2020-2021学年新教材人教A版高一数学必修第一册 第五章 三角函数 单元测试

2020-2021学年新教材人教A版高一数学必修第一册第五章三角函数单元测试2020-2021学年新教材高一数学人教A版必修第一册第五章三角函数单元测试题一、单项选择题1.已知扇形的圆心角为2rad，弧长为4cm，则这个扇形的面积是()。A.4cm^2B.2cm^2C.4πcm^2D.1cm^22.已知a=tan(17π/12),b=cos(5π/3),c=cos(-4π/5)，则()。A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b3.要得到函数y=cos(π/3x+3),只需将函数y=cos(2x)的图象向()平移。A.左移3个单位长度B.左移6个单位长度C.右移6个单位长度D.右移3个单位长度4.已知sin(3π/4)=-5/13，则cos(7π/6)等于()。A.5/13B.-5/13C.-34/65D.34/655.函数f(x)=xsinx的图象大致是()。6.化简(sinα+tanα)/(1-cosα)的结果是()。A.sinαB.cosαC.1+sinαD.1+cosα7.如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为()。A.75米B.85米C.(50+25√3)米D.(60+25√3)米8.已知函数f(x)=sinx-sin3x，x∈[0,2π]，则函数f(x)的所有零点之和等于()。A.4πB.5πC.6πD.7π二、多项选择题9.下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有()。A.y=tan(x+π/3)B.y=sin(2x-2π/3)C.y=sin|2x|D.y=|sinx|10.已知sinθ=-3/4，且cosθ>0，则()。A.tanθ<0B.tanθ>9C.sin2θ>cos2θD.sin2θ>011.已知函数$f(x)=2\sin(2x+4)$，则下列结论正确的是()A.函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$B.函数$f(x)$在$[0,\pi]$上有三个零点C.当$x=\frac{\pi}{8}$时，函数$f(x)$取得最大值D.为了得到函数$f(x)$的图象，只要把函数$y=2\sin\frac{1}{4}x$图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)13.$\tan15^\circ=\sqrt{3}-2$14.水深最大值为$3$（m）15.$A=30^\circ$或$A=150^\circ$16.$a=\frac{3}{2}$，单调递增区间为$[0,\frac{\pi}{6})\cup[\frac{5\pi}{6},\pi]$17.(1)$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，$\sin\alpha=\frac{4}{5}$(2)$\tan2\alpha=2\tan\alpha=\frac{24}{7}$18.(1)$\omega=\frac{2}{3}$，$\phi=\frac{\pi}{6}$(2)$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}$19.(1)$-\frac{1}{2}$(2)$-\frac{1}{2}$cosα(1－cosα)＝2sinαcosα(1－cosα)＝2×437×(1－cosα)＝867－437cosα＝437－867＝－4321，故选B.答案：B2sin2x＋3＋1＝2(sin2x＋1)＋1，由于sin2x的定义域为[-1,1]，所以sin2x≤1，故sin2x＋1≤2，即2(sin2x＋1)＋1≤5，所以f(x)的最大值为5，取到最大值时sin2x＝1，即x＝kπ4＋kπ2，k为整数，故x＝kπ2，k为整数，故f(x)的最大值取到时，x＝kπ2，k为整数．当0≤x＜π2时，sin2x≥0，所以f(x)单调递增；当π2≤x＜π时，sin2x≤0，所以f(x)单调递减，故f(x)的单调递增区间为[0，π2)．当x＝π4时，f(x)取到最小值，最小值为2，故不等式f(x)≥2的解集为{x|x∈R，x∈[0，π2)∪[3π2，2π)}．答案：(1)[0，π2)；(2)最大值为5，取到最大值时x＝kπ2，k为整数；(3){x|x∈R，x∈[0，π2)∪[3π2，2π)}．(1)函数y＝f(x)的图象经过点(0，1)，且在[0，π2]上单调递减，故函数y＝f(x)的表达式为y＝Asin(ωx＋φ)+1，其中A＞0，ω＞0，且φ∈[-π2，π2]．由于函数y＝f(x)在[0，π2]上单调递减，所以A＜0，ω＞0，且φ＝-π2，故函数y＝f(x)的表达式为y＝－Asinωx＋1，其中A＞0，ω＞0．(2)函数y＝f(x)向左平移6个单位长度得到函数g(x)的图象，即g(x)＝f(x＋6)＝－Asinω(x＋6)＋1，即g(x)＝－Asinωx＋Asin6ω＋1，由于函数g(x)的图象经过点(0，1)，故Asin6ω＝0，即6ω＝kπ(k为整数)，故ω＝kπ6(k为整数)，且A＞0，故函数g(x)的表达式为g(x)＝－Asin(kπ6)x＋1，其中A＞0，k为整数．当f(x)＋g(x)－a＝0时，即－Asinωx－Asin(kπ6)x＋1－a＝0，设t＝ωx＋kπ6，代入得Asint＋1－a＝0，即Asint＝a－1，由于A＞0，所以t∈[-π2，π2]，即ωx＋kπ6∈[-π2，π2]，即ωx∈[-kπ，π2－kπ6]，故x∈[π6(2k－1)，π6(2k＋1)]，其中k为整数．故当a≤1时，方程f(x)＋g(x)－a＝0在[π6(2k－1)，π6(2k＋1)]上有实数解，当a＞1时，方程f(x)＋g(x)－a＝0无实数解，故实数a的取值范围为a≤1．