北师大版高三数学必修五《基本不等式》教案及教学反思

北师大版高三数学必修五《基本不等式》教案及教学反思一、教学目标理解和掌握基本不等式的定义及常见类型；理解基本不等式的证明方法，能够独立进行证明；运用基本不等式解决实际问题。二、教学准备教师课件PPT；学生课本、笔记本及计算器。三、教学内容1.基本不等式定义及常见类型定义：对于任意n个实数$a_1,a_2,\\cdots,a_n$，有$$(a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2)(1+1+\\cdots+1)\\ge(a_1+a_2+\\cdots+a_n)^2$$即$$\\frac{a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2}{n}\\ge\\left(\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}\\right)^2$$称为基本不等式。常见类型：（1）垫高法：$$(a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n)^2\\le(a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\\cdots+x_n^2)$$（2）均值不等式：$$\\begin{aligned}\\text{若}a_1,a_2,\\cdots,a_n\\text{为正数，则有}\\\\\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}&\\ge\\sqrt[n]{a_1a_2\\cdotsa_n}\\\\\\frac{a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2}{n}&\\ge\\left(\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}\\right)^2\\end{aligned}$$2.基本不等式的证明方法（1）代数证明法等价变形论证例如：证明$a^2+b^2\\ge2ab$，可以将等式两侧同乘2，再加上2ab，即可得到等价不等式平方载体论证例如：证明$a^2+b^2\\ge2ab$，可以将等式两侧平方，即得到不等式$a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2\\ge0$，化简即得$(a-b)^2\\ge0$。（2）几何证明法面积论证例如：证明垫高法，可将其转化为一个平面向量问题，在空间中构造平行四边形的两个邻边$\\vec{a}$和$\\vec{b}$，以及垂直于$\\vec{a}$的向量$\\vec{x}$，则对于任意实数t，有$$(\\vec{a}+t\\vec{x})\\cdot(\\vec{a}+t\\vec{x})\\le\\vec{a}\\cdot\\vec{a}+\\vec{b}\\cdot\\vec{b}$$两侧作差，可以得到垫高法。3.实际问题的解决例题1：已知a+b+c解：由均值不等式，有$$\\frac{(a+b+c)^2}{3}=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\\ge3(a^2+b^2+c^2)$$即$$a^2+b^2+c^2\\ge\\frac{(a+b+c)^2}{3}=3$$例题2：已知a,b,c$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}\\gea+b+c$$解：由均值不等式，有$$\\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}\\right)\\ge\\sqrt[3]{\\frac{1}{abc}}=1$$即$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}\\ge3$$再由垫高法，可得$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}\\ge3\\sqrt[3]{\\frac{1}{abc}}=3$$再由均值不等式，可得$$a+b+c\\le\\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$$即$$(\\sqrt{3}-1)^2(a^2+b^2+c^2)\\ge0$$所以$$a^2+b^2+c^2\\ge\\frac{1}{(\\sqrt{3}-1)^2}=4+2\\sqrt{3}$$故$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}\\gea+b+c\\ge4+2\\sqrt{3}$$四、教学反思基本不等式是高中数学的重点内容之一，对于学生的数学素养和竞赛水平的提高都具有重要意义。因此，本节课的教学目标是让学生在短时间内对基本不等式有全面系统的认识，并能够灵活运用解决实际问题。在教学过程中，我主要采用了讲解和举例演示相结合的方法，使学生能够理解基本不等式的定义、证明方法