解线性方程组的直接方法主元素方法课件

1第二章解线性方程组的直接方法Gauss消去法简单易行，但其计算过程中，要求(称为主元素)均不为零，因而适用范围小，只适用于从1到先看一个例子。阶顺序主子式均不为零的矩阵A，计算实践还表明,Gauss消去法的数值稳定性差,当出现小主元素时,会严重影响计算结果的精度,甚至导出错误的结果.§2主元素法1第二章解线性方程组的直接方法Gauss消去法简单易行，但第二章解线性方程组的直接方法(2-10a)式（2-10a）中所有系数均有2位有效数字.[解]为减少误差，计算过程中保留3位有效数字.按Gauss消去法步骤，第一次消元得同解方程组例2

求解方程组

2第二章解线性方程组的直接方法(2-10a)式（2-10a）3第二章解线性方程组的直接方法第二次消元得

回代得解容易验证，方程组（2-10）的准确解为显然两者相差很大.但若在解方程组前,先把方程的次序3第二章解线性方程组的直接方法第二次消元得回代得解容易4第二章解线性方程组的直接方法交换一下,如把（2-10a）改写成

再用Gauss消去法求解，消元后得同解方程4第二章解线性方程组的直接方法交换一下,如把（2-10a）5第二章解线性方程组的直接方法产生上述现象的原因在于舍入误差.因为按式(2-10)的方程顺序进行消元时，主元回代得解与准确解相同.都比较小，以它们为除数就增长了舍入误差，从而导致计算结果不准确。为了在计算过程中，抑制舍入误差的增长,应尽量避免小主元的出现.如例2中第二种解法,通过交换方程次序,选取绝对值大的元素作主元.基于这种想法导出了主元素法.5第二章解线性方程组的直接方法产生上述现象的原因在于舍入误6第二章解线性方程组的直接方法2.2.1列主元素法为简便起见，我们用方程组（2-1）的增广矩阵表示它，并直接在增广矩阵上进行运算.6第二章解线性方程组的直接方法2.2.1列主元素法为简7第二章解线性方程组的直接方法是在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作主元，通过方程对换将其换到对角线上，然后进行消元。具体步骤如下：

第一步：首先在矩阵（2-11）的第1列中选取绝对值则中第1行与第矩阵为，然后进行第一次消元，得矩阵

最大的元，比如为将(2-11)行互换.为方便起见,记行互换后的增广列主元素法基本思想:7第二章解线性方程组的直接方法是在每次消元前，在要消去未知8第二章解线性方程组的直接方法

第二步：在矩阵的第2列中选主元，比如使将矩阵行与第行互换，再进行第二次消元，得矩阵的第2第步：在矩阵

的第

k

列中选主元，如使将的第行与第行互换，进行第次消元.8第二章解线性方程组的直接方法第二步：在矩阵的9第二章解线性方程组的直接方法

如此经过步，增广矩阵（2-11）被化成上三角形，最后由回代过程求解。在上述过程中，主元是按列选取的，列主元素法由此得名.例2中的第二种解法就是按列主元素法进行的.2.2.2全主元素法如果不是按列选主元，而是在全体待选系数中选取主元，则得到全主元素法，其计算过程如下：p119第二章解线性方程组的直接方法如此经过步，增广矩阵（2-10第二章解线性方程组的直接方法第一步：在全体系数值最大的元作为主元，并通过行与列的互换把它换到中选取绝对的位置，然后进行第一次消元,得到矩阵第步：在矩阵的右下方阶子矩阵的所有元素中,选取绝对值最大的元作为主元,并通过行与列的互换将它换到的位置，然后进行第次消元.经过次消元后,得到与方程组(2-1)同解的上三角形方程组,再由回代过程求解.10第二章解线性方程组的直接方法第一步：在全体系数值最大的11第二章解线性方程组的直接方法例3

用主元素法求解线性方程组计算过程保留三位小数。[解]按列主元素法，求解过程如下:

p13p911第二章解线性方程组的直接方法例3用主元素法求解线性12第二章解线性方程组的直接方法12第二章解线性方程组的直接方法13第二章解线性方程组的直接方法由回代过程得解按全主元素法，求解过程如下:p1113第二章解线性方程组的直接方法由回代过程得解按全主元素法141415第二章解线性方程组的直接方法由回代过程得解

