数学应用之分形课件

4.6.1由生成元生成的分形图形cantor三分集

生成方法：选取一条直线段F0，将该线段三等分，去掉中间一段，剩下两段。将剩下的两段分别再三等分，各去掉中间的一段，剩下四段。继续这样的操作，直至无穷，则可得到一个离散的点集，称为cantor三分集。

程序略。由生成元产生的分形是一种规则分形，是数学家按照一定规则构造出来的，相当于物理学种的模型。构造特点：最终图形是按照一定规则R对初始F0不断修改得到的。

2023/8/230黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形cantor三分集4.6.1由生成元生成的分形图形koch曲线

生成方法：选取一条直线段F0，将该线段三等分，并将中间一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，得到图形F1。再将F1的每一段都按上述方法修改，直至无穷，则最后得到的极限曲线，称为koch曲线。

2023/8/231黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形koch曲线2023/8/14.6.1由生成元生成的分形图形程序：clear;clf;new=[0,1];%定义初始线段的两端kmax=20;%迭代次数fork=1:kmaxold=new;%保存原有各点的坐标

n=length(old)-1;%计算需要改变图形的线段数目

form=0:n-1%计算各新线段两端点的坐标(5点)diff=(old(m+2)-old(m+1))/3;%取新线段长度向量new(4*m+1)=old(m+1);%新线段第一点坐标new(4*m+2)=old(m+1)+diff;%新线段第二点坐标new(4*m+3)=new(4*m+2)+diff*((1+sqrt(3)*i)/2);%第三点new(4*m+4)=old(m+1)+2*diff;%第四点endnew(4*n+1)=old(n+1);%最后一点plot(new);axisequal;end2023/8/232黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形程序：clear;clf;n4.6.1由生成元生成的分形图形2023/8/233黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形2023/8/13黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形分形树生成方法：选取一条直线段F0，将该线段三等分，在等分点上各画一条长度为原线段长度三分之一的线段，并与原线段成固定夹角，得到图形F1。再将F1的每一段都按上述方法修改，直至无穷，则最后得到的极限图象，称为分形树。

abcdeo2023/8/234黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形分形树abcdeo2023/4.6.1由生成元生成的分形图形程序：clear;clf;th=pi/6;%设置角度u=[0,0;0,1];%初始线段坐标

rov1=[cos(th),-sin(th);sin(th),cos(th)];rov2=rov1';%坐标变换矩阵kmax=15;%循环次数fork=1:kmaxuuu=[];%建立一空数组，保存点坐标

n=length(u)/2;%计算需要改变图形的线段数目

form=0:n-1%计算各新端点的坐标

p1=(u(2*m+1,:)*2+u(2*m+2,:))/3;%a点

p2=(u(2*m+1,:)+u(2*m+2,:)*2)/3;%b点pp=[(u(2*m+2,1)-u(2*m+1,1));(u(2*m+2,2)-u(2*m+1,2))]/3;%计算新线段向量2023/8/235黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形程序：clear;clf;t4.6.1由生成元生成的分形图形lp=rov1*pp;%第一条树枝偏转向量lp=p1+lp';%第一条树枝端点C坐标rp=rov2*pp;%第二条树枝偏转向量rp=p2+rp';%第二条树枝端点D坐标uu=[u(2*m+1,:);p1;p1;lp;p1;p2;p2;rp;p2;u(2*m+2,:)];%按顺序排列新线段两端点的坐标uuu=[uuu;uu];endu=[uuu];plot(u(:,1),u(:,2));axis([-0.5,0.5,0,1]);end2023/8/236黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形lp=rov1*pp;4.6.1由生成元生成的分形图形2023/8/237黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形2023/8/17黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形以及相应的一组概率:p1,p2,...,pn(p1+p2+...+pn=1,pi>0)。对于任意选取的初始值z0=(x0,y0)，以概率pi选取变换wi做迭代：

zk+1=(xk+1,yk+1)=wi(xk,yk),k=0,1,2,...

