Einsten场方程的一个大致推导

Einstein场方程的一个大致推导过程一、大致流程牛顿引力论（潮汐加速度）二、具体推导过程1、牛顿引力论中的潮汐加速度先引入引力势ϕ，它与引力F有如下关系：F=-设一个质点质量m=1，由牛顿第二定律有：d接着考虑一个临近的质点m=1，d对右式取一阶近似有ξi-将③式代入②式并减去①式后得到：d④式便是牛顿引力论中潮汐加速度的表达式，下面我们来看广义相对论情况二，广义相对论中的潮汐加速度（测地偏离方程）先求出相对论中质点的运动方程：考虑矢量:ds则：d可知对于空间中两点a，b，它们之间的线长定义为：S=即：S=在引力场中，质点走短程线，因而亦可用速度的协变导数为δS=0现在选取函数F则：δS=δa现在先单独处理几项：δd则原式化为：=考虑分部积分有：=由变分法的边界条件可知：δ则：2且对第三式作指标替换ν→σ，得到：a即有：g左式化为：g=即：1两边同时乘以gρσd注意到第二类Chirstoffel符号的定义：Γ故原式写为：d这就是测地线方程，广义相对论中的运动方程现在来计算广义相对论中的潮汐加速度（测地偏离方程）考虑一条测地线，参数设为xρd考虑一条邻近测地线，参数设为xρ+ξ对于其测地线方程的第一项，写为：d第二项，可知此时的参数只影响Chirstoffel符号的取值由于ξρ充分小，我们对Chirstoffel符号一阶近似（如同牛顿引力论那样）Γ则测地线方程写为：d用②式减去①式得到：d注意到对dξρds的协变导数有如下定义(D故原式写为（替换了指标）：D即：D注意到在一阶近似下，Riemann-Christoffel张量有如下形式：R故原式改写为：D这便是广义相对论中的测地偏离方程，D2三、泊松方程现在列出一中所给出的牛顿引力论中的潮汐加速度方程，并改写为：a根据牛顿的万有引力定律可知：F=G如同静电场那样，定义引力场的场强χ，可知：χ=假设空间里的物质总质量为M，考虑一个包被M的半径为r的球面（如同高斯面那样），则引力场强对于球面的通量可以定义为：Φ=4π写成积分形式如下：χds=4πG用散度定理改写为：χds=故最终得到：∇∙χ=4πGρ我们知道对于引力场和引力势，有如下关系∇ϕ=结合②③两式，我们得到泊松方程：∇现在列举出测地偏离方程，牛顿引力论中潮汐加速度，泊松方程a注意到能动张量有如下定义：ρ=联立后三式得到a与第一个式子进行对比，不难发现有如下关系（为了使等式左右两边同为二阶张量（因为能动张量为二阶张量），对Riemann-Christoffel张量作缩并RabdcR但事实上，它们是不等的，这很容易想到，因为牛顿引力论和相对论仅在低速缓变的情况下可以近似等效，所以需要在低速缓变的情况下（弱场近似）找到正确的关系式。四、张量构造与牛顿近似由连续性方程可知：

∇但是：∇因此：R那么现在，我们需要构造一个二阶张量Gad∇由Riemann-Christoffel张量的定义可知：∇不难得出如下等式（Bianchi恒等式）：∇以及：R由以上两式可得：∇缩并a和e以后得：∇左右两边同时乘以gbd2即：∇即：∇即：∇现在令（R即Ricci标量）：G这即Einstein张量现在令：G这便确立了场方程的基本形式，现在的任务是确定κ的具体值在①式左右同时乘上一个gadR-2R=-R=代回①式有：R即：R在②式左右同时乘上Z得到：R由关系式：

ρ=R可知：R在牛顿近似下有（