高一数学人教2023必修一开学考3含解析

第第页高一数学人教（2023）必修一开学考3（含解析）2023-2024学年高一上学期入学分班考数学试卷

一、单选题

1．如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数的平方是（）.

A．2B．5C．D．

【答案】C

【解析】先求AC的长，然后确定点M对应的实数，最后求得结果.

【详解】因为分别对应1、2，

所以，因为，

所以在中，，

所以，

所以点对应的点为，，

故选：C.

【点睛】本题考查了实数的运算，属于基础题.

2．若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】依题意设,再根据多项式相等得到方程组，解得即可.

【详解】解：设，

所以，

所以，解得，

故选：D.

3．已知为实常数，则下列结论正确的是（）

A．关于的方程的解是B．关于的方程的解是

C．关于的方程的解是D．关于的方程的解是

【答案】D

【分析】对于选项ABC，特殊值代入即可判断，对于选项D，，即可判断.

【详解】因为为实常数，

对于选项A：当时，为一切实数，故A不正确；

对于选项B：当时，为一切实数，故B不正确；

对于选项C：当时，为一切实数，当为负数时，，故C不正确；

对于选项D：因为，所以，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了带绝对值的等式的解法.属于较易题.

4．如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】根据参数对于二次函数与一次函数图象的影响，逐个选项检验，可得答案.

【详解】对于A，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，

直线的图象应该是斜向上，且与轴相交于负半轴，故A错误；

对于B，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，

直线的图象应该是斜向上，且与轴相交于负半轴，故B正确；

对于C，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，

故C错误；

对于D，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，

故D错误；

故选：B.

5．3月25日，重庆启动“晒文化·晒风景”大型文旅推介活动(简称“双晒”活动).截至27日24时，“双晒”活动点赞量已超过在市民、网友以及文旅界中引发强烈反响.数据用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据科学记数法的标准结构判断即可.

【详解】因为科学记数法所乘的系数大于等于1且小于10.故.

故选：B

【点睛】本题主要考查了科学记数法的标准形式,属于基础题.

6．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】利用二次根式和绝对值的性质化简即可.

【详解】由数轴可知，，

，，，

.

故选：A

7．一元二次方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】A

【分析】解一元二次方程求得正确答案.

【详解】，

解得或.

故选：A

8．我国古代数学家赵爽（公元3世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案.

【详解】方程，即的拼图，如图所示：

中间小正方形的边长为，其面积为25,

大正方形的面积：，其边长为7.

因此，D选项所表示的图形符合题意,

故选：D.

9．（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】直接算出特殊角的三角函数值即可得到答案

【详解】解：，

故选：B

10．正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，以下结论错误的是（）

A．点A、B关于原点对称B．k的值可以为

C．若点，则的解集是或D．当k的值是1时，

【答案】B

【分析】根据函数图象的对称性判断A，由图象交点在一、三象限确定图象经过一、三象限判断B，根据所给交点分析不等式的解判断C，求出交点坐标根据两点间距离公式判断D.

【详解】因为正比例函数与反比例函数的图象关于原点对称，所以两图象的交点A、B关于原点对称，故A正确；

∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，反比例函数图象在

一、三象限，正比例函数经过一、三象限，，因此不能为，故B错误；

，点A、B关于原点对称，，当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时或，故C正确；

当时，，联立，解得或，，故D正确.

故选：B

二、填空题

11．关于x的方程的解集为非空集合，则实数k的取值范围是_______．

【答案】

【分析】对参数进行分类讨论，当方程为二次方程时，根据，即可求得参数的范围.

【详解】当时，原方程化为，

解得，

∴符合题意．

当时，由题意得，

解得，

故实数k的取值范围是且．

综上所述，实数k的取值范围是．

故答案为：.

【点睛】本题考查由形如的解集情况，求参数的取值范围，属基础题.

12．如图，矩形中，，，分别与边，，相切，点，分别在，上，，将四边形沿着翻折，使点、分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为，则线段的长为______．

【答案】或

【分析】作于，于，则，，得，则，再由，可得∽，从而得，进而可求出结果

【详解】如图，作于，于，

由题可得，平分，平分，

所以，，

因为，所以，

因为，，

所以，

又因为，

所以∽，所以，

设，则，，

所以，解得，，

经检验，或均为分式方程的解，

所以的值为或，

故答案为：或．

13．已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．

【答案】/

【分析】根据已知条件构建即，从而可求的最值.

【详解】∵①，②

两式相减得2xy=u-4即u=2xy+4，

把①两边加5xy，得（x+2y）2=4+5xy0，解得：xy，

当且仅当或时等号成立，故.

把①两边减3xy，得（x-2y）2=4-3xy0，解得：xy≤,

当且仅当或时等号成立，故.

而，故，

，，

故答案为：．

14．平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则________.

【答案】

【解析】将点代入，得，再代入

，利用非负数的性质，求出、用表示，再代入解方程即可解决问题.

