专题25平面几何的最值问题

专题25平面几何的最值问题例题与求解【例1】在Rt中，CB=3,CA=4,M为斜边45上一动点.过点M作AC于点。，过M作于点£,则线段的最小值为.解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值.【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm,BC=10cm.若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：作点B关于AC的对称点B'，连结B'M，B'A，则BM=B'M，从而BM+MN=B'M+MN要使BM+MN的值最小，只需使B'M十MN的值最小，当B',M,N三点共线且B'N⊥AB时，B'M+MN的值最小.【例3】如图，已知口ABCD,AB=a,BC=b（a>b）,P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q.求AP+BQ的最小值. （永州市竞赛试题）解题思路:设AP=x，把AP,BQ分别用X的代数式表示，运用不等式以a2+b2≥2ab或a+b≥2Ya（当且仅当a=b时取等号）来求最小值.【例4】阅读下列材料：问题如图1,一圆柱的底面半径为5dm,高AB为5dm,BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线.小明设计了两条路线：BABC图1C路线1：侧面展开图中的线段Ac如图2所示.设路线l的长度为11，贝U112=AC2=AB2+BC2=25+(5π)2=25+25π.路线2：高线AB十底面直径BC如图1所示.设路线l的长度为12，则122=(BC+AB)2=(5+10)2=225.∙.∙112-122=25+25∏2-225=25π—200=25(π-8),Λ112>122,Λ11>12.所以，应选择路线2.(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：1J=AC2=；路线2：122=(AB+BC)2=.∙112122,；.1112(填“>”或“<”)，所以应选择路线(填“1”或“2”)较短.(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为厂，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题.比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便.比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减.【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2,BF=1.为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率. (中学生数学智能通讯赛试题)解题思路：设DN=x,PN=y，则S=Xy.建立矩形MDNP的面积S与X的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率.能力训练A级.如图,将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形.容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 . (烟台市中考试题).D是半径为5cm的。O内一点，且OD=3cm,则过点O的所有弦中，最短的弦AB=cm..如图，有一个长方体，它的长BC=4,宽AB=3,高BB1=5.一只小虫由A处出发，沿长方体表面爬行到C1,这时小虫爬行的最短路径的长度是.如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB,CA分别相交于点E，F则线段EF长度的最小值是（ ）A.4√2 B.4.75 C.5 D.4.8.如图，圆锥的母线长OA=6,底面圆的半径为2.一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为（ ）A.12 B.4π C.6√2 D.6√-3.如图，已知/MON=40°,P是∠MON内的一定点，点A,B分别在射线OM,ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为（ ）A.80° B.100° C.120° D.140°.如图，AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上任意一点.若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是（ ）A.15 B.20 C.15+5J2 D.15+5<5第6题图 第7题图 第8题图.如图，在正方形ABCD中，AB=2,E是AD边上一点（点E与点A,D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N.(1)设A£=%,四边形A。；W的面积为S,写出S关于％的函数关系式.(2)当AE为何值时，四边形A。；W的面积最大？最大值是多少？.如图，六边形A5CQE/内接于半径为厂的。0,其中4。为直径，且AB=CQ=QE=El.(1)当NA4。=75。时，求的长；(2)求证：BC//AD//FE；(3)设45=%,求六边形A5CQE/的周长/关于％的函数关系式，并指出％为何值时，/取得最大值..如图，已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D).Q是BC边上任意一点.连结AQ,DQ,过P作PE〃DQ交于AQ于E,作PF//AQ交DQ于F.(1)求证：△APEs^ADQ；(2)设AP的长为％，试求△PEF的面积S△PEF关于％的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明).在等腰4ABC中，AB=AC=5,BC=6.动点M,N分别在两腰AB,AC上(M不与A,B重合，N不与A,C重合)，且MN〃5。.将4AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P.(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上?(2)设MN=%,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为》试写出y与1的函数关系式，当％为何值时，y的值最大，最大值是多少？AMNBCB级.已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,且S四边彤ABa)=32,那么当AC= ,BD=,时，四边形ABCD面积最大，最大值是.四也.如图，已知^ABC的内切圆半径为r,∠A=60°,BC=2√3，则r的取值范围是.(江苏省竞赛试题)第5题图第2题图 第3题图 第4题图.如图。O的半径为2,ΘO内的一点P到圆心的距离为1,过点P的弦与劣弧AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为..如图，△ABC的面积为1,点D,G,E和F分别在边AB,AC,BC上，BD<DA,DG//BC,DE/AC,GF/AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为..已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的％轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC,则OC的最大值是..已知直角梯形ABCD中，AD/BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为( )A.—√17 B.—√17 C.—√17 D.317 17 17第6题图 第7题图 第8题图.如图，正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B,C重合的任意一点，连结AP,过点P作PQ⊥AP交DC于点Q.设BP的长为％cm,CQ的长为jcm.(1)求点P在BC上运动的过程中j的最大值；1(2)当j=4cm时，求％的值..如图，J轴正半轴上有两点A(0,a),B(0,b),其中a>b>0.在％轴上取一点C,使∠ACB最大，求C点坐标..如图，正方形ABCD的边长为1,点M,N分别在BC,CD上，使得△CMN的周长为2.求:∠MAN的大小；△MAN的面积的最小值.10,如图，四边形ABCD中，AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC于F,DE与AB相交于点E.(1)求证：AB∙AF=CB∙CD；(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点，设DP=