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第5章不定积分5.1原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分通过对求导和微分学习，我们能够从一种函数y＝f(x)出发，去求它导数f'(x)

那么，我们能不能从一种函数导数f’(x)出发，反过来去求它是哪一种函数(原函数)导数呢?[定义]

已知f(x)是定义在某区间上一种函数，假如存在函数F(x)，使得在该区间上任何一点x处都有F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上一种原函数。1/40例1求下列函数一种原函数：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函数2x一种原函数⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函数cosx一种原函数这里为何要强调是一种原函数呢?由于一种函数原函数不是唯一。例如在上面⑴中，尚有(x2＋1)'＝2x，

(x2－1)'＝2x

因此x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C为任意常数)都是函数f(x)＝2x原函数。2/40[定理5.1]

设F(x)是函数f(x)在区间I上一种原函数，C是一种任意常数，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)

在该区间I上原函数⑵f(x)该在区间I上全体原函数能够表达为F(x)＋C证明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)原函数⑵略3/40

这说明函数f(x)假如有一种原函数F(x)，那么它就有没有穷多种原函数，它们都能够表达为F(x)＋C形式。[定义5.2]

函数f(x)全体原函数叫做函数f(x)不定积分，记作∫f(x)dx，其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量。求函数f(x)不定积分就是求它全体原函数，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C

其中C是任意常数，叫做积分常数。4/40例2求下列不定积分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5一种原函数∴⑵∵－cosx是sinx一种原函数∴5/40二、不定积分几何意义

设F(x)是函数f(x)一种原函数，则曲线y＝F(x)称为f(x)一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表达把曲线y＝F(x)上下平移所得到曲线族。因此，不定积分几何意义是指由f(x)全体积分曲线组成积分曲线族。例4求斜率为2x且通过点(1,0)曲线。解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲线为y＝x2－1。6/40三、基本积分公式由于积分运算是求导运算逆运算，因此由基本求导公式反推，可得基本积分公式⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶

⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xdx＝tanx＋C⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾7/40说明：冪函数积分成果能够这样求，先将被积函数指数加1，再把指数倒数放在前面做系数。[注意]

不能以为arcsinx＝－arccosx，他们之间关系是arcsinx＝π／2－arccosx8/40四、不定积分性质⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)

该性质表白，假如函数f(x)先求不定积分再求导，所得成果仍为f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C

该性质表白，假如函数F(x)先求导再求不定积分，所得成果与F(x)相差一种常数C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k为常数)

该性质表白，被积函数中不为零常数因子能够提到积分号前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx

该性质表白，两个函数和或差不定积分等于这两个函数不定积分和或差9/40五、基本积分公式应用例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx

＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例11求∫3xexdx10/405.2不定积分计算一、直接积分法对被积函数进行简单恒等变形后直接用不定积分性质和基本积分公式即可求出不定积分办法称为直接积分法。利用直接积分法能够求出某些简单函数不定积分。11/40

12/40一、第一换元法(凑微分法)

假如被积函数自变量与积分变量不相同，就不能用直接积分法。例如求∫cos2xdx，被积函数自变量是2x，积分变量是x。这时，我们能够设被积函数自变量为u，假如能从被积式中分离出一种因子u’(x)来，那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就能够求出不定积分。这种积分办法叫做凑微分法。13/40[解说例题]例2求∫2sin2xdx解：设u＝2x，则du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu

＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后成果中不能有u，一定要还原成x。解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx14/40

解：设u＝x2，则du＝2xdx

设u＝cosx，则du＝-sinxdx15/40

当计算纯熟后，换元过程能够省去不写。例求∫sin3xcosxdx

解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C16/40二、第二换元积分法例如，求，把其中最难处理部分换元，令则原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入这就是第二换元积分法。17/40

(1)假如被积函数具有，能够用x＝asint换元。

(2)假如被积函数具有，能够用x＝atant换元。18/40

(3)假如被积函数具有，能够用x＝asect换元。19/40下列成果能够作为公式使用：⑿∫tanxdx＝ln|secx|＋C⒀∫cotdx＝－ln|cscx|＋C⒁∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C⒂∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C⒃⒄⒅20/405.3分部积分法一、分部积分公式考查函数乘积求导法则：

[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)两边积分得

u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表达成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)这一公式称为分部积分公式。21/40二、解说例题例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex

则原式为∫u(x)·v'(x)dx形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部积分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝sin2x

于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx

＝xsin2x＋cos2x＋C22/40

有时，用分部积分法求不定积分需要连续使用几次分部积分公式才能够求出成果。例5：求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝于是23/40由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数次数能够减少一次。假如所得到积分式还需要用分部积分法解，那么，能够再用分部积分公式做下去。为了简化运算过程，下面介绍:三、分部积分法列表解法例如：求∫x2sinxdxx2sinx

求导↓+↓积分

2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx24/40

[分部积分法列表解法]例如：求∫x2sinxdxx2sinx求导↓↓积分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求导↓

２↓积分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求导↓

０↓积分+cosx

＋－

－＋＋25/40例4：求∫xlnxdxxlnx

求导↓↓积分

1?这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。把lnx放在左边用分部积分法解：

lnxx

求导↓+↓积分

-26/40[一般标准]对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，指数函数、三角函数应放在右边。有些单独一种函数不定积分也要用分部积分法解。例3：求∫lnxdxlnx1

求导↓+↓积分

-x=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C27/40例6求∫arcsinxdxarcsinx

1

求导↓+↓积分

-x例71

求导↓↓积分

x28/40例8求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx

＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移项得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C5.4有理函数积分法一、有理函数定义有理函数是指分子、分母都是多项式分式函数，形如29/40二、真分式部分分式分解设分子次数为n，分母次数为m。当n＜m时，该分式称为真分式；当n≥m时，该分式称为假分式。假分式能够写成多项式与真分式和。这里主要解说真分式部分分式分解。例 分解成部分分式解：由于