第三章-矩阵的初等变换与线性方程组课件

引例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．第9讲矩阵的初等变换一

线性方程组的初等变换8/23/20231河北科大理学院引例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．第9讲解8/23/20232河北科大理学院解8/2/20232河北科大理学院用“回代”的方法求出解：8/23/20233河北科大理学院用“回代”的方法求出解：8/2/20233河北科大理学院于是解得（2）8/23/20234河北科大理学院于是解得（2）8/2/20234河北科大理学院小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）8/23/20235河北科大理学院小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．8/23/20236河北科大理学院3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．8/23/20237河北科大理学院因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二矩阵的初等变换8/23/20238河北科大理学院定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二矩阵的初等变换8

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.elementarytransformation8/23/20239河北科大理学院初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价8/23/202310河北科大理学院等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线用矩阵的初等行变换解方程组（1）：8/23/202311河北科大理学院用矩阵的初等行变换解方程组（1）：8/2/202311河北8/23/202312河北科大理学院8/2/202312河北科大理学院8/23/202313河北科大理学院8/2/202313河北科大理学院8/23/202314河北科大理学院8/2/202314河北科大理学院特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．8/23/202315河北科大理学院特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．8/23/202316河北科大理学院注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也例如，8/23/202317河北科大理学院例如，8/2/202317河北科大理学院特点：所有与矩阵

等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.8/23/202318河北科大理学院特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称(2)的充分必要条件是存在n阶可逆阵Q，AB~c(3)

的充分必要条件是存在m阶可逆阵P三初等变换的基本性质及n阶可逆阵Q,使得(1)的充分必要条件是存在m阶可逆阵P，~rAB定理1

设A与B为矩阵，使得使得推论方阵A可逆的充分必要条件是AE~r8/23/202319河北科大理学院(2)的充分必要条件是存在n阶可如果A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P使得那么，如何求出可逆矩阵P?如果对（A,E）作初等变换，那么，当A变成B是，E就变成了P，也就是可逆阵P。8/23/202320河北科大理学院如果A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P使得那么，如何

解例１四

利用初等变换求逆矩阵及相关问题8/23/202321河北科大理学院解例１四利用初等变换求逆矩阵及相关问题8/2/202328/23/202322河北科大理学院8/2/202322河北科大理学院即初等行变换8/23/202323河北科大理学院即初等行变换8/2/202323河北科大理学院例２解8/23/202324河北科大理学院例２解8/2/202324河北科大理学院8/23/202325河北科大理学院8/2/202325河北科大理学院8/23/202326河北科大理学院8/2/202326河北科大理学院列变换列变换8/23/202327河北科大理学院列变换列变换8/2/202327河北科大理学院解例38/23/202328河北科大理学院解例38/2/202328河北科大理学院8/23/202329河北科大理学院8/2/202329河北科大理学院8/23/202330河北科大理学院8/2/202330河北科大理学院四

利用初等变换求逆矩阵及相关问题例1

设求~r?

8/23/202331河北科大理学院四利用初等变换求逆矩阵及相关问题例1设~r例2

设的行最简形为F，求F,并求一个可逆阵P，使得PA=F?PA=F(行最简形),

8/23/202332河北科大理学院~r例2设注

对于矩阵方程只需转置:例3

解矩阵方程AX=B,

其中~r的解.例4

设求线性方程组AX=B，X?

8/23/202333河北科大理学院注对于矩阵方程只需转置:例3解矩阵方程AX=B,其中~一矩阵秩的定义第10讲矩阵的秩8/23/202334河北科大理学院一矩阵秩的定义第10讲矩阵的秩8/2/202334河北8/23/202335河北科大理学院8/2/202335河北科大理学院例5.1解8/23/202336河北科大理学院例5.1解8/2/202336河北科大理学院例5.2解8/23/202337河北科大理学院例5.2解8/2/202337河北科大理学院例5.3解计算A的3阶子式，8/23/202338河北科大理学院例5.3解计算A的3阶子式，8/2/202338河北科大理学另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！8/23/202339河北科大理学院另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！8/2/202339定理3

若则推论若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)例6

设A为矩阵,R(A)=2,求R(AB).二初等变换法求矩阵的秩8/23/202340河北科大理学院定理3若则推论若P、Q可逆，则R(PAQ)初等变换法:

用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例7

求矩阵的秩.例8

设已知R(A)=2，求及8/23/202341河北科大理学院初等变换法:用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵,例7求初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例7解8/23/202342河北科大理学院初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变8/23/202343河北科大理学院8/2/202343河北科大理学院8/23/202344河北科大理学院8/2/202344河北科大理学院8/23/202345河北科大理学院8/2/202345河北科大理学院由阶梯形矩阵有三个非零行可知8/23/202346河北科大理学院由阶梯形矩阵有三个非零行可知8/2/202346河北科大理学8/23/202347河北科大理学院8/2/202347河北科大理学院则这个子式便是的一个最高阶非零子式.8/23/202348河北科大理学院则这个子式便是的一个最高阶非零子式.8/2/2028/23/202349河北科大理学院8/2/202349河北科大理学院三常用的矩阵秩不等式

当时，

例9

设A为n阶矩阵，证明例10

设且则列满秩以后陆续证明8/23/202350河北科大理学院三常用的矩阵秩不等式当对于线性方程组Ax=b,(1)当时,方程组无解;(2)当时,方程组有解;时,有无限多个解.且时,有唯一解,第11讲线性方程组的解相容不相容特解通解不妨设R(A)=r.的行最简形为8/23/202351河北科大理学院对于线性方程组Ax=b,(1)当时,方程组无解重要定理定理1

如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.定理2

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定理3如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解.定理4如果齐次线性方程组

有非零解,则它的系数行列式必为零.8/23/202352河北科大理学院重要定理定理1如果线性方程组的系数行列式(1)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);一线性方程组解的判别定理定理4

n元线性方程组Ax=b(2)有惟一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n.(或：有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b))推论1Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n

推论2AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)例11证明8/23/202353河北科大理学院(1)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);一线性例12求解齐次线性方程组解二求解线性方程组

8/23/202354河北科大理学院例12求解齐次线性方程组解二求解线性方程组

8/2/即得与原方程组同解的方程组8/23/202355河北科大理学院即得与原方程组同解的方程组8/2/202355河北科大理学院由此即得8/23/202356河北科大理学院由此即得8/2/202356河北科大理学院例13求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．8/23/202357河北科大理学院例13求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，例14求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换8/23/202358河北科大理学院例14求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行故方程组有解，且有8/23/202359河北科大理学院故方程组有解，且有8/2/202359河北科大理学院所以方程组的通解为8/23/202360河北科大理学院所以方程组的通解为8/2/202360河北科大理学院例15

解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组