2022-2023学年江苏省南京市栖霞区燕子矶中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省南京市栖霞区燕子矶中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z=1−i，则A.−1−32i B.−12.已知在△ABC中，点D为边BC的中点，若ADA.−1 B.−2 C.1 3.某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人．从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有(

)

①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；

②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；

③西部地区学生小刘被选中的概率为150；

④中部地区学生小张被选中的概率为15000A.①④ B.①③ C.②④4.已知A、B是两个随机事件，且A⊆B，则下列选项中一定成立的是(

)A.P(A∪B)=P(A5.在△ABC中，AB=1,AC=4,A.−163 B.163 C.−6.已知cosα=17，cos(α+A.−π6 B.π6 C.−7.某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率)，则下列说法正确的是(

)A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间(25,30]内的最少

B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14

D.8.在一座尖塔的正南方地面某点A，测得塔顶的仰角为22°30′，又在此尖塔正东方地面某点B，测得塔顶的仰角为67°30′，且A，B两点距离为540m，在线段AB上的点CA.90m B.100m C.110m二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是A.样本x1，x2，…，xn的极差

B.样本x1，x2，…，xn的中位数

C.样本x1，x2，…，xn的标准差

D.样本x10.设z1，z2为复数，且z1≠A.若|z1|=|z2|，则z1=z2−

B.若z1z2=i，则z111.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是(

)A.2个球颜色相同的概率为12 B.2个球不都是红球的概率为13

C.至少有1个红球的概率为23 D.2个球中恰有12.已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是正八边形ABA.AH与CF能构成一组基底

B.OA+OC=2OB

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的85%分位数为______．14.已知复数z满足log12|z−1|15.甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为______．16.甲、乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为______．

参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1,x−,s四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

(1)已知z1=1+i，z2=2−i，且1z=1z1+18.(本小题10.0分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2(B+C2)=33sin(B+C)19.(本小题10.0分)

如图，在△OAB中，OA=3OC，OB=2OD，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC、BD于E、F两点．

(1)用OA，OB表示20.(本小题10.0分)

甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局．

(Ⅰ)求甲获胜的概率．

(Ⅱ)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜．请问：这个规则公平吗，为什么？21.(本小题10.0分)

某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．

(Ⅰ)求这200名学生每周阅读时间的中位数a(a的值精确到0.01)；

(Ⅱ)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取6名参加座谈会．

(i)22.(本小题20.0分)

在锐角△ABC中，已知cosA=513,S△ABC=6，若点D是线段BC上一点(不含端点)，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为z=1−i，所以1z2−z−=1−2.【答案】C

【解析】解：如图，∵D为BC的中点，

∴AD+BC=12AB+12AC+AC−AB=−12AB+323.【答案】B

【解析】解：在①中，用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生：100×24002400+1600+1000=48人，

中部地区学生：100×16002400+1600+1000=32人，西部地区学生20人：100×10002400+1600+1000=20人，故①正确；

在②中，因为学生层次差异较大，且学生数量较多，应该利用分层抽样，故②错误；

在③中，西部地区学生小刘被选中的概率为1002400+1600+1000=14.【答案】C

【解析】解：A.∵A⊆B，∴P(A∪B)=P(B)，A错误；

B.∵A⊆B，∴P(A∩B)=P(A)5.【答案】B

【解析】解：已知AB=1,AC=4,∠BAC=π3，

则AB⋅AC=1×6.【答案】D

【解析】解：由0<α,β<π2，则0<α+β<π，又cos(α+β)=−1114<0，

故π2<α+β<π，7.【答案】C

【解析】解：频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为(20,25]，

即样本中区间(20,25]内的数据频率最小，频数也最小，故A错误；

由频率分布直方图得，前三个小矩形的面积之和为：

(0.02+0.04+0.047)×5=0.535>0.5，

∴估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故B错误；

由频率分布直方图得该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为：

x−=0.02×5×2.5+0.04×5×7.5+0.047×5×8.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查二倍角的正切公式，直角三角形中的边角关系，解三角形的实际应用，用面积法求点到直线的距离，属于中档题．