则点列{zk}收敛的极限图形称为一个IFS吸引子，即分形。利用IFS迭代可以生成美丽的分形，而且IFS迭代的程序具有通用性，要想得到不同的分形只需改变变换种的系数和概率值。由迭代函数系(IFS)产生分形的一般算法是：给定平面上的一组仿射变换wi:

2023/8/238黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形以及相应的一组概率:p14.6.2由迭代函数系生成的分形图形步骤：(1)设定迭代的可视区域为：V={(x,y)|xmin≤x≤xmax,ymin≤y≤ymax}再按分辨率的大小V分成a*b的网格，网格点为(xi,yi)，其中：xi=xmin+(xmax-xmin)*i/a,i=0,1,2,...,ayi=ymin+(ymax-ymin)*i/b,i=0,1,2,...,b设迭代N次；(2)设定初始点(x0,y0)，不妨取(0,0)；(3)在数列{1,2,...,n}中，以概率pi选取变换wi；(4)将变换作用到点(xk,yk)上，得到新点(xk+1,yk+1)；(5)画出点(xk,yk)，直到循环结束。2023/8/239黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形步骤：2023/8/194.6.2由迭代函数系生成的分形图形barnsley羊齿叶

wabcdefp10000.16000.0120.850.04-0.040.8501.60.8530.2-0.260.230.2201.60.074-0.150.280.260.4400.440.07程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可视区域点数fori=2:n%按规则计算下一点坐标2023/8/2310黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形barnsley羊齿叶w4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率ifvv<0.01%概率p=0.01y(i)=0.16*y(i-1);elseifvv<0.86%概率p=0.85x(i)=0.85*x(i-1)+0.04*y(i-1);y(i)=1.6-0.04*x(i-1)+0.85*y(i-1);elseifvv<0.93%概率p=0.07x(i)=0.2*x(i-1)-0.26*y(i-1);y(i)=1.6+0.23*x(i-1)+0.22*y(i-1);elsex(i)=-0.15*x(i-1)+0.28*y(i-1);y(i)=0.26*x(i-1)+0.24*y(i-1)+0.44;end2023/8/2311黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);4.6.2由迭代函数系生成的分形图形endplot(x(1:n),y(1:n),'.r','markersize',1);axisoff

2023/8/2312黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形end2023/8/114.6.2由迭代函数系生成的分形图形sierpinski垫

wabcdefp10.5000.5000.33320.5000.50.250.4330.33330.5000.50.500.333程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可视区域点数fori=2:n%按规则计算下一点坐标2023/8/2313黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形sierpinski垫w4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率ifvv<0.333%概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1);y(i)=0.5*y(i-1);elseifvv<0.666%概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1)+0.25;y(i)=0.433+0.5*y(i-1);elsex(i)=0.5*x(i-1)+0.5;y(i)=0.5*y(i-1);endendplot(x(1:n),y(1:n),'.b','markersize',1);axisoff2023/8/2314黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);4.6.2由迭代函数系生成的分形图形2023/8/2315黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形2023/8/115黄建4.6.2由迭代函数系生成的分形图形分形树wabcdefp10000.5000.0520.42-0.420.420.4200.20.430.420.42-0.420.4200.20.440.1000.100.20.15程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可视区域点数fori=2:n%按规则计算下一点坐标2023/8/2316黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形分形树wabcdefp14.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率ifvv<0.05%概率p=0.05y(i)=0.5*y(i-1);elseifvv<0.45%概率p=0.4x(i)=0.42*x(i-1)-0.42*y(i-1);y(i)=0.2+0.42*(x(i-1)+y(i-1));elseifvv<0.85x(i)=0.42*(x(i-1)+y(i-1));y(i)=0.42*(y(i-1)-x(i-1))+0.2;elsex(i)=0.1*x(i-1);y(i)=0.2+0.1*y(i-1);end2023/8/2317黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);4.6.2由迭代函数系生成的分形图形endplot(x(1:n),y(1:n),'.m','markersize',1);axisoff

