误差分析与数据处理

第2章．测量误差及数据处理

2.1测量误差基本原理2.2测量误差分类和测量成果表征2.3测量误差估计和处理2.4测量不确定度2.5测量数据处理1/1202．1测量误差基本原理

2.1.1测量误差定义及研究目标测量目标:取得被测量真值。真值:

在一定时间和空间环境条件下，被测量本身所具有真实数值(没有误差量值)A0。测量误差

:测量成果与被测量真值在数量上差异

任何测量仪器测得值都不也许完全精确地等于被测量真值。当测量误差超出一定程度时，由测量工作和测量成果所得出结论将没故意义。2/1202．1测量误差基本原理

2.1.1测量误差定义及研究目标(续)研究测量误差目标：正确结识误差性质和起源，以减小测量误差；正确处理测量数据，以得到接近真值成果；制定合理测量方案，组织科学试验，正确地选择测量办法和测量仪器，方便在条件允许情况下得到抱负成果；在设计仪器时，需要用误差理论进行分析并合适控制这些误差原因，使仪器测量精确度达成设计要求。3/1202.1.2测量误差起源（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等原因而使仪器带有误差。（2）影响误差：由于多种环境原因（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求条件不一致而引发误差。（3）理论误差和办法误差：由于测量原理、近似公式、测量办法不合理而造成误差。（4）人身误差：由于测量人员感官辨别能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断犯错或数据读取疏失等而引发误差。（5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化而使得测量值不精确，如引发动态误差等。4/1202.1.3测量误差表达办法

测量误差有绝对误差和相对误差两种表达办法。1.绝对误差（1）定义：由测量所得到被测量值与其真值之差，称为绝对误差

实际应用中常用实际值A（高一级以上测量仪器或计量器具测量所得之值）来替代真值。绝对误差：有大小，又有符号和量纲P13例15/1202.1.3测量误差表达办法（续）（2）修正值与绝对误差绝对值大小相等，但符号相反量值，称为修正值测量仪器修正值能够通过上一级标准检定给出，修正值能够是数值表格、曲线或函数体现式等形式。被测量实际值P13例26/1202.1.3测量误差表达办法（续）2.相对误差

一种量精确程度，不但与它绝对误差大小，并且与这个量本身大小有关。（1）相对误差、实际相对误差、示值相对误差相对误差：绝对误差与被测量真值之比相对误差是两个有相同量纲量比值，只有大小和符号，没有单位。测量足球场长度和重庆到上海距离，若绝对误差都为1米，测量精确程度是否相同？7/1202.1.3测量误差表达办法（续）实际相对误差：用实际值A替代真值A0

示值相对误差：用测量值X替代实际值A8/1202.1.3测量误差表达办法（续）（2）满度相对误差（引用相对误差）用测量仪器在一种量程范围内出现最大绝对误差与测量范围上限值或量程满度值之比来表达相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）

仪表各量程内绝对误差最大值9/1202.1.3测量误差表达办法（续）电工仪表就是按引用相对误差之值进行分级。仪表在工作条件下不应超过最大引用相对误差我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表最大引用相对误差不超过S%测量点最大相对误差在使用这类仪表测量时，应选择适当量程，使示值尽也许接近于满度值，指针最好能偏转在大于满度值2/3以上区域。

10/1202.1.3测量误差表达办法（续）[例2]某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为0～400mA和1.5级量程为0～100mA两个电流表，问用哪一种电流表测量较好？用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时最大相对误差为解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，最大相对误差为11/1202.1.3测量误差表达办法（续）（3）分贝误差——相对误差对数表达分贝误差是用对数形式（分贝数）表达一种相对误差，单位为分贝（dB）。电压增益测得值为误差为用对数表达为增益测得值分贝值分贝误差12/1202.1.3测量误差表达办法（续）13/1202.2测量误差分类和测量成果表征

2.2.1测量误差分类根据测量误差性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。1.随机误差定义:

