相切于点T时，易证A'、B'、T共线,

VAA,BT^AABC,

.A7T_A?B

，，-AC--AB-'

.A'T_17

••，

1213

，r=4T=^-.

213

综上所述，OP的半径为电2或善.

2513

15.（2019•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点，P是BC边上的动点，

连结PM,以点P为圆心，PM长为半径作。P.当。P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为

3或4\五•

【解答】解：如图1中，当。P与直线CD相切时，设PC=PM=m.

在RtAPBM中，,/PM2=BM2+PB2,

.\xM2+(8-x)2,

x=5,

APC=5,BP=BC-PC=8-5=3.

如图2中当。P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PKJ_AD,四边形PKDC是矩形.

KD

；.PM=PK=CD=2BM,

.\BM=4,PM=8,

在R3BM中，PB=A/g2_42=45/3,

综上所述，BP的长为3或4y.

16.（2019•台州）如图，AB是。。的直径，C是。。上的点，过点C作。。的切线交AB的

,则/D=26度.

【解答】解：连接0C,

由圆周角定理得，ZC0D=2ZA=64°,

：CD为。。的切线,

,,.0C1CD,

ZD=90°-ZC0D=26",

17.（2019•长沙）如图，点A,B,D在。0上，ZA=20",BC是。。的切线，B为切点，0D

的延长线交BC于点C,则N0CB=50度.

【解答】解：

VZA=20°,

AZB0C=40°,

：BC是。。的切线，B为切点,

；./0BC=90°,

AZ0CB=900-40°=50°,

故答案为：50.

18.（2019•香坊区）如图，BD是。。的直径，BA是。0的弦，过点A的切线交BD延长线于

点C,0ELAB于E,且AB=AC,若CD=2加,则0E的长为.

【解答】解：连接0A、AD,如右图所示，

•••BD是。。的直径，BA是。0的弦，过点A的切线交BD延长线于点C,0ELAB于E,

AZDAB=90",Z0AC=90°,

VAB=AC,

ZB=ZC,

在△ACO和ABAD中，

rZC=ZB

AC=AB

'ZCA0=ZBAD，

AAACO^ABAD(ASA),

AA0=AD,

VA0=0D,

/.AO=OD=AD,

/.AAOD是等边二角形,

AZAD0=ZDA0=60°,

ZB=ZC=30°,ZOAE=3O0,/DAC=30°,

.\AD=DC,

•；CD=2&,

，AD=2&,

.•.点0为AD的中点,OE〃AD,OE±AB,

；.0E=&,

故答案为：

19.（2019•山西）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点，以

CD为直径作。0,。。分别与AC,BC交于点E,F,过点F作。0的切线FG,交AB于点G,

在Rtz^ABC中，根据勾股定理得，AB=10,

.•.点D是AB中点，

；.CD=BD*B=5,

连接DF,

：CD是。。的直径，

AZCFD=90°,

BF=CF与C二4,

2

ADF=VCD^CF^3>

连接OF,

V0C=0D,CF=BF,

AOF/7AB,

/.Z0FC=ZB,

・・,FG是。。的切线，

/.Z0FG=90°,

/.Z0FC+ZBFG=90°,

・・・NBFG+NB=90°,

20.（2019•包头）如图，AB是。。的直径，点C在。0上，过点C的切线与BA的延长线交

于点D,点E在筋上（不与点B,C重合），连接BE,CE.若ND=40°,则NBEC=115度.

O

B

D.

E

［解答］解：

连接OC,

VDC切。0于C,

AZDC0=90°,

VZD=40°,

/.ZC0B=ZD+ZDC0=130°,

,血的度数是130°，

二施的度数是360°-130°=230°,

AZBEC=yX2300=口5。，

故答案为：115.

21.（2019•湘潭）如图，AB是。0的切线，点B为切点，若NA=30°,则NA0B=60°

【解答】解：：AB是。0的切线,

AZ0BA=90°,

ZA0B=90°-ZA=60°,

故答案为：60°.

22.（2019•徐州）如图，AB是。。的直径，点C在AB的延长线上，CD与。。相切于点D.若

ZC=18°,则NCDA=126度.

【解答】解：连接0D,则N0DC=90°,ZC0D=72°；

VOA=OD,

AZODA=ZA=—ZC0D=36°,

2

AZCDA=ZCD0+Z0DA=90°+36°=126°.

