【解析】2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 解直角三角形 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

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2023-2024学年初中数学九年级上册25.3解直角三角形同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023·西山模拟）以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（）

A．米B．米C．米D．米

【答案】C

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：由题意得，

∵米，

∴PA=米，

故答案为：C.

【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。

2．（2023·富阳模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，

在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，

∴，

设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，

∴.

故答案为：B.

【分析】先根据正弦函数的定义得，设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.

3．（2023·鹿城模拟）如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，A，C两点的距离为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】菱形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴，且，，

则在中，，

∴，

故答案为：C.

【分析】连接AC交BD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函数定义得可求出AC的长.

4．（2023·文成模拟）一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于（）.

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.

∵，

∴.

∵，，

∴，AB=2BD.

在中，，即，

∴，

∴.

故答案为：B.

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由邻补角定义求出∠ACB的度数，根据等腰三角形的三线合一得∠2的度数及AB=2BD，在Rt△BCD中，利用∠2的余弦函数的定义可求出BD的长，从而即可求出AB的长.

5．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（）

A．2B．3C．D．

【答案】D

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：在中，，，

∴，

∴可设，则，

∴，

∴，

故答案为：D.

【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.

6．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，

∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，

∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，

又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，

∴四边形OABF与OFCD都是矩形，

∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，

∴∠ABO=∠FOB，

由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，

∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，

∴，即，

解得AB=2，

∴OF=CD=2，

在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，

∴FC1=OC1-OF=，

设CE=C1E=x，则EF=4-x，

在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，

解得x=，

∴EF=，

∵点E在第三象限，

∴点E的坐标为.

故答案为：D.

【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.

7．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，∠ABC=90°，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠BAO=60°，

∴，

∴.

故答案为：D.

【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.

8．（2023·扬州）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（）

A．1B．2C．6D．8

【答案】C

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：作△ABC的高AD，CE，

∵△ABC是锐角三角形，

∴AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，

∵∠B=60°，AB=4，

∴BD=AB·cos∠B=4×cos60°=4×=2，

∴BC＞2，

在Rt△BCE中，

，

∴2＜BC＜8，

∴BC的长可以是6.

故答案为：C

【分析】作△ABC的高AD，CE，利用已知△ABC是锐角三角形，可得到AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，利用解直角三角形求出BD的长，可得到BC＞2，再利用解直角三角形可得到BC＜8，即可得到BC的取值范围，观察各选项可得答案.

二、填空题

9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为.

【答案】

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：，

，

故答案为：.

【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.

10．（2023·明水模拟）在中，，，，为中点，为边上一动点，当构成的四边形有一组邻边相等时，则的长可以是．

【答案】2或3或（其中一个即可）

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，

∴AB=2BC，

∴∠A=30°，

∵点D是AC的中点，

∴AD=CD=；

当构成的四边形有一组邻边相等时，

当BC=BE=2时，

∴AE=AB-BE=4-2=2；

当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，

∴CD=DE=AD=，

∴AF=EF=AE，

在Rt△ADF中，，

解之：

∴AE=2AF=3；

当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，

∴BF=AB-AF=，

设EF=x，则，

在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2即，

解之：

∴，

∴AE的长可以为2或3或

故答案为：2或3或

【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用解直角三角形可得到∠A=30°，同时可求出AD的长；再分情况讨论：当BC=BE=2时，根据AE=AB-BE，代入计算求出AE的长；当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到AD、AF的长，根据AE=2AF，可求出AE的长；当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到BF的长，设EF=x，可表示出BE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的长，即可求解.

11．（2023·济宁）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则．

【答案】

【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CB于点H，如图所示：

∵△ABC为等边三角形，且边长为6，

∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，

∴∠HAB=30°，

∴∠HAD+∠DAB=30°，

∵，

∴∠CAE+∠DAB=30°，

∴∠CAE=∠DAH，

∴

∵BH=3，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：

【分析】过点A作AH⊥CB于点H，先根据等边三角形的性质即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，进而根据题意即可得到∠HAB=30°，从而证明∠CAE=∠DAH，再运用解直角三角形的知识求出DH即可求解。

12．（2023·武汉）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm

（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）

【答案】2.7

【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，

∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，

∴四边形BDEC是矩形，

∴BD=EC，

在Rt△BOD中，∠BOD=45°，

由题意可知CE=BD=2，

在Rt△OCE中，∠COE=37°，

即，

解之：OE=2.7，

∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.

