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外接球四种模型主讲：付老师外接球四种模型主讲：付老师1模型1长方体外接球问题已知长方体的长宽高分别为a、b、c，则长方体外接球直径的平方等于长宽高的平方和。

一般题目不会直接告诉你是长方体的外接球类型，必须自己去类比分析，只要出现两两垂直的三条棱都可以用。模型1长方体外接球问题已知长方体的长宽高分别为a、b、c2例1.在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面∆ABC内一点，若点Q到三条侧棱的距离分别为2、2、，则以线段PQ为直径的球的表面积为

.到三条侧棱的距离恰好是以PQ为对角线的长方体三个相邻面上的三条对角线，则可得此题可改为Q到三个侧面的距离。做题时多利用长方体，可简化问题。例1.在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q3例2四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=。则四面体ABCD的外接球的表面积为在长方体中恰好存在相对棱相等的四面体，三条棱恰好可作为长方体的三条对角线正四面体就可以放入正方体之中，利用类似方法可以很快求出正四面体外接球半径例2四面体ABCD中，已知AB=CD=4模型2三点共线型当棱锥顶点，外接球球心，底面小圆圆心，三点共线时如图，根据勾股定理可得此模型注意一定是三点共线才能用。所有正棱锥都是三点共线。只要题目中有提到棱锥的每条侧棱都相等，或者顶点在底面投影是底面的中心之类，都属于三点共线。还有那种底面固定，体积最大问题有些也是三点共线，在利用公式的时候，棱锥的高比半径大或者小都可以用。模型2三点共线型当棱锥顶点，外接球球心，底面小圆圆心，三点5每条侧棱都相等的棱柱，每条侧棱可以看做同一个圆锥的母线，所以棱锥顶点,球心，底面小圆圆心三点共线。底面圆半径可以用正玄定理棱锥的高可以用勾股定理侧棱记做，此处将底面小圆半径记做每条侧棱都相等的棱柱，每条侧棱可以看做同一个圆锥的母线，所以6例4代入公式可得例4代入公式可得7模型3一条棱垂直于底面一条棱垂直于底面时，如图可构造矩形，利用勾股定理。棱锥垂直于底面的棱记为，棱锥底面外接圆半径记做，当底面三角形是直角三角形时也可以用构造长方体的方法。模型3一条棱垂直于底面一条棱垂直于底面时，如图可构造矩形8此题可用第一种模型构造长方体，两两垂直的棱刚好是长方体的三条棱。也可以用第三种模型。构造长方体：利用第三种模型：此题可用第一种模型构造长方体，两两垂直的棱刚好是长方体的三条9模型4两个面垂直如图，侧面PAC⊥底面ABC。侧面圆心，球心，底面圆心，公共棱中点恰好构成矩形，利用勾股定理可得外接球半径。这种类型不是很常见，常以折叠成直二面角形式出现模型4两个面垂直如图，侧面PAC⊥底面ABC。侧面圆心，10第四种模型关键是算对两个面的半径

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