由题意，数形结合，二倍角的正切公式，直角三角形中的边角关系，用OP表示OA和OB，再利用勾股定理求得OP的值，用面积法求【解答】解：如图：设尖塔高为OP，

则由题意可得，OA⊥OB，AB=540，

由题意可知OC⊥AB，C为垂足，则OC为所求．

∵tan45°=1=2tan22°30′1−tan222∘30′

9.【答案】AC【解析】解：对于A，极差为一组数据中最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故该样本的极差能度量该样本的离散程度，故A正确；

对于B，中位数为一组数据中中间的数，故该样本的中位数刻画了该样本的集中趋势，故B错误；

对于C，标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据离散程度越大，标准差越小，数据的离散程度越小，故该样本的标准差能度量该样本的离散程度，故C正确；

对于D，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，又样本x1+1，x2+1，x3+1，…，xn+1的方差与样本x1，x2，…，xn的方差是一样的，故样本x1+1，x2+1，x3+110.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了复数的基本运算，复数的概念，复数的几何意义，属于中档题．

结合已知复数的基本概念及复数的运算，复数的几何意义分别检验各选项即可判断．【解答】解：z1=12+32i，z2=i，满足|z1|=|z2|，但z1≠z2−，故A不符合题意；

设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d都为实数)，

若z1z2=i，则z1=z2i

11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力，属于基础题．

利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式逐一求解即可．【解答】解：甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取1个球，

对于A，2个球颜色相同的概率为P=812×612+412×612=12，故A正确；

对于B，2个球不都是红球的概率为P=1−412×612=56，故B错误；

12.【答案】BC【解析】解：对于选项A，连接AF，

∵∠AOB=45°，

∴∠OAB=180°−45°2=67.5°，

∵∠AOF=3×45°=135°，

∴∠OAF=180°−135°2=22.5°，

∴∠BAF=67.5°+22.5°=90°，

以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(1,0),H(−22,22),F(0,2+1),C(1+22,22)，

∴AH=(−22,22),CF=(−113.【答案】5

【解析】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按从小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，

因为10×85%=8.5不是整数，所以第9个数5就是这组数据的85%分位数．

故答案为：514.【答案】21π【解析】解：∵log12|z−1|+1|z−1|−2≤−1，

∴|z−15.【答案】89【解析】解：∵甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，

现从两个箱子中随机各取一个球，

至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，

∴至少有一个红球的概率为：

p=1−C11C31⋅16.【答案】66；287

【解析】解：根据题意，甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，

甲队队员在所有队员中所占权重为11+3=14，乙队队员在所有队员中所占权重为31+3=34，

则甲、乙两队全部队员的体重的平均数x−=1417.【答案】解：(1)：由且1z=1z1+1z2，得z=(1+i)(2−i)(1+i)【解析】(1)利用复数的运算法则即可得出；

(2)18.【答案】解：(Ⅰ)由2sin2(B+C2)=33sin(B+C)+1，

可得2cos2A2=33sinA+1，可得1+cosA=33sinA+1，即cosA=33sinA，

可得【解析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=3，结合范围0<A<π，可得A的值．

(Ⅱ)由正弦定理化简已知等式可得c2=4(a219.【答案】解：(1)由A，M，D三点共线可得存在实数t，使得OM=tOA+(1−t)OD=tOA+12(1−t)OB，

同理由C，M，B三点共线可得存在实数m，使得OM=mOB+(1−m)OC【解析】(1)利用三点共线列出方程，求解即可；

(2)①利用向量的线性运算即可证明；20.【答案】解：(Ⅰ)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果有36种，分别为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，

(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，

(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，【解析】

本题考查概率的求法，考查考查概率的性质、古典概型的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

(Ⅰ)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，利用列举法能求出甲获胜的概率．

(Ⅱ)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，利用列举法求出甲获胜的概率为1325，则乙获胜的概率为122521.【答案】解：(Ⅰ)∵0.03+0.1+0.2+0.35=0.68>0.5，

∴中位数a∈[8.5,9.5)，

由0.03+0.1+0.2+(a−8.5)×0.35=0.5，

解得a=0.5−0.330.35+8.5≈8.99．

(Ⅱ)(i)每周阅读时间为[6.5,7.5)