例3的计算结果表明，全主元素法的精度优于主元素法,这是由于全主元素是在全体系数中选主元，故它对控制同解方程组为15第二章解线性方程组的直接方法由回代过程得解例316第二章解线性方程组的直接方法舍入误差十分有效。但全主元素法在计算过程中，需同时作行与列的互换，因而程序比较复杂，计算时间较长.列主元素法的精度虽稍低于全主元素法，但其计算简单,工作量大为减少,且计算经验与理论分析均表明,它与全主元素法同样具有良好的数值稳定性，故列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一.16第二章解线性方程组的直接方法舍入误差十分有效。但全主元17第二章解线性方程组的直接方法§2.3直接三角分解法2.3.1Gauss消去法的矩阵形式如果用矩阵形式表示，Gauss消去法的消元过程是对方程组（2-1）的增广矩阵[A，b]进行一系列行初等变换，将系数矩阵A化成上三角形矩阵的过程.

将系数矩阵A化成上三角形矩阵的过程，也等价于用一串初等矩阵去左乘增广矩阵，因此消元过程可以通过矩阵运算来表示。

我们知道,对矩阵进行一次初等行变换,相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵.17第二章解线性方程组的直接方法§2.3直接三角分解法218的系数矩阵A的顺序主子式不为零在Gauss消去法中,第一次消元时等价于用单位下三角阵设方程组18的系数矩阵A的顺序主子式不为零在Gauss消去法中,第一19第二章解线性方程组的直接方法其中

（2-12）左乘矩阵即19第二章解线性方程组的直接方法其中（2-12）左乘矩阵20进行第二次消元时等价于用矩阵左乘其中于是有20进行第二次消元时等价于用矩阵左乘其中于是有第二章解线性方程组的直接方法一般地，第k次消元等价于用矩阵其中经过次消元后得到（2-13）左乘矩阵2121第二章解线性方程组的直接方法一般地，第k次消元等价于用矩阵22第二章解线性方程组的直接方法因为的逆矩阵存在。容易求出均为非奇异阵，故它们22第二章解线性方程组的直接方法因为的逆矩阵存在。容易求出23第二章解线性方程组的直接方法

（2-14）

令2323第二章解线性方程组的直接方法（2-14）令2324于是有

(2-15)即（2-16）24于是有(2-15)即（2-16）25第二章解线性方程组的直接方法其中为单位下三角矩阵，

为上三角矩阵。这说明，消元过程实际上是把系数矩阵A分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积的过程。25第二章解线性方程组的直接方法其中为单位下三角矩阵，为26第二章解线性方程组的直接方法上述分解称为杜利特尔（Doolittle）分解，也称为的问题就变得十分容易，它等价与求解两个三角形方程组和分解.当系数矩阵进行三角分解后，求解方程组因此，解线性方程组问题可转26第二章解线性方程组的直接方法上述分解称为杜利特尔（Do27第二章解线性方程组的直接方法化为矩阵的三角分解问题。2.3.2矩阵的三角分解正如Gauss消去法要在一定条件下才能进行到底一样矩阵A也必须满足一定条件才能进行三角分解.定理2.１设Ａ为n阶方阵，若Ａ的顺序主子式［证明］当均不为零，则矩阵Ａ存在唯一的Doolittle分解。时，因为由３.１段的讨论，存在矩阵p3327第二章解线性方程组的直接方法化为矩阵的三角分解问题。228第二章解线性方程组的直接方法其中,使得28第二章解线性方程组的直接方法其中,使得29第二章解线性方程组的直接方法由行列式的性质易得

的各阶顺序主子式满足假定结论对j=k-1成立,即29第二章解线性方程组的直接方法由行列式的性质易得的各阶30第二章解线性方程组的直接方法且于是有,因为故存在矩阵30第二章解线性方程组的直接方法且于是有,因为故存在矩阵31第二章解线性方程组的直接方法其中