在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同条件下），数次反复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差绝对值和符号都以不可预知方式变化误差，称为随机误差或偶尔误差。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不有关大量原因共同造成。这些原因主要是噪声干扰、电磁场微变、零件摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官无规律变化等。14/1202.2.1测量误差分类（续）例：对一不变电压在相同情况下，数次测量得到1.235V，1.234V，1.237V，1.236V，1.235V，1.237V单次测量随机误差没有规律，但数次测量总体却服从统计规律。可通过数理统计办法来处理,即求算术平均值随机误差定量定义：

测量成果与在反复性条件下，对同一被测量进行无限数次测量所得成果平均值之差15/1202.2.1测量误差分类（续）2.系统误差定义：在同一测量条件下，数次测量反复同一量时，测量误差绝对值和符号都保持不变，或在测量条件变化时按一定规律变化误差，称为系统误差。例如仪器刻度误差和零位误差，或值随温度变化误差。产生主要原因是仪器制造、安装或使用办法不正确，环境原因（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良读数习惯等。系统误差表白了一种测量成果偏离真值或实际值程度。系差越小，测量就越精确。系统误差定量定义是：在反复条件下，对同一被测量进行无限数次测量所得成果平均值与被测量真值之差。即16/1202.2.1测量误差分类（续）3.粗大误差：

粗大误差是一种显然与实际值不符误差。产生粗差原因有：①测量操作疏忽和失误如测错、读错、记错以及试验条件未达成预定要求而匆忙试验等。②测量办法不当或错误如用一般万用表电压档直接测高内阻电源开路电压③测量环境条件突然变化如电源电压突然增高或减少，雷电干扰、机械冲击等引发测量仪器示值剧烈变化等。具有粗大误差测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。17/1202.2.1测量误差分类（续）4.系差和随差体现式

在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各次测得值绝对误差等于系统误差和随机误差代数和。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同步存在。系差和随差之间在一定条件下是能够互相转化18/1202.2.2测量成果表征

精确度表达系统误差大小。系统误差越小，则精确度越高，即测量值与实际值符合程度越高。精密度表达随机误差影响。精密度越高，表达随机误差越小。随机原因使测量值展现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。精确度用来反应系统误差和随机误差综合影响。精确度越高，表达精确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。19/1202.2.2测量成果表征

射击误差示意图精密度高精确度低精确度高精密度低精确度高20/1202.2.2测量成果表征（续）测量值

是粗大误差21/1202.3测量误差估计和处理2.3.1随机误差统计特性及减少办法在测量中，随机误差是不可避免。随机误差是由大量微小没有确定规律原因引发，例如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）微小波动，电磁场干扰，大地轻微振动等。数次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计办法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量成果影响。22/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）（1）随机变量数字特性①

数学盼望:反应其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：

X为连续型随机变量：

1.随机误差分布规律23/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

②方差和标准偏差方差是用来描述随机变量与其数学盼望分散程度。设随机变量X数学盼望为E(X)，则X方差定义为：

D(X)=E(X－E(X))2

标准偏差定义为：

标准偏差同样描述随机变量与其数学盼望分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。24/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）测量中随机误差一般是多种互相独立原因造成许多微小误差总和。中心极限定理：假设被研究随机变量能够表达为大量独立随机变量和，其中每一种随机变量对于总和只起微小作用，则可以为这个随机变量服从正态分布。为何测量数据和随机误差大多接近正态分布？(2)测量误差正态分布25/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）正态分布概率密度函数和统计特性随机误差概率密度函数为：测量数据X概率密度函数为：

随机误差数学盼望和方差为：同样测量数据数学盼望E(X)＝，方差D(X)＝26/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）正态分布时概率密度曲线

随机误差和测量数据分布形状相同，由于它们标准偏差相同，只是横坐标相差随机误差具有：①对称性②单峰性③有界性④抵偿性

27/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）标准偏差意义标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度特性数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。28/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

（3）测量误差非正态分布常见非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。均匀分布：仪器中刻度盘回差、最小辨别力引发误差等；“四舍五入”截尾误差；数字仪表量化误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。

概率密度:均值:当时,标准偏差:

当

时，29/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

2.