【详解】将点代入得：①，

将代入得：

，所以，

将代入得：，即，

解得：或（舍）

故答案为：

【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，属于中考填空题中的压轴题.

15．在凸四边形中，，，，则长度的范围__________.

【答案】

【分析】平移CD到，延长，交于点，可得.设，根据角度关系可推得，根据相似可得出，求解即可得出答案.

【详解】

如图，平移CD到，延长，交于点，

则，

所以，且，

所以.

又，

所以.

设，

在和中，有，，

所以，

所以，即，

整理可得，解得（舍去负值），

所以，所以，，

所以.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：根据平移，得出的两个边界，然后根据已知角，得出三角形相似，进而得出关系式，即可得出答案.

三、解答题

16．证明：能被整除.

【答案】证明见解析

【分析】将化成两个数相乘即可.

【详解】

能被整除.

17．选用适当的方法分解因式

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）；（2）；

（3）.

【分析】（1）运用提公因式法，结合换元法、十字相乘法进行因式分解即可；

（2）运用提公因式法，结合换元法、十字相乘法进行因式分解即可；

（3）运用提公因式法，结合换元法、十字相乘法、公式法进行因式分解即可.

【详解】（1）原式=

=

设，则

∴原式=

=

=

=

=

（2）解：原式==

设，则

∴原式=

=

=

=

=

（3）解：原式=

=

设，则

∴原式=

=

=

=

=

【点睛】本题考查了应用提公因式法、换元法、十字相乘法进行因式分解，考查了数学运算能力.

18．求下列函数的定义域：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据函数的定义域，列出条件，即可求解函数的定义域；（2）根据函数的定义域，得出，即可求解函数的定义域.

试题解析：（1）.

（2）.

考点：函数的定义域.

【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.

19．求边长为1的正五边形的对角线长．

【答案】

【分析】设，根据相似三角形求得，从而求得.

【详解】正五边形的内角为，

∵正五边形中，，，

∴，

∵，

∴三角形ABE∽三角形DAE，

设BD＝x，则，

则：，可得：，

可得对角线．

故答案为：

20．刘在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双：神理为用，事不孤立.夫心生文辞，运裁还虑高下相须，自然成对.”在数学上也经常利用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如的对偶式是，可以用来无理式的有理化.请利用上述材料解决以下问题：

(1)已知，比较a、b、c的大小关系；

(2)求不超过的最大整数.

【答案】(1)

(2)3903

【分析】（1）根据题意将三个数化为分数形式，比较分母大小，即得答案；

（2）设，可得，从而计算的值，结合的范围，可确定的范围，即得答案.

【详解】（1）由题意可得，

，，

因为，

故.

（2）设，则，

则，

故，

因为，

故，

故不超过的最大整数为3903.

21．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点.

(1)当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形；

(2)当时，求的长；

(3)当点从点开始向左运动到点时，求点运动路径的长度．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由点为中点，可知，结合，即可得证；

（2）过点作交与点，易知，，由可知，设，则，在中利用即可列出关于的方程，解出即为答案；

（3）连接并延长交于点,连接交于点，并连接.由易证，则可得，即可求出，由题意可知点的运动轨迹为线段，再由可得，由此即可求出答案.

【详解】（1）在菱形中，，且,

因为点为中点，,

所以，，又,

所以四边形是平行四边形；

（2）如图：过点作交与点,

在菱形中，,，

所以，

所以，

所以，

因为,

所以，

所以

因为

所以

设，则

所以

在中：

所以

解得：或（舍）

所以的长为.

（3）如图，连接并延长交于点,连接交于点，并连接.

在菱形中，,，

所以、为等边三角形，

所以,

因为

所以

所以

所以

又

所以

所以

所以，，

当点从点开始向左运动到点时，点始终在直线上运动，运动轨迹为线段，

当点与点重合时，点与点重合，

当点与点重合时，点为与的交点，

所以点的运动路径的长度为线段的长度，

因为

所以

所以,又

所以

所以.

【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质等，属于难题.熟练掌握所学知识并灵活运用是解题的关键2023-2024学年高一上学期入学分班考数学试卷

一、单选题

1．如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数的平方是（）.

A．2B．5C．D．

2．若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为（）

A．B．C．D．

3．已知为实常数，则下列结论正确的是（）

A．关于的方程的解是B．关于的方程的解是

C．关于的方程的解是D．关于的方程的解是

4．如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A．B．

C．D．

5．3月25日，重庆启动“晒文化·晒风景”大型文旅推介活动(简称“双晒”活动).截至27日24时，“双晒”活动点赞量已超过在市民、网友以及文旅界中引发强烈反响.数据用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

6．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）

A．B．C．D．

7．一元二次方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

8．我国古代数学家赵爽（公元3世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（）

A．B．C．D．

9．（）

A．B．C．D．

10．正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，以下结论错误的是（）

A．点A、B关于原点对称B．k的值可以为

C．若点，则的解集是或D．当k的值是1时，

二、填空