，使得

且31第二章解线性方程组的直接方法其中，使得且32第二章解线性方程组的直接方法

,使得其中为单位下三角矩阵，为上三角矩阵。存在性得证。按归纳法原理，存在初等矩阵由式（2-15）得32第二章解线性方程组的直接方法,使得其中为单位下三33第二章解线性方程组的直接方法由于单位下（上）三角阵的逆仍是单位下（上）三角阵,所以对A是奇异的情况，可参考[1].惟一性。设矩阵A有两种Doolittle分解当A非奇异时，均为非奇异矩阵.于是由式（2-17），有上（下）三角阵的乘积仍为上（下）三角阵，故有(2-17)p2733第二章解线性方程组的直接方法由于单位下（上）三角阵的逆34第二章解线性方程组的直接方法两个矩阵相等就是他们的对应元素都相等，比较A与下面讨论如何如何对A进行LU分解.LU的对应元素，即可得出L,U中元的计算公式.A=LU,即由矩阵的乘法法则，得34第二章解线性方程组的直接方法两个矩阵相等就是他们的对应35设已定出U的第一行至第r-1行元素,与L的第一列至第r-1列元素,(注意到当

)故有又故有(U的第r行)(L的第r列)35设已定出U的第一行至第r-1行元素,与L的第一列(注意36第二章解线性方程组的直接方法

由此可得计算和的公式（2-18）36第二章解线性方程组的直接方法由此可得计算和的公式（237第二章解线性方程组的直接方法计算过程应按第1行,第1列,第2行，第2

列，...的顺序进行.2.计算U的第r行，L的第r列计算U的第1行,L的第1列具体步骤如下：37第二章解线性方程组的直接方法计算过程应按第1行,第1列38第二章解线性方程组的直接方法

的三角分解。例4

求矩阵[解]按式（2-18）38第二章解线性方程组的直接方法的三角分解。例4求矩阵39第二章解线性方程组的直接方法

所以39第二章解线性方程组的直接方法40第二章解线性方程组的直接方法两个矩阵相等就是他们的对应元素都相等，比较A与下面讨论如何如何对A进行LU分解.LU的对应元素，即可得出L,U中元的计算公式.A=LU,即由矩阵的乘法法则，得40第二章解线性方程组的直接方法两个矩阵相等就是他们的对应41第二章解线性方程组的直接方法计算过程应按第1行,第1列,第2行，第2

列,...的顺序进行.2.计算U的第r行，L的第列r计算U的第1行,L的第1列具体步骤如下：41第二章解线性方程组的直接方法计算过程应按第1行,第1列42第二章解线性方程组的直接方法紧凑格式。根据式（2-18）的特点，矩阵的三角分解可按以下格式及顺序进行。这种格式既便于记忆，又便于计算,称为表2-142第二章解线性方程组的直接方法紧凑格式。根据式（2-1843第二章解线性方程组的直接方法框从外到内进行。每一框中先算行，从左向右依次计算；再算列，自上而下求2.计算方法：按行计算时，需将所求元的对应元逐项减去所在行左面各框的元乘以所在列上面各框相应的元按列计算时，在作上述运算后还需除以所在框的对角元例4中矩阵说明：计算顺序：将按表2-1列好，计算时按的三角分解按43第二章解线性方程组的直接方法框从外到内进行。每一框中先44

(2)2

(2)2

(3)3

表2-2紧凑格式计算，结果见下表。第二章解线性方程组的直接方法44(2)2(2)2(3)345第二章解线性方程组的直接方法所以即由2.3.3直接三角分解法如果线性方程组的系数矩阵已进行三角分解则解方程组两个三角形方程组等价于求解45第二章解线性方程组的直接方法所以即由2.3.3直接三46第二章解线性方程组的直接方法可求出(2-20)(2-19)46第二章解线性方程组的直接方法可求出(2-20)(2-147第二章解线性方程组的直接方法再由解得(2-22)(2-21)47第二章解线性方程组的直接方法再由解得(2-22)(2-48第二章解线性方程组的直接方法容易看出,式（2-20）与式（2-18）的运算规律相同,2-1的最后一列，按的计算方法即

表2-3是求解线性方程组的紧凑格式，其计算顺序与故在利用三角分解求解方程组时，只需把右端向量计算方法与三角分解相同。按表2-3计算后，再按式列在表(2-22)即可求出方程组的解可求出48第二章解线性方程组的直接方法容易看出,式（2-20）与49第二章解线性方程组的直接方法

表2-349第二章解线性方程组的直接方法表2-350例：用杜利特尔分解法求解线性方程组解：设50例：用杜利特尔分解法求解线性方程组解：设51第二章解线性方程组的直接方法

按式（2-18）51第二章解线性方程组的直接方法按式（2-18）52第二章解线性方程组的直接方法

所以