有限次测量数学盼望和标准偏差估计值

求被测量数字特性，理论上需无穷数次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？用事件发生频度替代事件发生概率，当则令n个可相同测试数据xi(i=1.2…,n)

次数都计为1,当时，则（1）有限次测量数学盼望估计值——算术平均值被测量X数学盼望，就是当测量次数足够多时，各次测量值算术平均值30/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）要求使用算术平均值为数学盼望估计值，并作为最后测量成果。即：

算术平均值是数学盼望无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。有限次测量值算术平均值比测量值更接近真值？

31/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

（2）算术平均值标准偏差

故：算术平均值标准偏差比总体或单次测量值标准偏差小倍。*(随机误差抵偿性)

32/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

（3）有限次测量数据标准偏差估计值

残差：试验标准偏差（标准偏差估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差估计值：33/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

【例2.3.1】用温度计反复测量某个不变温度，得11个测量值序列（见下表）。求测量值平均值及其标准偏差。解：①平均值

②用残差公式计算各测量值残差列于上表中③试验标准偏差④标准偏差34/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续3.

测量成果置信问题（1）置信系数与置信区间：

置信区间内包括真值概率称为置信概率。

置信限：

k——置信系数（或置信因子）置信概率是图中阴影部分面积35/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

（2）正态分布置信概率

当分布和k值确定之后，则置信概率可定

对于正态分布,当k=3时置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997区间越宽，置信概率越大36/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

（3）t分布置信限

t分布与测量次数有关。当n>20后来，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布极限分布。当n很小时，t分布中心值比较小，分散度较大，即对于相同概率，t分布比正态分布有更大置信区间。(pp41)给定置信概率和测量次数n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-137/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）置信因子kt38/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）

（4）非正态分布置信因子

由于常见非正态分布都是有限，设其置信限为误差极限，即误差置信区间为置信概率为100％（P=1)反正弦均匀三角分布例：均匀分布

有故:39/1202.3.1随机误差统计特性及减少办法(续）40/1202.3.2系统误差判断及消除办法（续）

1.系统误差特性：

在同一条件下，数次测量同一量值时，误差绝对值和符号保持不变，或者在条件变化时，误差按一定规律变化。

数次测量求平均不能减少系差。41/1202.3.2系统误差判断及消除办法（续）

2.系统误差发觉办法

（1）不变系统误差：校准、修正和试验比对。（2）变化系统误差①

残差观测法，适用于系统误差比随机误差大情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观测各数据残差值大小和符号变化。存在线性变化系统误差无显著系统误差42/1202.3.2系统误差判断及消除办法（续）②马利科夫判据：若有线性系统误差，Δ

值应显著异于零()

当n为偶数时，

当n为奇数时，

③阿贝－赫梅特判据：检查周期性系差存在。43/1202.3.2系统误差判断及消除办法（续）

3.

系统误差削弱或消除办法

（1）从产生系统误差本源上采取措施减小系统误差①

要从测量原理和测量办法竭力做到正确、严格。②

测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。③注意周围环境对测量影响，尤其是温度影响较大。④

尽可能减少或消除测量人员主观原因造成系统误差。应提升测量人员业务技术水平和工作责任心，改善设备。（2）用修正办法减少系统误差

修正值＝－误差=－（测量值－真值） 实际值＝测量值＋修正值44/1202.3.2系统误差判断及消除办法（续）

（3）采取某些专门测量办法

①替代法②交换法③对称测量法④减小周期性系统误差半周期法系统误差可忽视不计准则是：

系统误差或残余系统误差代数和绝对值不超出测量成果扩展不确定度最后一位有效数字二分之一。45/1202.3.3粗大误差及其判断准则

粗大误差：在一定条件下，测量值显著地偏离实际值所形成误差。出现概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应测量值剔除。1.粗大误差产生原因以及避免与消除办法

粗大误差产生原因

①测量人员主观原因：操作失误或错误统计；②客观外界条件原因：测量条件意外变化、受较大电磁干扰，或测量仪器偶尔失效等。避免和消除粗大误差办法46/1202.3.3粗大误差及其判断准则（续）

2.

