专题08一元二次方程 全国获奖

2021年中考数学一轮专题复习08一元二次方程

考点课标要求考查角度1一元二次方程的解法了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．常以选择题、填空题、解答题的形式考查一元二次方程的定义和解法．有时会要求用指定的方法解方程，以考查是否全面掌握了一元二次方程的解法．2一元二次方程根的判别式了解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况．常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程根的判别式，部分地市以探究题的形式考查．中考命题说明

考点课标要求考查角度3一元二次方程应用题①能够根据具体问题中的数量关系，列出方程解决实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；②能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程的列法，以列方程解应用题的形式考查解一元二次方程的基本思想和列方程解应用题的意识．中考命题说明思维导图知识点1：一元二次方程及有关概念

知识点梳理1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．知识点1：一元二次方程及有关概念

知识点梳理3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．典型例题【例1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．x2+1=0 B．C．ax2+bx+c=0 D．（x+1）（x–1）=x2+x+1【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、化简后为–1=x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，故选A．【答案】A.知识点1：一元二次方程及有关概念

典型例题【例2】（2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为

．【解答】解：∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6-2a+17=23．故答案为：23．知识点1：一元二次方程及有关概念

知识点梳理1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.2.常用方法：（1）直接开平方法：对于形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，直接开平方．（2）配方法：将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解．知识点2：一元二次方程的解法

知识点梳理（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为

（）．（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0的形式，进而得到x-a=0或x-b=0来求解．知识点2：一元二次方程的解法

知识点梳理3.选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.知识点2：一元二次方程的解法

典型例题【例3】（2019·安徽省15/23）解方程：（x﹣1）2＝4．知识点2：一元二次方程的解法

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．典型例题【例4】（2019•呼和浩特19/25）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．知识点2：一元二次方程的解法

【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，∴，．典型例题【例5】（2019·通辽6/26）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48

B．24

C．24或40

D．48或80 知识点2：一元二次方程的解法

【解答】解：

x2﹣8x+15＝0可化为（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为

，∴菱形的面积＝

．故选：B．典型例题【例6】若实数a、b满足(4a+4b)(4a+4b－2)－8=0，则a+b=__________.知识点2：一元二次方程的解法

【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得

，x2=1．则a+b的值是

或1．故答案是：

或1．知识点3：一元二次方程的根的判别式

知识点梳理1．一元二次方程根的判别式：

b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式．2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）当

=b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即

；（2）当=b2－4ac＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，即（3）当=b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．典型例题【例7】（2020•吉林9/26）一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为

．知识点3：一元二次方程的根的判别式

【分析】根据一元二次方程根的判别式=b2-4ac即可求出值．【解答】解：∵a=1，b=3，c=-1，∴

=b2-4ac=9+4=13．所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．故答案为：13．【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．典型例题【例8】（2020•北京10/28）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是

．知识点3：一元二次方程的根的判别式

【分析】根据根的判别式

＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴

＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．典型例题【例9】（2020•新疆兵团5/23）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（

）A．

B．x2+2x+4＝0 C．x2-x+2＝0 D．x2-2x＝0知识点3：一元二次方程的根的判别式

【解答】解：A．此方程判别式

，方程有两个相等的实数根，不符合题意；B．此方程判别式

，方程没有实数根，不符合题意；C．此方程判别式

，方程没有实数根，不符合题意；D．此方程判别式

，方程有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D．典型例题【例10】（2020•河南7/23）定义运算：m☆n=mn2-mn-1．例如：4☆2=4×22-4×2-1=7．则方程1☆x=0的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．无实数根

D．只有一个实数根知识点3：一元二次方程的根的判别式

【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．【解答】解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，∴

，故选：A．知识点4：一元二次方程的根与系数的关系

知识点梳理1.

一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有

，．2.

用根与系数的关系求值时的常见转化：（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

．知识点4：一元二次方程的根与系数的关系

典型例题【例11】（2020•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=5．请你写出正确的一元二次方程

．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可．【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b，解得b=-6，c=6，所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0．故答案为x2-6x+6=0．知识点4：一元二次方程的根与系数的关系

【例12】（2019•呼和浩特8/25）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝(x1+x2)2﹣2x1x2﹣5x12+17＝(﹣1)2﹣2×(﹣3)﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5(﹣1﹣x1)2＝24﹣5(x12+x1+1)＝24﹣5×(3+1)＝4，故选：D．典型例题知识点5：一元二次方程的应用

知识点梳理1.列一元二次方程解应用题的步骤：列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、找、设、列、解、验、答七步.知识点5：一元二次方程的应用

知识点梳理2.常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系：①增长率＝

×100%；②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x)2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a(1–x)，第三年的产值为a(1–x)2．知识点5：一元二次方程的应用

知识点梳理（2）利润等量关系：①利润＝售价-成本；②利润率＝利润成本×100%.③总利润=单件的利润×数量．（3）面积问题：充分利用各种图形对应的面积公式.知识点5：一元二次方程的应用

典型例题【例13】（2020•河南8/23）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（

）A．5000(1+2x)=7500

B．5000×2(1+x)=7500

C．5000(1+x)2=7500

D．5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500知识点5：一元二次方程的应用

典型例题【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×(1+增长率)2=2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：