23.（2019•青岛）如图，RtAABC,ZB=90°,ZC=30°,。为AC上一点，0A=2,以0为

圆心，以

0A为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、0F,则图中阴影部分的面积是

【解答】解：・・・NB=90°,ZC=30°,

AZA=60°,

V0A=0F,

.,.△AOF是等边三角形，

AZC0F=120°,

V0A=2,

扇形OGF的面积为：与但兀

3603

VOA为半径的圆与CB相切于点E,

AZ0EC=90°,

.\0C=20E=4,

AAC=0C+0A=6,

.\AB=—AC=3,

2

由勾股定理可知：BC=3«

」.△ABC的面积为：-^-X3XS-y^^x/3

「△OAF的面积为：-j-X2x73=73,

,阴影部分面积为:IVs-Vs-l51^-!31

4J/J

故答案为:vVs-4n

24.（2019•广东）如图，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆。与BC相切于点

E,连接BD,则阴影部分的面积为n.（结果保留

【解答】解：连接0E,如图，

：以AD为直径的半圆。与BC相切于点E,

；.0D=2,0E1BC,

易得四边形OECD为正方形，

2

由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S止方形OECD-S血形EOD=Z2-———三4-冗,

360

.•.阴影部分的面积=-1"X2X4-（4-n）=it.

故答案为九.

E

25.（2019•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以CD为直径作。0.将矩形ABCD

绕点C

旋转，使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与。0相切，切点为E,边CD'与00相交于点

F,则CF的长为4.

BC

【解答】解：连接0E,延长E0交CD于点G,作OHLB'C于点H,

A'

A

BC

则/OEB'=Z0HBz=90°,

•.•矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A'B'C'D',

NB'=NB'CD'=90°,AB=CD=5、BC=B'C=4,

二四边形OEB'H和四边形EB'CG都是矩形,OE=OD=OC=2.5,

.♦.B'H=0E=2.5,

.\CH=B,C-B'H=1.5,

•••CG=B'E=OHWOC2VH々2.52-1.S-

•.•四边形EB'CG是矩形,

AZ0GC=90°,即OG_LCD',

；.CF=2CG=4,

故答案为：4.

三.解答题（共25小题）

26.（2019•柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是。。的切线，切点为B.AC经过

圆心0并与圆相交于点I）、C,过C作直线CE_LAB,交AB的延长线于点E.

(1)求证：CB平分/ACE；

(2)若BE=3,CE=4,求。0的半径.

【解答】(1)证明：如图1,连接0B,

；AB是。0的切线，

AOBIAB,

VCE±AB,

；.OB〃CE,

VOB=OC,

.\Z1=Z2

N2=N3,

...CB平分NACE；

(2)如图2,连接BD,

VCE±AB,

AZE=90°,

=22=2Z=5

BCVBE+CEV3+4，

YCD是。。的直径，

AZDBC=90°,

NE=NDBC,

AADBC^ACBE,

.CDBC

••二一,

BCCE

.\BC2=CD*CE,

.,.CD=-^1=—,

44

27.(2019•天津)已知AB是。。的直径，弦CD与AB相交，ZBAC=38°,

(1)如图①，若D为定的中点，求NABC和NABD的大小；

(II)如图②，过点D作。0的切线，与AB的延长线交于点P,若DP/7AC,求/0CD的大小.

图①图②

【解答】解：(I)：AB是。。的直径，弦CD与AB相交，ZBAC=38°,

AZACB=90°,

AZABC=ZACB-ZBAC=90°-38°=52°,

为定的中点,ZA0B=180°,

AZA0D=90",

AZACD=45°；

(ID连接0D,

「DP切。0于点D,

.".ODIDP,即N0I)P=90°,

由DP〃AC,又/BAC=38°,

・・・NP二NBAC=38°,

ZAOD是AODP的一个外角，

.\ZA0D=ZP+Z0DP=128°,

AZACD=64°,

VOC=OA,ZBAC=38°,

/.ZOCA=ZBAC=38°,

AZOCD=ZACD-Z0CA=64°-38°=26°.

图②

28.(2019•荆门)如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，经过点C的切线交AB的延长

线于点E,ADJ_EC交EC的延长线于点I),AD交。0于F,FM_LAB于H,分别交。0、AC于M、

N,连接MB,BC.

(1)求证：AC平分NDAE；

(2)若cosM=冬BE=1,①求。。的半径；②求FN的长.