粗大误差鉴别准则

采取统计学办法，基本思想是：给定一置信概率，确定对应置信区间，凡超出置信区间误差就以为是粗大误差，并给予剔除。莱特(拉依达)检查法

格拉布斯检查法

式中，G值按反复测量次数n及置信概率Pc确定（N>20）（N<=20）47/1202.3.3粗大误差及其判断准则（续）

应注意问题①

所有检查法都是人为主观确定，至今无统一要求。当偏离正态分布和测量次数少时检查不一定可靠。②

若有多种可疑数据同步超出检查所定置信区间，应逐一剔除，重新计算，再行鉴别。若有两个相同数据超出范围时，应逐一剔除。③在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。48/120①对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；②求出算术平均值③列出残差，并验证④按贝塞尔公式计算标准偏差估计值⑤按莱特准则，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；⑥判断有没有系统误差(马利科夫、阿贝-赫梅特)。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；⑦计算算术平均值标准偏差和不确定度⑧写出最后成果体现式，即（单位）。2.3.4测量成果处理步骤

49/1202.3.4测量成果处理步骤（续）【例2.3.2】对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出包括误差在内测量成果体现式。pp4750/1202.3.4测量成果处理步骤（续）51/1202.3.4测量成果处理步骤（续）取P=95%，用t分布求置信系数52/1202.3.4测量成果处理步骤（续）

等精度测量与不等精度测量

等精度测量：即在相同地点、相同测量方法和相同测量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、干扰等），并在短时间内进行反复测量。不等精度测量：在测量条件不相同步进行测量，测量成果精密度将不相同。pp32不等精度测量处理方法：加权平均是将非等精密度测量等效为等精密度测量，从而求出非等精密度测量估计值方法。权值与标准偏差平方成反比。权值

测量成果为加权平均值

53/1202.3.4测量成果处理步骤（续）54/1202.3.5误差合成份析问题：用间接法测量电阻消耗功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中两个量，如何根据电阻、电压或电流误差来推算功率误差呢？绝对误差传递公式绝对误差传递系数55/1202.3.5误差合成份析（续）将绝对误差传递公式两边除以则得到：由于因而有：相对误差传递公式56/1202.3.5误差合成份析（续）常用函数合成误差：pp551、积函数合成误差

2、商函数合成误差

57/1202.3.5误差合成份析（续）常用函数合成误差：3、幂函数合成误差

4、和差函数合成误差

58/1202.3.5误差合成份析（续）59/120例：已知求电流通过电阻发热量Q相对误差？由有，2.3.5误差合成份析（续）60/1202.3.6系统误差合成确定性系统误差合成对于误差大小及符号均已确定系统误差可直接由误差公式进行合成。当随机误差不计时，61/1202.3.6系统误差合成（续）系统不确定度合成对于只懂得误差限，而不明确其大小和符号系统误差称为系统不确定度，用表达。相对系统不确定度用表达。绝对值合成法与方和根合成法

系统不确定度相对系统不确定度绝对值合成法62/1202.3.6系统误差合成（续）系统不确定度合成

系统不确定度相对系统不确定度方和根合成法Pp61例763/1202.3.7误差分派

问题：当制定测量方案时，已知各参数之间函数关系及对总误差要求，如何确定各参数误差允许界限？按系统误差相同标准分派误差64/1202.3.7误差分派（续）按对总误差影响相同标准分派误差65/1202.3.8微小误差准则

在误差合成中，若误差项比较多，估算起来比较啰嗦。假如各误差大小相差悬殊，并且小误差数目又不多话，则在一定条件下可将小误差忽视不计——微小误差准则。66/1202.4测量不确定度