故答案为：2.7

【分析】过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，易证四边形BDEC是矩形，利用矩形的性质可得到BD=EC；利用已知可得到CE的长，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长即可.

13．（2023·石家庄月考）如图，在等腰直角三角形中，，，于点，中线与相交于点，则

（1）的值为；

（2）．

【答案】（1）

（2）

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点E作EM//AB交OC于点M，

∵中线AE与CO相交于点F，

∴

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OA=OB，

∵EM//AB，

∴∠B=∠MEC，∠BOC=∠EMC，

∴△OCE△CBO，

∴，

同理可得：，

∵OA=OB，

∴，

故答案为：.

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，

∴OC是△ABC斜边AB上的中线，

∴OA=OC，

∵AE是△ABC的中线，

∴点F是△ABC的重心，

∴，

∴tan∠OAF=，

故答案为：.

【分析】（1）根据题意先求出，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；

（2）根据题意先求出OC是△ABC斜边AB上的中线，再求出点F是△ABC的重心，最后利用锐角三角函数计算求解即可。

三、解答题

14．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离．．．．

【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）

请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．

【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，

∵，，，

∴，

∴四边形是矩形，，

在中，，

∴．

【知识点】矩形的性质；解直角三角形

【解析】【分析】先根据题意即可得到，进而得到四边形是矩形，，，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。

15．（2023八下·东丽期中）在中，，，，求的长．

【答案】解：过点作，

，

，

，

，

，

，

，

．

【知识点】解直角三角形

【解析】【分析】过点作，易得△BDC为等腰直角三角形，可得BD=BC=4，根据tanA=可求出AD的长，利用AB=AD+BD即可求解.

四、作图题

16．（2023·广东）如图，在中，．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)

（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．

【答案】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：

（2）∵，，是边上的高，

∴，即，

∴．

又∵，

∴，

即的长为．

【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；作图-垂线

【解析】【分析】（1）利用过一点作已知直线的垂线的方法，利用尺规作图作出AB边上的高.

（2）利用解直角三角形求出AE的长，根据BE=AB-AE，代入计算求出BE的长.

五、综合题

17．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）当时，求的长．

【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，

∵矩形的对角线与相交于点O，

∴，

∵直线是线段的垂直平分线，

∴，，

∴，即是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴四边形是菱形；

（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，

∴，，

由（1）得四边形是菱形，

∴，

在中，，

∴，

∴．

【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形

【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：先根据矩形的性质即可得到，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，即是等边三角形，从而根据等边三角形的性质即可得到，，再证明是等边三角形即可得到，最后运用菱形的判定即可求解；

（2）先根据垂直平分线的性质结合题意即可得到，，进而根据菱形的性质得到，再运用解直角三角形的知识即可得到FG，进而根据即可求解。

18．（2023·日照）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）证明：如图所示，连接与交于O，

∵四边形是平行四边形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴平行四边形是菱形；

（2）解：∵四边形是菱形，

∴，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴（负值舍去），

∴，

∴，

∴．

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【分析】（1）连接与交于O，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到，进而根据菱形的判定即可求解；

（2）先根据菱形的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到，再运用勾股定理即可求出OA，进而即可求出AC和BD，从而根据平行四边形的面积公式即可求解。

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2023-2024学年初中数学九年级上册25.3解直角三角形同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023·西山模拟）以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（）

A．米B．米C．米D．米

2．（2023·富阳模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（）

A．B．C．D．

3．（2023·鹿城模拟）如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，A，C两点的距离为（）

A．B．C．D．

4．（2023·文成模拟）一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于（）.

A．B．C．D．

5．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（）

A．2B．3C．D．

6．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（）

A．B．C．D．

7．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（）

A．B．C．D．

8．（2023·扬州）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（）

A．1B．2C．6D．8

二、填空题

9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为.

10．（2023·明水模拟）在中，，，，为中点，为边上一动点，当构成的四边形有一组邻边相等时，则的长可以是．

11．（2023·济宁）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则．

12．（2023·武汉）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm

（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）

13．（2023·石家庄月考）如图，在等腰直角三角形中，，，于点，中线与相交于点，则

（1）的值为；

（2）．

三、解答题

14．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离．．．．

【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）

请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．

15．（2023八下·东丽期中）在中，，，，求的长．

四、作图题

16．（2023·广东）如图，在中，．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)

（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．

五、综合题

17．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）当时，求的长．

18．（2023·日照）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：由题意得，

∵米，

∴PA=米，

故答案为：C.