2023/8/2318黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形end2023/8/114.6.2由迭代函数系生成的分形图形levy曲线wabcdefp10.5-0.50.50.5000.520.50.5-0.50.50.50.50.5程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可视区域点数fori=2:n%按规则计算下一点坐标2023/8/2319黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形levy曲线wabcde4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率ifvv<0.5%概率p=0.5x(i)=0.5*(x(i-1)-y(i-1));y(i)=0.5*(x(i-1)+y(i-1));elsex(i)=0.5*(x(i-1)+y(i-1))+0.5;y(i)=-0.5*(x(i-1)-y(i-1))+0.5;endendplot(x(1:n),y(1:n),'.m','markersize',1);axisoff2023/8/2320黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);4.6.2由迭代函数系生成的分形图形2023/8/2321黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形2023/8/121黄建给定一个初始复数z0，由迭代：

zk+1=zk2+c,k=0,1,2,...其中zk为复数,c为复常数对于给定的初始复数z0，迭代序列{zk}可能有界，也可能发散到无穷。使得序列{zk}有界的所有初值z0的集合J称为复平面上的julia集。对于不同的参数c，julia集的形状会有不同。

若固定初值z0，则对于不同的参数c，迭代序列{zk}可能有界，也可能发散到无穷。使得序列{zk}有界的所有参数c的集合M称为复平面上的mandelbrot集。对于不同的参数z0，mandelbrot集的形状也会有不同。

4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2322黄建华制作给定一个初始复数z0，由迭代：4.6.3由复变函数为了便于绘图，令zk=xk+iyk,c=p+iq,则：

xk+1=xk2-yk2+p,yk+1=2xkyk+q记：rk+1=sqrt(xk2+yk2)则序列{zk}有界相当于序列{rk}有界，可用一个上界值M来判断是否有界。

julia集绘制步骤：(1)选定p,q,最大迭代次数kmax,上界M,显示分辨率(xmax,ymax)迭代区域[xmin,xmax;ymin,ymax],步长hx=(xmax-xmin)/xmax,hy=(ymax-ymin)/ymax,进行循环4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2323黄建华制作为了便于绘图，令zk=xk+iyk,c=p+iq,则：4.(2)建立初值与计算机屏幕上点的对应关系：x0=xmin+ihx,y0=ymin+ihy,k=0(3)计算：

x1=x02-y02+p,y1=2x0y0+q;k=k+1,r=sqrt(x12+y12)(4)判断：若r>M,表明点(x0,y0)产生的序列无界，用白色显示点并转向步骤(2)；若k=kmax,表明点(x0,y0)产生的序列有界，用黑色显示点并转向步骤(2)；若r≤M且k≤kmax，则继续迭代；4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2324黄建华制作(2)建立初值与计算机屏幕上点的对应关系：4.6.3由复变函mandelbrot集程序：clear;clf;x=linspace(-1.5,1.5,300);y=linspace(-2.25,0.75,300);%设置显示范围[X,Y]=meshgrid(x,y);%设置像素点的坐标n=100;c=X+i*Y;Z=X+i*Y;fork=1:n%迭代过程Z=Z.^2+c;endW=abs(Z);pcolor(X,Y,W);%绘制当前颜色矩阵W的伪彩色图shadingflat;%画出二维曲面W的阴影,axis('square');colormapprism(256)%创建颜色矩阵,并返回颜色值gtext('mandelbrot图')4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2325黄建华制作mandelbrot集程序：4.6.3由复变函数迭代生成的分4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2326黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/126黄mandelbrot集程序修改：clear;clf;x=linspace(-2,0.5,300);y=linspace(-1.25,1.25,300);%设置显示范围[X,Y]=meshgrid(x,y);%设置像素点的坐标n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X));fork=1:n%迭代过程Z=Z.^2+c;i0=find(abs(Z)>2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W==0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W);shadingflat;axis('square');colormapprism(256)gtext('mandelbrot图')4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2327黄建华制作mandelbrot集程序修改：4.6.3由复变函数迭代生成4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形龟图2023/8/2328黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形龟图2023/8/12mandelbrot集程序再修改：clear;clf;x=linspace(-0.74547,-0.74538,300);y=linspace(0.11298,0.11304,300);%设置显示范围[X,Y]=meshgrid(x,y);%设置像素点的坐标n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X));fork=1:n%迭代过程Z=Z.^2+c;i0=find(abs(Z)>2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W==0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W);shadingflat;axis('square');colormapprism(256)gtext('mandelbrot图')4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2329黄建华制作mandelbrot集程序再修改：4.6.3由复变函数迭代生4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/8/2330黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形20