2.4.1不确定度概念不确定度是说明测量成果也许分散程度参数。可用标准偏差表达，也可用标准偏差倍数或置信区间半宽度表达。1.术语（1）标准不确定度：用概率分布标准偏差表达不确定度①A类标准不确定度：用统计办法得到不确定度。②B类标准不确定度：用非统计办法得到不确定度67/1202.4.1不确定度概念（续）

（2）合成标准不确定度*由各不确定度分量合成标准不确定度。*由于测量成果是受若干原因联合影响。（3）扩展不确定度*合成标准不确定度倍数表达测量不确定度，即用包括因子乘以合成标准不确定度得到一种区间半宽度。

*包括因子取值决定了扩展不确定度置信水平。*一般测量成果不确定度都用扩展不确定度表达

68/1202.4.1不确定度概念（续）

2.不确定度分类

69/1202.4.1不确定度概念（续）

3.不确定度起源

①被测量定义不完善，实现被测量定义办法不抱负，被测量样本不能代表所定义被测量。②测量装置或仪器辨别力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。③测量环境不完善对测量过程影响以及测量人员技术水平等影响。④计量标准和标准物质值本身不确定度，在数据简化算法中使用常数及其他参数值不确定度，以及在测量过程中引入近似值影响。⑤在相同条件下，由随机原因所引发被测量本身不稳定性。70/1202.4.2误差与不确定度区分测量误差测量不确定度客观存在，但不能精确得到，是一种定性概念表达测量成果分散程度，可根据试验、资料等信息定量评定。误差是不以人结识程度而变化与人们对被测量和影响量及测量过程结识有关。随机误差、系统误差是两种不一样性质误差A类或B类不确定度是两种不一样评定措施，与随机误差、系统误差之间不存在简单对应关系。须进行异常数据鉴别并剔除。剔除异常数据后再评定不确定度在最后测量成果中应修正确定系统误差。在测量不确定度中不包括已确定修正值，但应考虑修正不完善引入不确定度分量。“误差传输定律”可用于间接测量时对误差进行定性分析。不确定度传输律更科学，用于定量评定测量成果合成不确定度71/1201.标准不确定度A类评定办法

在同一条件下对被测量X进行n次测量，测量值为xi(i=1,2,…,n)，(A)计算样本算术平均值，作为被测量X估计值，并把它作为测量成果。

(B)计算试验偏差式中自由度v=n－1.(C)A类不确定度2.4.3不确定度评定办法

自由度意义：自由度数值越大，说明测量不确定度越可信。72/1202.4.3不确定度评定办法（续）

2.标准不确定度B类评定办法B类办法评定主要信息起源是此前测量数据、生产厂技术证明书、仪器判定证书或校准证书等。确定测量值误差区间（α,-α），并假设被测量值概率分布，由要求置信水平估计包括因子k，则B类标准不确定度uB为

其中

a

——区间半宽度；k——置信因子，一般在2～3之间。73/120分布三角梯形均匀反正弦

k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.72置信因子0.67611.6451.96022.57632.4.3不确定度评定办法（续）表2－9正态分布时概率与置信因子关系表2－10几个非正态分布置信因子k

74/1202.4.3不确定度评定办法（续）75/1202.4.3不确定度评定办法（续）

3.合成标准不确定度计算办法（1）

协方差和有关系数概念两个随机变量X和Y，其中一种量变化造成另一种量变化，那么这两个量是有关。独立肯定不有关，但不有关不一定独立。①协方差概念协方差协方差估计值

76/1202.4.3不确定度评定办法（续）②有关系数Q概念:表达两随机变量有关程度－1≤Q≤1。有关系数估计值r(x，y)

正有关负有关完全正有关完全负有关不有关0<Q<1－1<Q<0Q=1Q=－1Q=077/120（2）输入量不有关时不确定度合成①可写出函数关系式Y＝ｆ（X1，X2，……，XN）；式中称为敏捷系数②不能写出函数关系式（3）输入量有关时,使用不确定度传输律

