高中数学等差数列教案模板共4篇

高中数学等差数列教案模板共4篇高中数学等差数列教案模板共1

等差数列的性质总结

(一)等差数列的公式及性质

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首项:a1，公差:d，末项:an

推广：an?am?(n?m)d．从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?

（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?

24．等差数列的判定方法

（1）定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)??an?是等差数列．?an?am；n?ma?b或2A?a?b2

（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。

（4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

5．等差数列的证明方法

定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)??an?是等差数列．?

6.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a

1、d、n、an及Sn，其中a

1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项an?a1?(n?1)d

②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：

（1）当公差d?0时，

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为

2（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，

（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列

(5)数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列*

(二)．等差数列的前n项和公式：(1)Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn222

2（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

（2）若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差数列

（3）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?12

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd

S奇nana??nS偶nan?1an?

12、当项数为奇数2n?1时，则

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1?????S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（4）?an?、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（5）等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n???m?n?

(6)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1n?N*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

?an?0即当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最大值时的n值．a?0?n?1

（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即当a1?0，d?0，由?

或求?an?中正负分界项?an?0可得Sn达到最小值时的n值．?an?1?0

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为n?

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

p?q2

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高中数学《等差数列》试讲答辩

为帮助各位考生备战教师资格面试，中公教师网整理了各学科教师资格面试试讲答辩语音示范，以下是高中数学《等差数列》试讲答辩，希望对各位考生有所帮助!【面试备课纸】

3.基本要求：（1）要有板书；（2）试讲十分钟左右；（3）条理清晰，重点突出；

（4）学生掌握等差数列的特点与性质。【教学设计】

一、教学目标【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。

【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。

【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

二、教学重难点【教学重点】

等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。【教学难点】

等差数列通项公式的推导。

三、教学过程环节一：导入新课教师PPT展示几道题目：

1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，252.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。

年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。

教师提问学生这几组数有什么特点？学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。

环节二：探索新知1.等差数列的概念

学生阅读教材，同桌讨论，类比等比数列总结出等差数列的概念

如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢？

环节三：课堂练习

抢答：下列数列是否为等差数列？（1）1，2，4，6，8，10，12，……（2）0，1，2，3，4，5，6，……（3）3，3，3，3，3，3，3，……（4）-8，-6，-4，-2，0，2，4，……（5）3,0，-3，-6，-9，……环节四：小结作业

小结：1.等差数列的概念及数学表达式。

关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。

作业：现实生活中还有哪些等差数列的实际应用呢？根据实际问题自己编写两道等差数列的题目并进行求解。

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等差数列复习

知识归纳

1.等差数列这单元学习了哪些内容？

定等差数列通义项前n项和主要性质

2.等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题:n≥2，an－an－1＝d(常数)3.等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？an＝a1＋(n－1)d

an＝An＋B(d＝A∈R)4.等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？

d＜0annannd＞05.用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容?使用时需注意的问题?前n项和公式结构有什么特点?n(a1?an)n(n?1)d?na1?22Sn?Sn＝An2＋Bn(A∈R)注意:d＝2A!6.你知道等差数列的哪些性质?等差数列{an}中，(m、n、p、q∈N+):①an＝am＋(n－m)d；

②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；

④每n项和Sn,S2n－Sn,

S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列.知识运用1.下列说法:(1)若{an}为等差数列,则{an2}也为等差数列(2)若{an}为等差数列,则{an＋an＋1}也为等差数列(3)若an＝1－3n,则{an}为等差数列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1,则{an}为等差数列.

其中正确的有(

(2)(3)

)2.等差数列{an}前三项分别为a－1,a＋2,

2a＋3,则an＝3n－2.3.等差数列{an}中,a1＋a4＋a7＝39,

a2＋a5＋a8＝33,则a3＋a6＋a9＝27.4.等差数列{an}中,a5＝10,a10＝5,a15＝0.5.等差数列{an},a1－a5＋a9－a13＋a17＝10,

a3＋a15＝20.6.等差数列{an},S15＝90,a8＝

6.7.等差数列{an},a1=－5,前11项平均值为5,从中抽去一项,余下的平均值为4,则抽取的项为

(

a)

d.a88.等差数列{an},

Sn＝3n－2n2,则(B)＜Sn＜nan

＜Sn＜na1

＜na1＜Sn

＜nan＜na1能力提高

1.等差数列{an}中,S10＝100,S100＝10,求S110.

2.等差数列{an}中,a1＞0,S12＞0,S13＜0,S

1、S

2、…S12哪一个最大？

课后作业《习案》作业十九.

高中数学等差数列教案模板共4

课题：等差数列的前n项和

（二）

6161,又∵n∈N*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2

2二、例题讲解例1.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1,an(a1?an)30=59,n=30的等差数列.∵Sn=2,∴S30(1?59)

30=2=900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以a1=2,d=3,a33=98,n=33的等差数列.

由Sn(a1?an)n=2,得S33(2?98)

33=2=1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列?an?,是等差数列，Sn是其前n项和，

求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；

⑵设Sk,S2k?Sk,S3k?S2k（k?N?）成等差数列

证明：设?an?,首项是a1，公差为d

则S6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵S12?S6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?S6?36d∵S18?S12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)

?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(S12?S6)?36d∴

?S6,S12?S6,S18?S12是以36d同理可得Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是以kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得S4=24,S5－S2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d,2

4(4?1)d?4a??24??12则?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2（n－1）=2n+?2?

2．两个数列1,x1,x2,……,x7,5和1,y1,y2,……,y6,5均成等差数列公差分别是d1,d2,求x?x2????x7d1与1y1?y2????y6d2

解：5＝1＋8d1,d1＝d147,又5＝1＋7d2,d2＝,∴1＝;d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴x1?x2????x77＝.y1?y2????y66

3．在等差数列{an}中,a4＝－15,公差d＝3,求数列{an}的前n项和SnSn解法1：∵a4＝a1＋3d,∴－15＝a1＋9,a1＝－24,

3n(n?1)

∴Sn＝－24n＋＝[(n－)－],

∴当|n－51|最小时，Sn最小，6

即当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24,d＝3,an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

四、小结本节课学习了以下内容：?an?是等差数列，Sn是其前n项和，则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k（k?N?

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n?1)×10，2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

当n＝9时,最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴n＝8.

2．已知非常数等差数列{an}的前n项和Sn满足

10Sn?m2?3n?2(m?1)n?mn

解：由题设知

2n2(n∈N,m∈R),求数列{a5n?3}的前n项和.Sn＝lg(m?3?2

即Sn＝[(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2,52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵{an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式(m?1)lg2≠0且lgm2＝0,∴m＝－1,5

212∴Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

3则当n=1时，a1＝lg3?lg25

21当n≥2时,an＝Sn－Sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)55

41＝?nlg2?lg3?lg255∴

41nlg2?lg3?lg255

4d=an?1?an=?lg25

41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg255

11=?4nlg2?lg3?lg25

31数列{a5n?3}是以a8=lg3?lg2为首项,5d=?4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝?

{a5n?3}的前n项和为

n·(lg3?lg2)＋n(n－1)·