5

【解答】(1)证明：连接0C,如图,

,直线DE与。。相切于点C,

A0C1DE,

XVAD1DE,

A0C/7AD.

AZ1=Z3

VOA=OC,

AZ2=Z3,

AZ1=Z2,

・・・AC平方NDAE；

(2)解：①・・・AB为直径,

AZAFB=90°,

而DE±AD,

ABF/7DE,

AOC±BF,

・人

••CF^BO

AZCOE=ZFAB,

而NFAB=NM,

・・・ZC0E=ZM,

设。。的半径为r,

在RtaOCE中，cosNCOE二冬即上^鸟，解得r=4,

0E5r+15

即。。的半径为4；

②连接BF,如图,

在Rtz2kAFB中，cosNFAB二处,

AB

・・・_4^32

AF=8XTT

在RtZkOCE中,0E=5,0C=4,

ACE=3,

VAB1FM,

,余命

・・・N5=N4,

VFB/7DE,

AZ5=ZE=Z4,

­C『BG

・・・N1=N2,

・・・AAFN^AAEC,

:里雪即田管39,

CEAE3

y

39

.\FN=—.

15

29.(2019•随州)如图，AB是。0的直径，点C为。。上一点，CN为。。的切线，0M1AB

于点0,分别交AC、CN于D、M两点.

(1)求证：MD=MC；

(2)若。。的半径为5,ACMjm求MC的长.

;CN为。0的切线,

/.0C1CM,Z0CA+ZACM=90°,

V0M1AB,

AZ0AC+Z0DA=90°，

V0A=0C,

AZ0AC=Z0CA,

，ZACM=ZODA=ZCDM,

.•,MD=MC；

（2）由题意可知AB=5X2=10,AC=4旄,

。AB是。0的直径,

AZACB=90°,

10^~（4x/5）2^5,

VZAOD=ZACB,ZA=ZA,

/.AAOD^AACB,

.QDAOOP__5

•,而W2后一烟

可得：0D=2.5,

设MC=MD=x,在Rtz^OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52,

解得：x=学，

4

即MC=—.

4

30.（2019•黄冈）如图，AD是00的直径，AB为（DO的弦，0P1AI）,0P与AB的延长线交

于点P,过B点的切线交0P于点C.

（1）求证：ZCBP=ZADB.

（2）若0A=2,AB=1,求线段BP的长.

【解答】（1）证明：连接0B,如图,

•；AD是。0的直径，

AZABD=90°,

AZA+ZADB=90°,

VBC为切线，

A0B1BC,

/.Z0BC=90°,

AZ0BA+ZCBP=90°,

而OA=OB,

・・・ZA=Z0BA,

・・・ZCBP=ZADB；

(2)解：VOP±AD,

AZP0A=90°,

AZP+ZA=90°,

・・・NP=ND,

.'.△AOP^AABD,

,AP_AOl+BP_2

••----------------,bn|Jn------------------------，

ADAB41

31.（2019•襄阳）如图，AB是。0的直径，AM和BN是。0的两条切线，E为。0上一点,

过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.

（1）求证：DA=DE；

（2）若AB=6,CD=4«,求图中阴影部分的面积.

【解答】解：（1）证明：连接0E、0C.

VOB=OE,

・・・ZOBE=ZOEB.

VBC=EC,

AZCBE=ZCEB,

I.ZOBC=ZOEC.

・・,BC为。。的切线，

AZ0EC=Z0BC=90°；

・・・0E为半径，

・・・CD为。。的切线，

・・・AD切。0于点A,

ADA=DE；

(2)如图，过点D作DFJ_BC于点F,则四边形ABFD是矩形，

AAD=BF,DF=AB=6,

・・・DC=BC+AD=4«.

ABC-AD=275，

•,.BC=3仃

在直角△(»(：中，tanNBOE=EJf,

BOV。

AZB0C=60".

在aoEc与aoBc中，

"OE=OB

-oc=oc.

LCE=CB

AAOEC^AOBC(SSS),

.".ZB0E=2ZB0C=120°.

；・S阴账部分二S四边形BCEO-S扇形OBE=2X《BOOB-12°义二X°B，963-

2360

D.V

32.(2019•长春)如图，AB是。。的直径,AC切。0于点A,BC交。0于点D.已知。。的

半径为6,ZC=40°.

(1)求/B的度数.