2.4.3不确定度评定办法（续）78/120（4）不确定度传输律公式几个简化办法

①

所有输入量都有关，且有关系数ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1时，则UC(y)为

②当被测量函数形式为Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不有关时，合成标准不确定度UC(y)为

2.4.3不确定度评定办法（续）79/1202.4.3不确定度评定办法（续）③

当被测量函数形式为且X1,X2,…,XN不有关时，相对合成标准不确定度UC(y)/Y为例:电功率P=IV则80/1202.4.3不确定度评定办法（续）81/1202.4.3不确定度评定办法（续）（5）不确定度分量忽视一切不确定度分量均奉献于合成不确定度，即只会使合成不确定度增加。忽视任何一种分量，都会造成合成不确定度变小。但由于采取是方差相加得到合成方差，当某些分量小到一定程度后，对合成不确定度事实上起不到什么作用，为简化分析与计算，则能够忽视不计。例如，忽视某些分量后，对合成不确定度影响不足十分之一，就可根据情况忽视这些分量。82/1202.4.3不确定度评定办法（续）4.扩展不确定度确实定办法扩展不确定度U由合成标准不确定度ｕC与包括因子ｋ乘积得到U＝k·uC

测量成果表达为Y＝ｙ±U

，即Y=y±kuc

y是被测量Y最佳估计值

,k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布（正态、均匀、t分布等）确定。算术平均值83/1202.4.3不确定度评定办法（续）

包括因子k选用办法有:(A)无法得到合成标准不确定度自由度，且测量值接近正态分布时，则一般取ｋ典型值为2或3。(B)根据测量值分布规律和所要求置信水平，选用ｋ值。例如，假设为均匀分布时，置信水平P＝0．95，查表得k＝1．65。P﹪k57.741951.65991.711001.73表2—11均匀分布时置信概率与置信因子k关系84/1202.4.3不确定度评定办法（续）(C)根据要求置信概率Pc和计算得到自由度veff，查t分布t值，得k

。自由度计算步骤如下：

a)求A类不确定度分量自由度

b)求B类不确定度分量自由度

c)求合成不确定度自由度85/1202.4.3不确定度评定办法（续）86/1202.4.4测量不确定度评定步骤

对测量设备进行校准或检定后，要出具校准或检定证书；对某个被测量进行测量后也要报告测量成果，并说明测量不确定度。①明确被测量定义和数学模型及测量条件，明确测量原理、办法，以及测量标准、测量设备等；②分析不确定度起源；③分别采取A类和B类评定办法，评定各不确定度分量。A类评定期要剔除异常数据；④计算合成标准不确定度；⑤计算扩展不确定度；⑥报告测量成果。Y=y±kuc87/1202.4.4测量不确定度评定步骤（续）【例2．9】用电压表直接测量一种标称值为200Ω电阻两端电压，方便确定该电阻承受功率。测量所用电压技术指标由使用说明书得知，其最大允许误差为±1％，经计量判定合格，证书指出它自由度为10。(当证书上没有有关自由度信息时，就以为自由度是无穷大。)标称值为200Ω电阻经校准，校准证书给出其校准值为199.99Ω，校准值扩展不确定度为0.02Ω（包括因子k为2）。用电压表对该电阻在同一条件下反复测量5次，测量值分别为：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。测量时温度变化对测量成果影响可忽视不计。求功率测量成果及其扩展不确定度。电压B类不确定度电阻B类不确定度电压A类不确定度88/120解：（1）数学模型

