2022年浙江省台州市东林中学高三数学文摸底试卷含解析

2022年浙江省台州市东林中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的求和公式和等差数列的性质可得=，代值计算可得．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式和等差数列的性质可得：======故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．2.若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为(

)A． B． C． D．π参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）?（3+2）=0，即32﹣22﹣?=0，即?=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．3.随机变量，的分布列分别是（

）02

12当时，有（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：A【分析】利用E（ξ）的公式及D（ξ）＝E（ξ2）﹣E2（ξ）求得期望方差，再比较大小即可．【详解】根据题意E（ξ）＝2，D（ξ）＝E（ξ2）﹣E2（ξ），E（）＝1，D（）＝E（2）﹣E2（），E（ξ）﹣E（），∵，∴，∴,∴E（ξ）E（），D（ξ）﹣D（），∴D（ξ）D（），故选：A．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，考查了期望方差的公式的应用，属于中档题．4.正项等比数列{an}中的a2，a4026是函数f（x）=x3﹣mx2+x+1（m＜﹣1）的极值点，则lna2014的值为(

) A．1 B．﹣1 C．0 D．与m的值有关参考答案：C考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：求出函数的导数，利用函数的极值点，推出a2a4026的值，然后求解lna2014的值．解答： 解：函数f（x）=x3﹣mx2+x+1（m＜﹣1）的导数为f′（x）=x2﹣2mx+1（m＜﹣1），正项等比数列{an}中的a2，a4026是函数f（x）=x3﹣mx2+x+1（m＜﹣1）的极值点，可得a2a4026=1，则a2014=1lna2014=ln1=0．故选：C．点评：本题考查等比数列以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．5.已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C6.函数的单调递增区间是

（

）A． B．C． D．参考答案：A略7.为了得到函数的图像，只需把函数y=2sinx的图像上所有点（

）A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动个单位长度

D．向右平行移动个单位长度参考答案：B8.已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8） B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）+g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，由f（x）+g（x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥．由图象知要使函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，∴，解得：b∈（7，8）故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．9.设，则＝

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知函数，有下列四个命题；①函数是奇函数；②函数在是单调函数；③当时，函数恒成立；④当时，函数有一个零点，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B①函数的定义域是，，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；②取，，，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当时，，要使，即，即，令，，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，则

；若，则实数的值为

．参考答案：.

12.如图，在四边形中，，为的中点，且，则

.

参考答案：略13.定义在R上的奇函数满足，且当时，f（x）=2x，则

参考答案：略14.已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则的最小值为____．参考答案：【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，由抛物线的定义可设：，由勾股定理可知：，由梯形中位线的性质可得：，则：.当且仅当时等号成立.即的最小值为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，这个三棱柱的高h=RM==．底面正三角形PQR的边长为，面积为=．∴这个直三棱柱的体积是．故答案为：．16.在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．参考答案：3或﹣2考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．解答：解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵kMN=，+=0∴kMN?kTQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴kPT=kRT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．点评：本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，数列的前项和取最大值，则首项的

取值范围为__________________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知圆M：的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过坐标原点，如果是，请写出求解过程。参考答案：19.已知函数,,．（I）当时,解不等式:；（II）若且,证明：，并说明等号成立时满足的条件。参考答案：(Ⅰ)因为,所以原不等式为.当时,原不等式化简为,即；当时,原不等式化简为,即；当时,原不等式化简为,即.综上,原不等式的解集为.（Ⅱ）由题知,，所以,又等号成立当且仅当与同号或它们至少有一个为零.略20.如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，，，平面ABCD．（1）设BD与AC的交点为O，求证：平面；（2）求二面角的正弦值．参考答案：（1）证明见解析；（2）．（1）证明：由题意可知：平面，从而，∴，又为中点，∴，在中，，∴，∴，又，∴平面．（2）面，且，如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，从而，，，，，由（1）可知是面的一个法向量，设为面的一个法向量，由，令，得，设为二面角的平面角，则，，∴二面角角的正弦值为．21.在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了苏俄生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：成绩

编号12345物理（x）9085746863数学（y）1301251109590（1）求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程=x+（精确到0.1）．若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率．（参考公式：=，=﹣）（参考数据：902+852+742+682+632=29394，90××125+74×110+68×95+63×90=42595）参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用方程，x=80分，即可预测他的数学成绩；（2）利用对立事件的概率公式，即可得出结论．【解答】解：（1）=76，=130，∴==≈﹣13.2，=﹣=130﹣（﹣13.2）×76≈1133.2，∴=﹣13.2x+1133.2，x=80，=77；（2）从抽取的这五位学生中随机选