(2)求命的长.(结果保留n)

B

AC

【解答】解：(1)〈AC切。。于点A,

ZBAC=90°,

VZC=40°,

・・・NB=50°；

B

(2)连接0D,1。「一一下、

AC

VZB=50°,

AZA0D=2ZB=100°，

33.(2019•白银)如图，点0是aABC的边AB上一点，。。与边AC相切于点E,与边BC,

AB分别相交于点D,F,且DE=EF.

(1)求证：ZC=90°；

(2)当BC=3,sinA=C寸，求AF的长.

【解答】解：(1)连接OE,BE,

VDE=EF,

•■•DE=EF

・・・NOBE二NDBE

VOE=OB,

AZOEB=ZOBE

/.ZOEB=ZDBE,

・・・OE〃BC

・・・。0与边AC相切于点E,

AOE1AC

ABC!AC

AZC=90°

3

(2)在/XABC,ZC=90°,BC=3,sinA二」

5

・・・AB=5,

设。0的半径为r,贝ijAO5-r,

QEr

在RtAAOE中,sinA=-

OA5-r5

...r=-1--5-

8

1Rc

.\AF=5-2X^2--

84

34.(2019♦绵阳)如图，AB是。0的直径，点D在。。上(点D不与A,B重合)，直线AD

交过点B的切线于点C,过点D作。0的切线DE交BC于点E.

(1)求证：BE=CE；

(2)若DE〃AB,求sinNACO的值.

【解答】(1)证明：连接0D,如图，

・・・EB、ED为。。的切线,

AEB=ED,0D1DE,AB1CB,

AZAD0+ZCDE=90°,ZA+ZACB=90°,

VOA=OD,

AZA=ZADO,

・•・ZCDE=ZACB,

AEC=ED,

・・・BE=CE；

(2)解：作OH_LAD于H,如图，设。0的半径为r,

VDE^AB,

AZD0B=ZDEB=90°,

・・・四边形OBED为矩形，

而OB=OD,

...四边形OBED为正方形,

.\DE=CE=r,

易得aAOD和4CDE都为等腰直角三角形，

.\OH=DH=^r,CD=V^r,

在Rt/XOCB中，在刃（Zr^+r^V^r，

在RtAOCII中，sinZOCH=^=-2-r=2!S^

oc而1。

即sinNACO的值为

10

35.（2019•德州）如图，AB是。。的直径，直线CD与。。相切于点C,且与AB的延长线交

于点E,点C是前的中点.

（1）求证：AD1CD；

（2）若NCAD=30°,。。的半径为3,一只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-&爬回至点B,

求蚂蚁爬过的路程（口Q3.14,73^1.73,结果保留一位小数）.

【解答】（1）证明：连接0C,

•.•直线CD与。0相切,

AOCICD,

丁点C是前的中点，

・・・NDAC=NEAC,

VOA=OC,

・・・ZOCA=ZEAC,

/.ZDAC=ZOCA,

・・・OC〃AD,

AAD±CD；

(2)解：VZCAD=30°,

AZCAE=ZCAI>30°,

由圆周角定理得，ZC0E=60°,

.•.0E=20C=6,EC=J&C=3y反，祕=空穿n，

loU

...蚂蚁爬过的路程=3+3后“Ml.3.

36.(2019•北京)如图，AB是。。的直径，过。0外一点P作。0的两条切线PC,PD,切

点分别为CD,连接OP,CD.

(1)求证：0P1CD；

(2)连接AD,BC,若NDAB=50°,ZCBA=70°，0A=2,求0P的长.

【解答】解：(1)连接0C,0D,

；.0C=0D,

VPD,PC是。。的切线,

VZ0DP=Z0CP=90°,

OD=OC

在RtZ\ODP和RtAOCP

OP=OP'

ARtAODP^RtAOCP,

AZDOP=ZCOP,

VOD=OC,

AOP±CD；

(2)如图，连接OD,OC,

AOA=OD=OC=OB=2,

AZAD0=ZDA0=50°,NBCO=NCBO=70°,

AZA0D=80°,ZB0C=40°,

AZC0D=60°,

V0D=0C,

/.△COD是等边三角形，

由(1)知,ZD0P=ZC0P=30°,

在RtZ\ODP中，0P=—°.。

cos303

37.(2019•铜仁市)如图，在三角形ABC中，AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作。0交AB于

点D,交AC于点G,直线DF是。。的切线，D为切点，交CB的延长线于点E.

(1)求证：DF1AC；

(2)求tanNE的值.