（2）计算测量成果最佳估计值①②2.4.4测量不确定度评定步骤（例2.9续）(3）测量不确定度分析本例测量不确定度主要起源为①电压表不精确；②电阻不精确；③由于多种随机原因影响所致电压测量反复性。89/1202.4.4测量不确定度评定步骤（例2.9续）·（4）标准不确定度分量评定①电压测量引入标准不确定度电压表不准引入标准不确定度分量u1­（V）按B类评定。a1=2.32V×1%=0.023V(b)电压测量反复性引入标准不确定度分量u2­（V）。按A类评定。90/1202.4.4测量不确定度评定步骤（例2.9续）(c)由此可得:电压自由度如下：②电阻不准引入标准不确定度分量u（R）由电阻校准证书得知，其校准值扩展不确定度U＝0.02Ω，且k=2，则u（R）可由B类评定得到91/1202.4.4测量不确定度评定步骤（例2.9续）（5）计算合成标准不确定度uC(P)

，其中输入量V（电压）和R（电阻）不有关①计算敏捷系数c1和c2，得②计算UC(P)，得92/1202.4.4测量不确定度评定步骤（例2.9续）（6）确定扩展不确定度U计算合成标准不确定度有效自由度veff：电压自由度＝4.3，电阻自由度可设为，则③根据P＝0.95，veff＝5，查t分布，得④扩展不确定度U0.95为（7）报告最后测量成果功率P＝（0.027±0.004）W（置信水平P＝0.95）包括因子k为2.57，有效自由度为5。93/1201.合成不确定度分派在进行测量工作前，根据测量精确度要求来选择测量方案，确定每项不确定度允许范围（1）按等作用标准分派不确定度：各个不确定度分量对合成不确定度影响相等。假设确定度互不有关，各个不确定度分量相等，有：则：（2）由于有测量值则难以满足要求，各分量敏捷系数也不一样，必须根据详细情况进行调整。对难以实现不确定项进行赔偿；2.4.5合成不确定分派及最佳测量方案选择

94/1202.4.5合成不确定分派及最佳测量方案选择（续）2.最佳测量方案选择选择目标：使测量成果不确定度为最小。（1）选择最有利函数公式应先取包括测量值数目最少函数公式来表达；则应选用不确定度较小测量值函数公式．如测量内尺寸误差比测量外尺寸误差大，应选择具有外尺寸函数公式。（2）使各个测量值对函数传递系数为零或最小。由函数公式可知，若使不确定度传递系数ci＝0或为最小，则合成不确定度可对应减小。95/1202.4.5合成不确定分派及最佳测量方案选择（续）2.最佳测量方案选择如测电阻时，最佳用欧姆表或电桥直接测电阻，而不用电压、电流表法测电阻；测功率时在测电压、电流和电阻精确度相近时，最佳选用直接测电压和电流方式通过P=UI来计算功率，而不用I、R法。

96/1202.5测量数据处理

2.5.1有效数字处理1.数字修约规则由于测量数据和测量成果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量成果表达精确唯一，计算简便，在数据处理时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。数据修约规则：（1）不大于5舍去——末位不变。（2）大于5进1——在末位增1。（3）等于5时，取偶数——当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。97/1202.5.1有效数字处理（续）

例：将下列数据舍入到小数第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确成果为0.69，错误做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”舍入处理上，采取取偶数规则，是为了在比较多数据舍入处理中，使产生正负误差概率近似相等。98/1202.5.1有效数字处理（续）2.有效数字若截取得到近似数其截取或舍入误差绝对值不超出近似数末位半个单位，则该近似数从左边第一种非零数字到最末一位数为止所有数字，称之为有效数字。例如：

3.142 四位有效数字，极限误差≤0.0005

8.700 四位有效数字，极限误差≤0.0005

8.7×103

二位有效数字，极限误差≤0.05×1030.0807 三位有效数字，极限误差≤0.005

99/1202.5.1有效数字处理（续）中间0和末尾0都是有效数字，不能随意添加。开头零不是有效数字。测量数据绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少测量数据，应采取科学计数法，即a×10n，a位数由有效数字位数所决定。测量成果（或读数）有效位数应由该测量不确定度来确定，即测量成果最末一位应与不确定度位数对齐。例如，某物理量测量成果值为63.44，且该量测量不确定度u＝0.4，测量成果表达为63.4±0.4。100/1202.5.1有效数字处理（续）3.近似运算法则

