第5章《投影与视图》知识讲练（教师版）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册章节知识讲练知识点投影：投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2.中心投影

手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

要点诠释：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：

①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2.物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

要点诠释：

1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.

2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.要点诠释：

正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

知识点02：中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：

（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.

（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

要点诠释：

在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.

知识点03：视图

（1）视图

用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.

（2）三视图

在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

（1）位置关系

一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.

（2）大小关系

三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.

要点诠释：

三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.

要点诠释：

画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.

要点诠释：

由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.

一．选择题（共9小题，满分18分，每小题2分）1．（2分）（2023•南乐县三模）如图所示的是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，则这个几何体是（）A． B． C． D．解：观察三视图，可知这个几何体是三棱柱，故选：B．2．（2分）（2023•东港区校级三模）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，甲、乙、丙三人分别对该几何体的三视图进行了描述，其中正确的是（）甲：主视图是轴对称图形；乙：左视图是轴对称图形；丙：俯视图是中心对称图形．A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙解：如图所示：左视图是轴对称图形．故主视图不是轴对称图形，故甲说法错误；左视图是轴对称图形，故乙说法正确；俯视图是中心对称图形，故丙说法正确．所以说法正确的有乙和丙．故选：D．3．（2分）（2023•抚远市模拟）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（）A．5个 B．6个 C．5个或6个 D．6个或7个解：由俯视图易得最底层有3个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，最多有3个，那么最少有立方体3+2＝5（个），最多有3+3＝6（个）．即搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为5个或6个．故选：C．4．（2分）（2023•渠县校级模拟）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（）A．24cm B．20cm C．15cm D．5cm解：∵△ABC∽△A1B1C1，BC＝12cm，B1C1＝24cm，∴A1C1：AC＝B1C1：BC＝2：1，∵AC＝10cm，∴A1C1＝20cm，故选：B．5．（2分）（2023•龙沙区三模）如图所示是一个由若干个相同的正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（）A．5个 B．6个 C．11个 D．13个解：底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有5个小正方体组成，故选：A．6．（2分）（2023•杜集区校级模拟）如图是由若干个相同的小正方体堆砌成的几何体，则该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．解：由图可得，从上方看能看到两行，第一行有三个，第二行中间有一个，故选：D．7．（2分）（2023•平城区校级模拟）如图①是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个小正方体后，余下几何体的左视图如图②所示，则移走的小正方体是（）A．① B．② C．③ D．④解：单独移开④，从左边看得到的图形可得：故选：D．8．（2分）（2023•安徽模拟）用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数为（）A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块 C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块解：有两种可能；由主视图可得：这个几何体共有3层，由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，∴最多为3+4+1＝8个小立方块，最少为个2+4+1＝7小立方块．故选：C．9．（2分）（2022秋•通川区期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（）米．A． B． C． D．2解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴△PAF∽△PBE，∴＝，即＝，∴PN＝x，∵PN+MN＝PM，∴x+x＝1.6，解得，x＝，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）10．（2分）（2023•兴庆区校级四模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为3．解：根据三视图可知几何体是一个高为5，底面为直角三角形的三棱柱，∴几何体的体积是×××3＝3．故答案为：3．11．（2分）（2023•河口区三模）​如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为24πcm2．解：根据三视图可以判定该几何体为圆锥，底面圆的半径为3cm，母线长为8cm，∴圆锥的侧面积为2π×3×8÷2＝24π（cm2），故答案为：24π．12．