【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。

2．【答案】B

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，

在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，

∴，

设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，

∴.

故答案为：B.

【分析】先根据正弦函数的定义得，设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.

3．【答案】C

【知识点】菱形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴，且，，

则在中，，

∴，

故答案为：C.

【分析】连接AC交BD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函数定义得可求出AC的长.

4．【答案】B

【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.

∵，

∴.

∵，，

∴，AB=2BD.

在中，，即，

∴，

∴.

故答案为：B.

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由邻补角定义求出∠ACB的度数，根据等腰三角形的三线合一得∠2的度数及AB=2BD，在Rt△BCD中，利用∠2的余弦函数的定义可求出BD的长，从而即可求出AB的长.

5．【答案】D

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：在中，，，

∴，

∴可设，则，

∴，

∴，

故答案为：D.

【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.

6．【答案】D

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，

∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，

∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，

又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，

∴四边形OABF与OFCD都是矩形，

∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，

∴∠ABO=∠FOB，

由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，

∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，

∴，即，

解得AB=2，

∴OF=CD=2，

在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，

∴FC1=OC1-OF=，

设CE=C1E=x，则EF=4-x，

在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，

解得x=，

∴EF=，

∵点E在第三象限，

∴点E的坐标为.

故答案为：D.

【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.

7．【答案】D

【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，∠ABC=90°，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠BAO=60°，

∴，

∴.

故答案为：D.

【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.

8．【答案】C

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：作△ABC的高AD，CE，

∵△ABC是锐角三角形，

∴AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，

∵∠B=60°，AB=4，

∴BD=AB·cos∠B=4×cos60°=4×=2，

∴BC＞2，

在Rt△BCE中，

，

∴2＜BC＜8，

∴BC的长可以是6.

故答案为：C

【分析】作△ABC的高AD，CE，利用已知△ABC是锐角三角形，可得到AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，利用解直角三角形求出BD的长，可得到BC＞2，再利用解直角三角形可得到BC＜8，即可得到BC的取值范围，观察各选项可得答案.

9．【答案】

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：，

，

故答案为：.

【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.

10．【答案】2或3或（其中一个即可）

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，

∴AB=2BC，

∴∠A=30°，

∵点D是AC的中点，

∴AD=CD=；

当构成的四边形有一组邻边相等时，

当BC=BE=2时，

∴AE=AB-BE=4-2=2；

当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，

∴CD=DE=AD=，

∴AF=EF=AE，

在Rt△ADF中，，

解之：

∴AE=2AF=3；

当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，

∴BF=AB-AF=，

设EF=x，则，

在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2即，

解之：

∴，

∴AE的长可以为2或3或

故答案为：2或3或

【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用解直角三角形可得到∠A=30°，同时可求出AD的长；再分情况讨论：当BC=BE=2时，根据AE=AB-BE，代入计算求出AE的长；当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到AD、AF的长，根据AE=2AF，可求出AE的长；当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到BF的长，设EF=x，可表示出BE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的长，即可求解.

11．【答案】

【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CB于点H，如图所示：

∵△ABC为等边三角形，且边长为6，

∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，

∴∠HAB=30°，

∴∠HAD+∠DAB=30°，

∵，

∴∠CAE+∠DAB=30°，

∴∠CAE=∠DAH，

∴

∵BH=3，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：

【分析】过点A作AH⊥CB于点H，先根据等边三角形的性质即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，进而根据题意即可得到∠HAB=30°，从而证明∠CAE=∠DAH，再运用解直角三角形的知识求出DH即可求解。

12．【答案】2.7

【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，

∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，

∴四边形BDEC是矩形，

∴BD=EC，

在Rt△BOD中，∠BOD=45°，

由题意可知CE=BD=2，

在Rt△OCE中，∠COE=37°，

即，

解之：OE=2.7，

∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.

故答案为：2.7

【分析】过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，易证四边形BDEC是矩形，利用矩形的性质可得到BD=EC；利用已知可得到CE的长，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长即可.

13．【答案】（1）

（2）

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点E作EM//AB交OC于点M，

∵中线AE与CO相交于点F，

∴

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OA=OB，

∵EM//AB，

∴∠B=∠MEC，∠BOC=∠EMC，

∴△OCE△CBO，

∴，

同理可得：，

∵OA=OB，

∴，

故答案为：.

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，

∴OC是△ABC斜边AB上的中线，

∴OA=