【解答】（1）证明：如图，连接OC,CD,

•・,BC是。。的直径，

AZBDC=90°,

/.CD±AB,

VAC=BC,

・・・AD=BD,

VOB=OC,

・・・0D是aABC的中位线

.*.OD//AC,

•・・DF为。。的切线，

A0D1DF,

・・・DF_LAC；

(2)解：如图,连接BG,

・・・BC是。。的直径，

AZBGC=90°,

VZEFC=90°=ZBGC,

・・・EF〃BG,

JZCBG=ZE,

Rt^BDC中，・.・BD=3,BC=5,

ACD=4,

SA*■加・CD=,AC・BG，

6X4=5BG,

BG罩，

5

由勾股定理得：CG=,52-（誉产卷

38.(2019•昆明)如图，AB是。。的直径，ED切。0于点C,AD交。0于点F,/AC平分

ZBAD,连接BF.

(1)求证：AD1ED；

(2)若CD=4,AF=2,求。。的半径.

【解答】（1）证明：连接0C,如图,

VAC平分NBAD,

.-.Z1=Z2,

VOA=OC,

.\Z1=Z3,

，/2=N3,

；.0C〃AD,

：ED切。0于点C

A0C1DE,

.".ADIED；

(2)解：0C交BF于H,如图,

「AB为直径，

AZAFB=90°,

易得四边形CDFH为矩形，

；.FH=CD=4,ZCHF=90°,

，BH=FH=4,

BF=8,

在RSABF中，AB=^AF2+Bp2=Ay22+g2=2^,

...oo的半径为

39.(2019•陕西)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作。0,

分别与AC、BC交于点M、N.

(1)过点N作。0的切线NE与AB相交于点E,求证：NE1AB；

(2)连接MD,求证：MD=NB.

【解答】证明：(1)连接0N,如图,

VCD为斜边AB上的中线，

；.CD=AD=DB,

V0C=0N,

AZ2=ZB,

・・・ON〃DB,

VNE为切线，

AON±NE,

ANE1AB；

(2)连接DN,如图，

;AD为直径，

AZCMD=ZCND=90",

而NMCB=90°,

・・・四边形CMDN为矩形,

.\DM=CN,

VDN±BC,Z1=ZB,

ACN=BN,

AMD=NB.

40.(2019•曲靖)如图，AB为。0的直径，点C为。。上一点，将弧BC沿直线BC翻折，

使弧BC的中点D恰好与圆心0重合，连接0C,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线

交于点P,连接AD,在PB的另一侧作NMPB二NADC.

(1)判断PM与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若PC=«,求四边形0CDB的面积.

C

【解答】解：（l）PM与。0相切.

理由如下：

连接DO并延长交PM于E,如图，

•.•弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心0重合,

；.OC=DC,BO=BD,

.•.OC=DC=BO=BD,

四边形OBDC为菱形，

AODIBC,

AA0CD和AOBD都是等边三角形，

AZC0D=ZB0D=60°，

：.ZC0P=ZE0P=60"，

"：ZMPB=ZADC,

而NADC=NABC,

,•ZABC=ZMPB,

,.PM/7BC,

\OE1PM,

,.OE=-1<)P,

；PC为。。的切线,

,.OC±PC,

,.OC=^OP,

\OE=OC,

而OEJ_PC,

•.PM是。。的切线;

(2)在RSOPC中，0C=®PC=^X后］,

33

四边形OCDB的面积=2S„=2xlx/=返.

42

41.（2019•邵阳）如图所示，AB是。0的直径，点C为。。上一点，过点B作BDJ_CD,垂

足为点D,连结BC.BC平分NABD.

求证：CD为。0的切线.

【解答】证明：；BC平分NABD,

ZOBC=ZDBC,

VOB=OC,

ZOBC=ZOCB,

ZOCB=ZDBC,

；.OC〃BD,

VBD1CD,

AOCICD,

，CD为。0的切线.

42.（2019•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是。。上五点，。。的直径BE=2，5,ZBCD=120°,

A为前的中点，延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.

（1）求线段BD的长；

（2）求证：直线PE是。。的切线.

B

O

【解答】(1)解：连接DB,如图，

VZBCD+ZDEB=180°,

AZDEB=180°-120°=60°,

〈BE为直径，

AZBDE=90°,

在RSBDE中，DE寺E=*X2亚百,

BD二V5)E=d§XJ^=3；

(2)证明：连接EA,如图，

VBE为直径，

AZBAE=90°,

*.'A为前的中点，

AZABE=45°，

VBA=AP,

而EAIBA,

•••△BEP为等腰直角三角形,

・・・NPEB=90°,

APE±BE,

・,・直线PE是。0的切线.

