中考数学专题训练突破：圆中常用的辅助线作法(含详细解析)

中考数学专题训练突破：圆中常用的辅助线作法(含详细解析)专题训练——圆中常用的辅助线作法作法一：作半径或直径①作半径（或直径）：构造等腰三角形或直角三角形1.如图9-ZT-3，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（）。答案：532.如图9-ZT-2，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=63，则BC的长为（）。答案：12π3.如图9-ZT-3，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=23，则⊙O的面积为（）。答案：4π4.如图9-ZT-4，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=________。答案：68°5.如图9-ZT-5，⊙O的半径为6，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是________。答案：6√2②连接过切点的半径或直径：见切线，连切点，得垂直6.如图9-ZT-6，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为（）。答案：6cm7.如图9-ZT-7，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠A。（1）求∠D的度数；（2）若CD=2，求BD的长。答案：（1）120°；（2）BD=4作法二：作弦心距：解决弦长的计算与证明问题8.一条排水管的截面如图9-ZT-8所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（）。答案：1.4m9.如图9-ZT-9所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）。答案：25作法三：构造直径所对的圆周角：见直径想直角10.如图9-ZT-10，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点。若∠DAB=40°，则∠ABC=________°。答案：50°11.如图9-ZT-11，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD。证明：连接AP，由题意可知，BP=BD，且∠BPD=∠APD=90°，故△BPD和△APD共边BP，PD，且∠BPD=∠APD，故△BPD≌△APD，因此AD=BD=BP，又因为BP=BD，所以P是BD的中点。求解：由题意可知∠C=∠D，又因为P是BD的中点，所以BP=PD，故△BPD是等腰三角形，又因为BC垂直于PD，所以BC平行于BD，故BCPD是平行四边形，所以BCPD的面积为BC×PD=BC×BP=BC×BD/2。证明：连接OA，OB，OP，由题意可知，OD垂直于AB，且OD是半圆O的半径，故OD=OA=OB，又因为∠OAB=∠OBA=90°，所以△OAB是等腰直角三角形，故DE=EB，所以DE是半圆O的切线。求解：由题意可知∠BAC=30°，又因为△OAB是等边直角三角形，所以AB=OA=OB=√3，故AD=AB×sin∠BAC=√3/2。证明：连接AE，BE，DF，由题意可知，AE是△ABC的角平分线，所以∠ABE=∠DBF，又因为∠DBF=∠DAC，所以∠ABE=∠DAC，故△ABE和△DAC相似，所以DE/AC=EB/AB，即DE=EB×AC/AB，又因为EB=EF，所以DE=EF×AC/AB，又因为EF是直径，所以DE=AC，即DE是⊙O的切线。证明：连接PC，PB，由题意可知，OC是⊙O的半径，且OC⊥PA，所以∠OCP=90°，又因为PC=4，OC=3，所以OP=5，又因为∠OPC=∠OCP，所以△OPC是等腰三角形，故PB=PC=4，又因为OB是⊙O的半径，所以OB=3，又因为∠OBC=90°，所以BC=√7，又因为∠APB=2∠OCP=120°，所以∠BPC=∠BAC=30°，故△BPC是30-60-90三角形，所以BP=2PC=8，又因为OC=3，所以CE=2OC=6。删除无法理解的句子，改写每段话：4.解析：连接OB，根据三角形OAB的特点，可以得到∠C=∠AOB/2=58°。5.答案：62。6.解析：连接OC和OA。因为大圆的弦AB与小圆相切，所以OC⊥AB，因此AC=BC=AB。在直角三角形AOC中，OA=5cm，OC=4cm，所以AC=sqrt(OA^2-OC^2)=3cm，AB=2AC=6cm。7.解析：(1)连接OC，因为OA=OC，所以∠A=∠OCA。由于PD与⊙O相切于点C，所以OC⊥PD，即∠OCD=90°，因此∠D=1/2×90°=45°。所以∠COD=∠D，因此OC=CD=2。由勾股定理得OD=sqrt(2^2+2^2)=2sqrt(2)，因此BD=OD-OB=2sqrt(2)-2。8.解析：作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OC。因为AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，所以AE=0.6m，OE=0.8m。水管水面上升了0.2m，所以OF=0.8-0.2=0.6(m)，CF=OC^2-OF^2=0.8m，CD=1.6m。9.解析：作OH⊥CD于点H，连接OC。因为OH⊥CD，所以HC=HD。因为AP=2，BP=6，所以AB=8，OA=4，OP=OA-AP=2。在直角三角形OPH中，∠OPH=30°，所以OH=OP=1。在直角三角形OHC中，OC=4，OH=1，所以CH=OC^2-OH^2=15，CD=2CH=30。10.答案：70。11.证明：连接OP。因为CP与⊙O相切于点P，所以OP⊥CP。因为BD∥CP，所以OP⊥BD，因此OP是BD的垂线。证明：(1)连接AD，由题意可知点P为BD的中点，因此BD=2DP，又因为BD∥CP，所以△DPC与△BAD全等（ASA），故CO=AB=12cm，CB=OA=6cm。又因为OP=6cm，所以CP=√(CO²-OP²)=3√7cm。由BD∥CP可知PE=OE=3cm，因此四边形BCPD的面积为63×3=183(cm²)。(2)连接BD，OD，OE。因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB=∠BDC=90°。在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，因此DE=BE。在△OBE和△ODE中，OB=OD，OE=OE，BE=DE，因此△OBE≌△ODE（SSS），所以∠ODE=∠ABC=90°，即OD⊥DE。又因为OD是半圆O的半径，所以DE是半圆O的切线。解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，因此BC=AC/2=4。又因为DE=BE=EC，所以△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，因此AD=AC-DC=6。证明：连接BG，作直径DG。因为点E是△ABC的内心，所以AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠DAC。又因为∠G=∠BAD，∠BDM=∠DAC，所以∠BDM=∠G。因为DG为⊙O的直径，所以∠GBD=90°，因此∠G+∠BDG=90°，即∠BDM+∠BDG=90°。因此∠MDG=90°，即直线DM是⊙O的切线。(1)证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC。因为PA切⊙O于点C，所以OC⊥PA。又因为点O在∠APB的平分线上，所以OC=OD，因此OD是⊙O的半径，