高考中恒成立求参数范围问题的实用解法

高考中恒成立求参数范围问题的实用解法函数不等式恒成立求参数取值范围问题，是近年新课标高考的一类题型，这类题在高考中，常处于后两题的位置，学生解答感觉吃力，失分严重，甚是可惜但其实这类题型难度并不算大，解法有规律可循,经过适当训练完全可以拿到满分一、控制端点法若不等式f（x）20（或〈0）在xe［m,n］上恒成立，且f（x）是［m,n］上的单调函数或开口向下（或向上）的抛物线时，则可通过控制端点的函数值，组成不等式组，求出所含参数的范围即若f（x）20（或W0）在xG［m,n］上恒成立，则例1（2008年全国21题）已知函数f（x）=x3+ax2+x+l,aeR,设函数f（x）在区间（-23,-13）内是减函数，求a的取值范围分析：本题表面上没有“恒成立”字眼，但由题知，f（x）在区间（-23,-13）内是减函数，等价于上恒成立，而f'（x）=3x2+2ax+l,它是开口向上的抛物线,故由点评：本法适用于：在有限区间内，（1）单调函数恒非正（或负）问题；(2)开口向上(或下)的一元二次不等式恒小于0(或大于0)问题二、比高法对于恒成立的不等式，若能将参数分离出来，单独置于不等式一边，其余项放在另一边，形成(x)(或(x))结构，此时m可看成一个人，f(x)视为一群人，而一个人要不小于一群人，只需不小于最大者，故可由m2f(x)max(或mW'(x)分别是f(x)和g(x)的导数，若f'(x)g'(x)20在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在I上单调性一致(1)设a>0,若f(x)和g(x)在区间［T,+°°)上单调性一致，求b的取值范围中，很容易把b分离出来，故可用比高法，得点评：本法适用于：参数比较容易分离，且函数能求出最值的问题三、区间包含法形如f(x)20(或f(x)W0)在x£(a,b)内恒成立，且f(x)为单调函数的问题，可先求出f(x)单调区间(c,d),再将(a,b)作为(c,d)的子集，建立不等式，求出参数的取值范围例3(2008年陕西22题)函数f(x)=x3+ax2-a2x+l,g(x)=ax2-2x+l,aWO,若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数，求a的取值范围分析：本题等价转化为：f'(x)=3x2+2ax-a220在(a,a+2)内恒成立，而求a的范围由于f'(x)图象开口向上，故无法象例1那样采用控制端点法，而只能按对称轴的位置进行分类讨论，这样，问题的求解便陷入复杂化，所以采用区间包含法当a>0时,f(x)增区间为(a/3,+8),g(x)增区间为(1/a,+8)因为(a,a+2)为它们的子集，所以a》a/3且a21/a,得a21；当aa+2Wa3且a+2Wla,得aW-3故a的取值范围是(-8,-3]U[1,+8)点评：本法适用于能求出单调区间的函数单调性问题四、函数最值法形如f(x)20(或f(x)20)在x£D内恒成立问题，可由f(x)min20(或f(x)max^O),求出参数的取值范围本法与比高法的不同之处是：比高法要先分离参数再求最值，而本法只需求最值，无需分离参数例4(2010年全国新课标21题)函数f(x)=x(ex-1)-ax2,若x20时，f(x)20,求a的取值范围分析：从题设看，似乎可用比高法因为x20,所以x(ex-1)-ax220exT-ax20当x>0时，g(x)min,比高法受挫其次，本题恒成立的区间不是有限区间，所以也无法用控制端点法另外，因本题无法求出单调区间，故不能采用区间包含法，至此，有山重水复疑无路之感前面比高法之所以失败,是因为在分离参数时，将整式原函数变为了分式函数，而分式函数难求最值所致如果不分离参数，而直接求整式函数的最值，则本题便易于破解，这正是函数最值法的魅力因为x20,所以x(ex-1)-ax220exT-ax20设五、判别式法对于a>0(或a例5p：f(x)=x3+2x2+mx+l在R内递增，q：m28xx2+4对任意x>0恒成立，则p是0的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件分析：对于p,f'(x)=3x2+4x+m20,在R上恒成立，符合判别式法使用的条件，则通过AW0,得m243对于q,显然用比高法，因为8xx2+4点评：对于aWO,f(x)=ax2+bx+c2O(WO)在R上恒成立问题可用此法六、综合法有些恒成立不等问题，情况复杂，无法只用一种方法解决，此时应综合运用上述各种方法，以及分类讨论法，判别式法等共同加以解决，方能奏效例6(20例年全国卷一21题)函数f(x)=3ax4-2(3a+l)x2+4x,若f(x)在(-1,1)是增函数，求a的取值范围分析：依题意f'(x)20在(-1,1)内恒成立f'(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-l),因为x所以f'(x)203ax2+3ax-lW0设g(x)=3ax2+3ax-l,因为a值不定，故采用分类讨论法当a=0时，TWO成立当a>0时，用控制端点法，由x=-12e(-1,1),所以可用判别式法,则△=9a2+12aW0,得-43综上得a的取值范围是[-43,16]点评：因例6导函数复杂，故分别运用了分类讨论法、控制端点法、判别式法进行作答本法适用于：导函数对应的类型有多种情况,每种