（2分）（2023•金凤区校级一模）若干个棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的表面积为34．​解：由题意得，这个几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2，所以这个几何体的表面积为：（2+2+2）×2+（2+2+2）×2+5×2＝12+12+10＝34．故答案为：34．13．（2分）（2023•东城区校级模拟）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是3．解：由图1可知，∵与1相邻的面的数字有2、3、4、6，∴1的对面数字是5，∵与4相邻的面的数字有1、3、5、6，∴4的对面数字是2，∴3的对面数字是6，由图2可知：6的对面数字是x，∴x的值为3，故答案为：3．14．（2分）（2023•孝南区三模）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是12π平方米．解：观察图形可知：圆锥母线长为：＝2（米），所以该整流罩的侧面积为：π×2.4×4+π×（2.4÷2）×2＝12π（平方米）．答：该整流罩的侧面积是12π平方米．故选：B．15．（2分）（2023•宛城区二模）小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面、左面、上面三个方向看到的粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有4盒．解：由俯视图可得最底层有3盒，由正视图和左视图可得第二层有1盒，共有4盒．故答案为：4．16．（2分）（2022秋•平度市期末）某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为6π（结果保留π）解：根据三视图转换为几何体的直观图：该几何体为圆柱，底面直径为2，高为2；所以该几何体的侧面积为：πdh＝2×3π＝6π．故答案为：6π．17．（2分）（2019秋•丹东期末）如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是4个．解：在俯视图上标出该位置摆放的小立方体的个数，如图所示：因此，组成这个几何体的小正方体的个数是4个．故答案为：4．18．（2分）（2018•乐清市模拟）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xmmm，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为10．解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得x＝10，故答案为1019．（2分）（2022•鹿城区校级三模）如图1，一个可绕公共顶点A旋转的收纳柜放置在橱柜转角处，两层抽屉形状大小都相同．图2，图3为上层抽屉旋转过程中的俯视图，下层抽屉的长AD＝30cm，宽AB＝20cm，MA＝10cm，当上层抽屉旋转至边B′C′恰好经过点D时（如图2），AD′与边MN平行，此时点D′到BC的距离为40cm；当上层抽屉旋转至AD′碰到边MN时（如图3），此时点D′到BC的距离为cm．解：如图2中，过点D′作D′T⊥BM交BM的延长线于点T．∵∠TAD＝∠D′AB′＝90°，∴∠TAD′＝∠DAB′，∵∠T＝∠B′＝90°，AD′＝AD，∴△TAD′≌△B′AD（AAS），∴AT＝AB′＝20（cm），∴TB＝AT+AB＝40（cm），∴点D′到直线BC的距离为40cm．在Rt△ADB′中，DB′＝＝＝10（cm），∴△ADB′的三边比＝20：10：30＝2：：3，如图3中，过点D′作D′R⊥BM交BM的延长线于点R．由题意可知，图3中的Rt△MD′R与图2中Rt△ADB′相似，∴可以假设MR＝2k，RD′＝√5k，MD′＝3k，在Rt△ARD′中，则有302＝（k）2+（2k+10）2，解得k＝或（舍去），∴MR＝2K＝，∴RB＝RM+AM+AB＝+10+20＝（cm）．故答案为：40，．三．解答题（共8小题，满分62分）20．（6分）（2022秋•吉州区期末）解下列方程：（1）（x+2）2﹣1＝0；（2）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，画出图②“堑堵”的俯视图．解：（1）（x+2）2﹣1＝0（x+2）2＝1，x+2＝±1，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3；（2）图②“堑堵”的俯视图，如图所示，21．（8分）（2022秋•市北区期末）如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN．（1）在图中画出路灯的位置并用点P表示；（2）在图中画出表示大树的线段MQ．解：（1）点P位置如图；（2）线段MQ如图．22．（8分）（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为32：27；（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）：①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×（32﹣12）＝8π；环的“肉”的面积为π×（322）＝6.75π，∴它们的面积之比为8π：6.75π＝32：27；故答案为32：27；（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可，由作图可知满足比例关系为1：2：1的关系，符合“肉好若一”；②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：23．（8分）（2022秋•信都区校级期末）如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．（1）这个几何体的名称是圆锥；（2）根据图上的数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体点C出发，绕侧面一周最后回到点C处，请求出它的最短路线长．解：（1）正视图、左视图是三角形，则有一个公共顶点，俯视图是圆形，则地面是圆，∴这个几何体的名称是圆锥，故答案为：圆锥．（2）如图所示，圆锥和圆锥侧面展开图，∴圆锥底面面积为：π×22＝4πcm2，圆锥底面周长为：2×π×2＝4πcm，圆锥侧面展开扇形面积为：，几何体的表面积为：4π+16π＝20πcm2．（3）如图所示，扇形展开图中CC'的长度是蚂蚁爬行的最短路线，∵CC'弧的长度为（cm），∴∠CAC'＝90°，∴cm，∴蚂蚁的最短路线是．24．（8分）（2022秋•渠县期末）【问题情境】小圣所在的综合实践小组准备制作―些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．【操作探究】（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？①③④（填序号）．（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为2dm的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．①请计算出这个几何体的体积；②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加3个正方体纸盒．解：（1）①③④能围成无盖的正方体．故答案为：①③④；（2）①这个几何体的体积＝2×2×2×6＝48；②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加3个正方体．故答案为：3．25．（8分）（2022秋•沙依巴克区校级期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图