专题16等腰三角形的性质

专题16等腰三角形的性质例题与求解【例1】如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,贝INA=.（五城市联赛试题）解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式.【例2】如图，在△ABC中，已知/BAC=900,AB=AC,D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F求证：∠ADB=∠CDF.（安徽省竞赛试题）解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高（中线）是一条常用的辅助线．【例3】如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=900,D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E,又AE=1BD，求证：BD是∠ABC的角平分线.（北京市竞赛试题）解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．【例4】如图，在^ABC中，∠BAC=∠BCA=440,M为^ABC内一点，使∠MCA=300,∠MAC=160,求∠BMC度数.（北京市竞赛试题）解题思路：作等腰△ABC的对称轴（如图1）,通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边△ABN，连结CN，MN（如图2）；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边△ACN，连结BN（如图3）.图1图2【例5】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN,形成一个三角形.求证：△AMN的周长等于2.（天津市竞赛试题）解题思路：欲证△AMN的周长等于2,只需证明MN=BM+CN,考虑用补短法证明.能力训练A级.如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450,那么这个等腰三角形的底角为 ..如图，已知/A=150,AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=..如图，在等边^ABC的AC,BC边上各取一点P、。，使AP=CQ,AQ,BP相交于点。，则U∠BOQ= ..如图，在△ABC中，∠BCA=900,∠BAC=600,BC=4,在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D,B两点之间的距离是.（第2题）（第3题）.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上一点，BF=CD,CE=BD，那么∠EDF等于（ ）A.900-1∠A B.900-∠A21C.1800-∠A D.450--∠A2.如图，在△ABC中，∠ACB=900,AC=AE,BC=BF,则∠ECF=（ ）A.600 B.450C.300 D.不确定（安徽省竞赛试题）第5题图 第6题图.^ABC的一个内角的大小是400,且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（ ）A.1400 B.800或1000 C.1000或1400 D.800或1400（“希望杯”邀请赛试题）111 1.三角形三边长a,b,C满足一一7+—=--—，则三角形一定是（ ）abca一b+cA.等边三角形 B.以a为底边的等腰三角形C.以C为底边的等腰三角形 D.等腰三角形（北京市竞赛试题）.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是腰AB,AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G,求证：DG=EG.AB.如图，在△ABC中，∠BAC=900,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE，求证：CE=1BD.（江苏省竞赛试题）.已知Rt^ABC中，AC=BC,∠C=900,D为AB边中点，∠EDF=900,将∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC,BC（或它们的延长线）于E、F,当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1）,1易证：S△DEF+S△cef=2S^ABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S^DEF，S△cef,S△Abc又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明.（牡丹江市中考试题）.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=800,O为^ABC内一点，且∠OBC=100,∠OCA=200,求∠BAO的度数.AB级.如图，在△ABC中，/ABC=1000,AM=AN,CN=CP，则∠MNP=．.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE,PF1分别交AB,AC于点E,F,给出以下4个结论：①AE=CF；②^EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=2S；④EF=AP.当∠EPF在^ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A,B重合）.上述结论正确的是△ABC．（苏州市中考试题）.如图，在△ABC中，AB=BC,M,N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN,MN=AN,则∠MAC的度数是___4．如图的大小是（A．800.在^ABC中，）B.500AB=AC,∠BAC与∠ACB的平分线相交于D,∠ADC=1300,那么∠CABC．400D．2005．6．AB C（第4题）如图，在△ABC中A．200如图，在△ABC中∠BAC=1200,B．250AD⊥BC于D

C．300且AB+BD=DC,则∠C的大小是（ ）D．450AC=BC,∠ACB=900,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DM⊥AC,,,,交AC的延长线于M,连CD,下列四个结论：①∠ADC=450；②BD=1AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC其中正确结论的个数为（）C3个1个2个D.4个.如图，已知^ABC为等边三角形，延长BC至D,延长BA至E,并且使AE=BD,连结CE、DE,求证：CE=DE..如图，△ABC中，已知/C=600,AC>BC,X'ABC'.△A'BC>△AB'C都是△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC⑴证明：△C'BD/△B'DC；⑵证明：△AC'D/△DB'A；⑶对^ABC.△ABC、△A'BC.△AB'C,从面积大小关系上