信号与系统拉普拉斯变换课件

2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里叶变换的应用受到限制。3、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用其他方法确定。在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题----即拉普拉斯变换。应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是建立在线性时不变系统具有叠加性和齐次性的基础上的，只是信号分解的基本单元函数不同。因此这两种变换，无论在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变换的一种特殊情况。2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里3、它只能求1在频域分析中，以为基本信号，在复频域分析中，以为基本信号，复数其中因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。由于当本章共四节：拉普拉斯变换；拉普拉斯变换的性质；拉普拉斯逆变换；复频域分析；在频域分析中，以为基本信号，在复频域分析中，以为基本信号，2一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法，引出了拉普拉斯变换。如：一个指数增长的信号显然不满足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。5．1拉普拉斯变换对任意信号乘以一个衰减因子,适当选取的值使当时,信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换那么，能不能将这些信号乘上一3例如不满足绝对可积的条件。只要满足绝对可积的条件。又如也不满足绝对可积的条件。只要满足绝对可积的条件。例如不满足绝对可积的条件。只要满足绝对可积的条件。又如也不满4上述积分结果是的函数，令其为即：假设满足绝对可积条件，则由傅立叶逆变换得：ℱ收敛上述积分结果是的函数，令其为5令，为实数，则于是上面两个式子变为： 式称为双边拉普拉斯变换对；称为的双边拉氏变换（或象函数）；称为的双边拉氏逆变换（或原函数）。令，为实数，则6二、收敛域如前所述，选择适当的值才可能使满足绝对可积,才可使(1)式积分收敛，信号的双边拉普拉斯变换存在。通常把满足绝对可积的值的范围称为收敛域。ℱ收敛二、收敛域如前所述，选择适当的值才可能使7我们先来研究两种信号：（1）因果信号（2）反因果信号ℱ收敛我们先来研究两种信号：（1）因果信号（2）反因果信号ℱ收敛8例5.1-1设因果信号求其拉氏变换。解：收敛域例5.1-1设因果信号求其拉氏变换。解：收敛域9可见对于因果信号，仅当时，其拉氏变换才存在。其收敛域为。在以为横轴，为纵轴的平面（复平面），是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或象函数的收敛域。如下图所示。因果函数的收敛域S平面收敛边界可见对于因果信号，仅当10例5.1-2设反因果信号为实数，求其双边拉氏变换。解：收敛域例5.1-2设反因果信号为实数，求其双边拉氏变换。11可见对于反因果信号，仅当时，其拉氏变换才存在。其收敛域为。如图所示。反因果函数的收敛域S平面可见对于反因果信号，仅当12如果一个双边函数其双边拉氏变换为如果，当然存在共同的收敛域，收敛域是带状区域;如果则没有共同的收敛域，不存在。双边函数的收敛域如果一个双边函数其双边拉氏变换为如果13因果函数的收敛域反因果函数的收敛域双边函数的收敛域因果函数的收敛域反因果函数的收敛域双边函数14当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏变换同时存在，将代入即可得其傅氏变换。双边拉氏变换便于分析双边信号,但其收敛条件较为苛刻,这也限制了它的应用单边拉氏变换当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏15实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原点，这样，时，从而拉氏变换可写成单边拉普拉斯变换本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变换简称为拉普拉斯变换或拉氏变换。这里0是指三、（单边）拉普拉斯变换实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原单边拉普拉斯变换16的拉氏变换简记为:逆变换简记为:其变换与逆变换也简记为:1、拉普拉斯变换的符号表示的拉氏变换简记为:逆变换简记为:17为了使存在，积分式必须收敛。对此有如下定理：若因果函数满足：（2）存在某个有(1)在有限区间内可积。那么对于，拉氏积分收敛。2．收敛域（单边拉氏变换存在条件）我们称为指数阶的。其中为了使存在18(1)在有限区间内可积。条件1表明，可以包含有限个间断点，只要求它在有限区间可积。（2）存在某个有满足条件2，且有界，其拉氏变换存在满足条件2，但无界，其拉氏变换不存在说明：(1)在有限区间内19(1)在有限区间内可积。条件2表明，可以是随t的增大而增大的，只要它比某些指数函数增长的慢即可。（2）存在某个有满足条件1，但不满足条件2，其拉氏变换不存在说明：满足条件1，且选，有其拉氏变换存在(1)在有限区间内20再例如：

增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。而再例如：增长比任何21定理表明，满足条件1和2的因果函数存在拉氏变换，其收敛域为以右，即的半平面，而且积分是一致收敛的(1)在有限区间内可积。（2）存在某个有说明：定理表明，满足条件1和2的因果函数存在拉氏变换，22另外，要注意还有一类信号：时限信号——收敛域时限信号的收敛域为整个平面。即时限信号对于任何都有另外，要注意还有一类信号：时限信号——收敛域时限信号的收敛域23例5.1-3求的象函数。解：这个信号显然是可积的，且对于任何都有所以收敛域是整个S平面。3．常用信号的拉氏变换

例5.1-3求的象函数。解：这个信号显然是可积的，且24例5.1-4求、的象函数。解：，均为时限信号，所以收敛域为整个平面。例5.1-4求、25例5.1-5求复指数函数的象函数。式中为复常数

解：例5.1-5求复指数函数26特例：特例：27

28**.收敛域简单记忆法：其中为所有极点的实部的最大值。的收敛域为：**.由于单边拉氏变换的积分区间是，所以，与的拉氏变换相同。为简便，时间函数中的也常略去不写。**.收敛域简单记忆法：其中为291.在频域分析中，以为基本信号，在复频域分析中，以为基本信号，复数其中因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。由于当拉氏变换与傅里叶变换比较:1.在频域分析中，以为基本信号，在复频域分析中，以为基本信302.拉氏