柯西积分公式及其推论课件

1第三节柯西积分公式及其推论一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考1第三节柯西积分公式及其推论一、问题的提出二、柯2一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,求这个值.2一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C334

这就是柯西积分公式.1、Cauchy积分公式定义3.4

在定理3.11的条件下，称为柯西积分。

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这就是柯西积分公式.1、Cauchy积分公式定义35柯西积分公式定理证

5柯西积分公式定理证

667上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式柯西介绍7上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意8关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)定理的特殊情形，有如下的解析函数的平均值定理.

柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数各种局部性质的重要工具.8关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用9定理3.12解析函数的平均值定理

9定理3.12解析函数的平均值定理

10三、典型例题例1解10三、典型例题例1解11

由柯西积分公式

11

由柯西积分公式

12例2解由柯西积分公式12例2解由柯西积分公式13例3解由柯西积分公式13例3解由柯西积分公式14例3.10(P121）14例3.10(P121）15例3.11

提示：用反证法及解析函数的平均值定理。15例3.11

提示：用反证法及解析函数的平均值定理。16使用柯西公式计算积分应注意：（1）积分路径为周线；（2）被积函数的分子为解析函数；（3）在周线内仅有被积函数的一个不解析点。注：如果给定的积分被积函数在C内部有两个以上奇点，就不能直接应用柯西积分公式。16使用柯西公式计算积分应注意：（1）积分路径为周线；（2）17练习答案17练习答案18习题中的题18习题中的题1912解根据柯西积分公式知,1912解根据柯西积分公式知,2011解根据柯西积分公式知,2011解根据柯西积分公式知,21比较两式得21比较两式得22四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西积分定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:22四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中23思考题柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?23思考题柯西积分公式是对有界区域而言的,24思考题答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.24思考题答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按25Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料25Aug