保存位数标准上取决于各数中精确度最差那一项。（1）加法运算

以小数点后位数最少为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其他各数可多取一位。例如：

（2）减法运算：当两数相差甚远时，标准同加法运算；当两数很接近时，有也许造成很大相对误差，因此，第一要尽也许避免造成相近两数相减测量办法，第二在运算中多某些有效数字。

101/1202.5.1有效数字处理（续）（3）乘除法运算 以有效数字位数最少数为准，其他参与运算数字及成果中有效数字位数与之相等。例如：

→也能够比有效数字位数最少者多保存一位有效数字。例如上面例子中517.43和4.08各保存至517和4.08，成果为35.5。（4）乘方、开方运算：运算成果比原数多保存一位有效数字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104102/1202.5.2测量数据表达办法1.列表法根据测试目标和内容，设计出合理表格。列表法简单、方便，数据易于参照比较，它对数据变化趋势不如图解法明了和直观，但列表法是图示法和经验公式法基础。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.1103/1202.5.2测量数据表达办法2.图示法图示法最大长处是形象、直观，从图形中能够很直观地看出函数变化规律，如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。作图时采取直角坐标或极座标。一般是先按成对数据（x，y）描点，再连成光滑曲线，并尽可能使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边点数尽可能相等104/1203.经验公式法经验公式法就是通过对试验数据计算，采取数理统计办法，确定它们之间数量关系，即用数学体现式表达各变量之间关系。有时又把这种经验公式称为数学模型。类型有些一元非线性回归可采取变量代换，将其转化为线性回归方程来解。2.5.2测量数据表达办法（续）一元线形回归一元非线性回归多元线性回归多元非线性回归变量个数11>1>1方次1>11>1y=a+bx

105/1202.5.3建立经验公式步骤已知测量数据列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式步骤如下：（1)将输入自变量xi,作为横坐标，输出量yi即测量值作为纵坐标，描绘在坐标纸上，并把数据点描绘成测量曲线。（2）分析描绘曲线，确定公式y=f(x)基本形式。①直线，可用一元线性回归办法确定直线方程。②某种类型曲线，则先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归办法处理。③假如测量曲线很难判断属于何种类型，这能够按曲线多项式回归处理。即：

（3）由测量数据确定拟合方程（公式）中常量。106/1202.5.3建立经验公式步骤（续）(4)检查所确定方程精确性。①用测量数据中自变量代入拟合方程计算出函数值y′②计算拟合残差③计算拟合曲线标准偏差

式中：m为拟合曲线未知数个数，n为测量数据列长度。假如标准偏差很大，说明所确定公式基本形式有错误，应建立另外形式公式重做。

107/1202.5.4一元线性回归

用一种直线方程y=a+bx来体现测量数据(xi,yi

i=1,2,…,n)之间互相关系，即求出a和b，此过程就是一元线性回归。1.端点法此办法是将测量数据中两个端点，起点和终点（即最大量程点）测量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx

，则a,b分别为108/1202.5.4一元线性回归（续）2.平均选点法此办法是将所有n个测量值(xi,yi

i=1,2,…,n)提成数目大体相同两组，前半部k个测量点为一组，其他n-k个测量点为另一组，两组测量点都有自己“点系中心”，其坐标分别为

通过两个“点系中心”直线即是拟合直线y=a+bx，其中a，b分别为：109/1202.5.4一元线性回归（续）3.最小二乘法最小二乘法基本原理是在残差平方和为最小条件下求出最佳直线。测量数据中任何一种数据yi与拟合直线上y=a+bx对应抱负值yi’之残差(i=1,2,…n为测量点数） 即求a和b偏导数，并令它们为零，即可解得a和b值。110/1202.5.4一元线性回归（续）【例2.10】对量程为10Mpa压力传感器，用活塞式压力计进行测试，输出由数字电压表读数，