C

43.(2019•怀化)己知：如图，AB是。0的直径，AB=4,点F,C是。0上两点，连接AC,

AF,0C,弦AC平分NFAB,ZB0C=60°,过点C作CDLAF交AF的延长线于点D,垂足为点

D.

(1)求扇形OBC的面积(结果保留)；

(2)求证:CD是。。的切线.

【解答】解：(1)VAB=4,

；.OB=2

VZC0B=60°,

_607lX4_2K

••oMOK---TTT-------

3603

(2)：AC平分/FAB,

ZFAC=ZCA0,

VA0=C0,

ZAC0=ZCA0

/.ZFAC=ZACO

，AD〃OC,

VCD1AF,

ACDIOC

：C在圆上，

；.CD是。0的切线

44.(2019•新疆)如图，PA与。0相切于点A,过点A作AB±OP,垂足为C,交。0于点B.连

接PB,A0,并延长A0交。0于点D,与PB的延长线交于点E.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)若0C=3,AC=4,求sinE的值.

p.

oJoE

【解答】(1)证明：连接OB；PO_LAB,

.\AC=BC,

，PA=PB

在APAO和△PBO中

'PA=PB

<AO=BO

JO=PO

.二△PAO和好Z\PBO

，Z0BP=Z0AP=90°

；.PB是。。的切线.

(2)连接BD,则BD〃PO,且BD=20C=6

在Rt△ACO中，0C=3,AC=4

AA0=5

在RtZXACO与Rt^PAO中，

ZAP0=ZAP0,

ZPA0=ZAC0=90°

AACO-APAO

AQ-PQ

行而

.\P0=—,PA=—

33

.\PB=PA=—

3

在△EPO与△EBD中，

BD〃PO

.,.△EPO^AEBD

.BD_EB

,•时而‘

45.(2019•安顺)如图，在△ABC中，AB=AC,0为BC的中点，AC与半圆0相切于点1).

(1)求证：AB是半圆0所在圆的切线；

(2)若cos/ABC=^AB=12,求半圆。所在圆的半径.

【解答】解：(1)如图，作OEJ_AB于E,连接0D,OA,

VAB=AC,点0是BC的中点，

ZCA0=ZBA0,

:AC与半圆0相切于D,

.\OD1AC,

VOE1AB,

A0D=0E,

VAB径半圆0的半径的外端点,

AAB是半圆0所在圆的切线;

(2)VAB=AC,0是BC的中点，

AAOIBC,

在RtZXAOB中，0B=AB«cosZABC=12X-1-

根据勾股定理得，0AAB2-0B-代,

由三角形的面积得，S.OE=LB・OA,

，。安孚2

即：半圆o所在圆的半径为色度.

46.（2019•衡阳）如图，。。是aABC的外接圆，AB为直径，NBAC的平分线交00于点D,

过点D作DE1AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.

（1）求证：EF是。。的切线；

（2）若AC=4,CE=2,求而的长度.（结果保留”）

EDF

【解答】解：（1）如图，连接0D,

EDF

V0A=0D,

・・・ZOAD=ZODA,

VAD平分NEAF,

.\ZDAE=ZDAO,

AZDAE=ZADO,

・・・OD〃AE,

VAE±EF,

/.OD±EF,

・・・EF是。。的切线；

(2)如图，作OG_LAE于点G,连接BD,

则AG=CG=LC=2,NOGE二NE二NODE=90°,

2

・•・四边形ODEG是矩形，

A0A=0B=0D=CG+CE=2+2=4,ZD0G=90°,

VZDAE=ZBAD,ZAED=ZADB=90°,

JAADE^AABD,

•AE_AD即6_AD

,,A^AB)、出石，

.".ADM8,

在RtAABD中，BD=^AB2_AD2=4,

在Rt/XABD中，VAB=2BD,

AZBAD=30°,

.".ZB0D=60°,

mu—''V必曲*60"兀“44兀

则BD的1l长度为一两—

47.(2019•孝感)如图，Z\ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,交AC于点E,

过点D作DF1AC于点F,交AB的延长线于点G.

(1)求证：DF是。0的切线；

(2)已知BD=2遥，CF=2,求AE和BG的长.

GG