北师版选择性必修·第二册1.3等比数列 课件4份打包

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第2课时等比数列的概念及其通项公式(二)

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点等比中项

如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成________数列，那么称G＝________为a，b的等比中项．

等比

±

状元随笔(1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±.

(2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．

(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若G是a与b的等比中项，则G＝.()

(2)若a，G，b满足G2＝ab，则a，G，b一定是等比数列．()

(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．()

(4)等比数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比数列．()

×

×

×

√

2．若三个正数1，b，16成等比数列，则b的值为()

A．－4B．4

C．8D．±4

答案：B

解析：由等比中项知b2＝16，又b>0，∴b＝4.

故选B.

3．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为()

A．4B．8

C．36D．32

答案：C

解析：∵{an}是等比数列，∴a2a6＝＝36.

故选C.

4．若三个数3－，x，3＋成等比数列，则x＝________.

±2

解析：由等比中项知：x2＝(3－)(3＋)＝4.

∴x＝±2.

题型探究·课堂解透

题型一等比中项

例1(1)(多选题)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是()

A．－B．

C．－4D．4

答案：CD

解析：由题意知an＝·2n－1＝2n－4>0

∴a4＝1，a8＝16

∴a4·a8＝16

∴a4与a8的等比中项是±4.

故选CD.

(2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是____________．

或－

解析：由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项，

设此数为G，则G2＝ab，故G＝±.

方法归纳

应用等比中项解题策略

(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示；

(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．

跟踪训练1如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()

A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9

答案：B

解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，

∴b2＝(－1)×(－9)＝9

∵b0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

解析：(1)在等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a5＝.

(2)根据等比中项，化简条件得

＝25，即(a3＋a5)2＝25，

∵an>0，∴a3＋a5＝5.

(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)

＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]

＝log395＝10.

方法归纳

运用等比数列性质计算的策略

运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则＝”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件．

跟踪训练2(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.

(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.

解析：(1)法一：相除得q8＝9.

所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.

法二：因为＝a3a11＝81，所以a7＝±9，

又因为a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.

(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，

所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.

所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.

题型三等比数列的实际应用

例3某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．

(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；

(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？

解析：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，

由题意得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，

a3＝10(1－10%)2，….

由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，

所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.

所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元．

(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1

＝7.29(万元)．

所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．

方法归纳

等比数列应用题的两种常见类型

(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．

(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．

跟踪训练3一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB)．

45

解析：由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．

易错辨析忽略等比数列各项的符号规律致错

例4在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝()

A．9或－9B．9

C．27或－27D．－27

答案：B

解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9，故选B.

【易错警示】

出错原因纠错心得

没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a7＝±9，错选A.在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当．

[课堂十分钟]

1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a5为()

A．4B．6

C．±6D．±4

答案：B

解析：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，

a3a7，a5

故选B.

2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于()

A．±B．－

C．D．±

解析：根据等比数列的性质可知a1a5＝.故选C.

答案：C

3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为()

A．32B．64

C．256D．±64

答案：B

解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B.

4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________.

25

解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.

5．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项．

解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，

因为a2－a5＝42，所以q≠1，

由已知得，所以

因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，所以由②除以①，得q(1－q)＝.

所以q＝.所以a1＝＝96.

若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9，

所以a5与a7的等比中项为±3.(共34张PPT)

第1课时等比数列的概念及其通项公式(一)

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一等比数列的概念

文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)

符号语言若＝q(n≥2，q是常数且q≠0)，则数列{an}为等比数列

状元随笔

(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．

(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．

(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．

要点二等比数列的通项公式

若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝________(a1≠0，q≠0)．

状元随笔(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．

(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．

(3)对于等比数列{an}，若q0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．

a1qn－1

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()

(2)数列－1，1，1，－1，…是等比数列．()

(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()

(4)常数列一定为等比数列．()

×

×

×

×

2．(多选题)下列数列不是等比数列的是()

A．2，22，3×22，…

B．，…

C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…

D．0，0，0，…

答案：ACD

解析：≠，A不是等比数列；＝＝…，B是等比数列；当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不是等比数列；D显然不是等比数列．故选ACD.

3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝()

A．±2B．2

C．－2D．4

答案：B

解析：设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝()3，

∴q＝，∴a3＝＝2，故选B.

4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝__________．

－2n或(－2)n

解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.

题型探究·课堂解透

题型一等比数列的基本运算

例1在等比数列{an}中

(1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

解析：(1)因为所以

由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.

(2)方法一：由已知可得

由得q＝，从而a1＝32.

又因为an＝1，所以32×＝1，

即26－n＝20，所以n＝6.

方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，

所以q＝.

由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.

由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.

状元随笔

(1)由＝q3便可求出q，再求出a1，则an＝a1qn－1

(2)两个条件列出关于a1，q的方程组，求出a1，q后再由an＝1求n；也可以直接先由q＝入手．

方法归纳

等比数列通项公式的求法

(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．

(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．

跟踪训练1(1)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于()

A．－2B．1或－2

C．1D．1或2

答案：B

解析：a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，

即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2，故选B.

(2)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于()

A．12B．18

C．24D．36

答案：B

解析：设公比为q，

由已知得6＋6q＋6q2＝78，

即q2＋q－12＝0

解得q＝3或q＝－4(舍去)．

∴a2＝6q＝6×3＝18.故选B.

题型二等比数列与函数

例2已知是等比数列{an}图象上的两点，求数列{an}的通项公式并判断{an}的单调性．

解析：由题意知a2＝，a5＝

∴q3＝＝

∴q＝

∴an＝a2·qn－2＝＝3×

∴a1＝3

∵a1>0，00，q>1或a10，01时，等比数列{an}为递减数列；

(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；

(4)当q0这一隐含条件致错

例4若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q＝________．

4

解析：由题意知a1a2＝16，a2a3＝162，

∴q2＝＝16，

∴q＝±4.

又∵此等比数列中隐含相邻的项同号，

∴q>0，

∴q＝4.

【易错警示】

出错原因纠错心得

没考虑到此等比数列中隐含相邻的项同号，致使错填为：±4.在处理等比数列的项或公比问题时，一定要注意数列的首项及公比的正负情况，总之要养成检验意识．

[课堂十分钟]

1．观察下面几个数列，其中一定是等比数列的是()

A．数列1，2，6，18，54，…

B．数列{an}中，已知＝2，＝2

C．数列{an}中，＝n，其中n∈N＋

D．数列{an}中，＝－1，其中n∈N＋

答案：D

解析：A选项不符合等比数列的定义，故不是等比数列；B选项不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，不一定也等于2，故它不一定是等比数列；C选项不是等比数列，n不是定值；D选项是等比数列，满足等比数列的定义．故选D.

2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于()

A．－B．－2

C．2D．

答案：D

解析：由a2＝2，a5＝，

知q3＝＝＝，

∴q＝.

故选D.

3．在等比数列{an}中，如果公比为q，且q0，所以λ的取值范围为(0，1].

若选②，∵a2＋b3＝0，∴b3＝－a2＝－3，

∴q＝－1，b1＝－3，∴当n为偶数时，Tn＝0，则λ>0；

当n为奇数时，Tn＝－3，由λ|Tn|<12得λ<4.

综上得λ的取值范围为(0，4)．

若选③，由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1.

∴q＝＝3.

∴Tn＝＝，

由指数函数的性质可知Tn无最大值，

∴不存在正数λ，使得λ|Tn|<12.

[课堂十分钟]

1．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＝()

A．