答案：(1)y＝－Asinωx＋1，其中A＞0，ω＞0；(2)a≤1．1.剔除格式错误和明显有问题的段落：无2.改写每段话：1.对于式子(1-cosα)，可以化简为sin²(α/2)，因此等于sinα/sin(α/2)。因为sin(α/2)不等于0，所以最终结果为sinα。2.假设摩天轮圆心为坐标原点，建立直角坐标系，平行地面的直径所在的直线为x轴。设t时刻的坐标为(x,y)，转过的角度为(2π/21)t。根据三角函数的定义，y=50sin((2π/21)t)-2，地面与坐标系交线方程为y=-60。因此第7分钟时他距离地面的高度大约为85。3.对于函数f(x)=sin(x)-sin(3x)，可以化简为2sin(x)cos²(x)-sin(x)+cos²(x)-1。因此，sin(x)(2sin²(x)-1)=0，解得sin(x)=0或sin(x)=±√(2)/2。因为x∈[0,2π]，所以f(x)的所有零点为π/3、π、2π/3、4π/3、3π/2、5π/3、2π，它们的和为7π。4.对于四个选项中的函数，只有B和D是偶函数，满足题目要求。5.因为sinθ=-3/5，且cosθ>0，所以cosθ=4/5，tanθ=-3/4<0，因此A和B正确。由于sinθ≤cosθ，所以C错误。又因为sin2θ=-18/25<0，所以D错误。注意：题目中有些符号可能在转换过程中丢失，需要根据上下文进行判断和推导。当$x=8$时，$f(x)=2$取得最大值，因此选项C正确。如果将函数$y=2\sin\left(\frac{x+\pi}{4}\right)$的图像上所有点的横坐标变为原来的$2$倍（纵坐标不变），得到$f(x)$，因此选项D不正确。因此答案为AC。解析：令$f(x)=\frac{t-1}{12}$，可得$\sinx=\frac{4}{5}$，可知两个函数在区间$\left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)$上的图像有两个交点。作出函数$y=\sinx$与$y=\frac{4}{3}$在区间$\left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)$上的图像，如图所示。因此，$2<\frac{4}{3}<1$或$-1<\frac{4}{3}<0$，解得$3<t<5$或$-3<t<1$，因此答案为ABD。解析：$\tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{2-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，因此答案为$2-\sqrt{3}$。解析：由图像可知：当$\sin\left(\frac{x}{6}+\varphi\right)=-1$时，$y_{\min}=k-3=2$，因此$k=5$。当$\sin\left(\frac{x}{6}+\varphi\right)=1$时，$y_{\max}=5+3=8$。因此答案为8。解析：由$\sin(2\pi-A)=-2\sin(\pi-B)$，得$\sinA=2\sinB$。由$3\cosA=-2\cos(\pi-B)$，得$3\cosA=2\cosB$。由$\sin^2A+\cos^2A=1$和$A,B$为三角形内角，可知角$A,B$均为锐角，则$\cosA=\frac{2}{\sqrt{10}}$。因此$A=\frac{\pi}{4}$。因此答案为$\frac{\pi}{4}$。解析：(1)由题意可知，$\sin\alpha=\frac{5}{3}$，因此$\cos\alpha=1-\sin\alpha=\frac{4}{3}$；(2)由(1)知$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{5}{4}$。因此答案为$\frac{5}{4}$。32tanα24，则tan2α=-7/(4-3tan^2α)。解析：首先根据题意可以得到函数f(x)的最小正周期为π，因此ω=π，进而ω=2。由图象关于直线x=3对称可得2×(3+φ)=kπ+2，其中k∈Z。再结合-2≤φ<2，可以得到φ=-6/π+α/3。又因为3π/46<α<π/3，所以3sinα-6=4，即sinα-6/4=1/3。由此可以得到0<α-6<2π/3。再根据cos(α+2π/3)=sinα=sin(α-2π/3+2π/3)，可以得到cos(α+2π/3)=sinα-6/4cos(2π/3)+cosα-6/4sin(2π/3)。计算可得13151/8π。20．解析：方案一：选条件①sinα/cosα=4/3。由平方关系sin^2α+cos^2α=1，可以解得：1.cosα=7/43，sinα=7/43或sinα=-7/43，因为α∈[0,π)，所以有两组解。2.cosα=-7/43，sinα=7/43。解法一：根据条件①，有cos(α+β)=-3/8，因为α∈[0,π/2)，β∈[0,π/2)，所以0<α+β<π，因此sin(α+β)=3/8。根据cos(α+β)的公式，可以得到cosβ=-(3/8)×(7/43)+(√(1-(3/8)^2))×(7/43)，化简得cosβ=21/86。因为α∈[0,π/2)，所以tanα=43/7，点P(1,43/7)在角α的终边上。根据条件②，可以得到cosα=7/√(48)，sinα=1/√(48)。根据条件③，可以得到cosα=2cos^2(α/2)-1=7/48，sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=7/48。综上，有两组解：α=arctan(43/7)，β=arccos(21/86)或α=π-arctan(43/7)，β=-arccos(21/86)。方案二：根据条件②，可以得到sinα=7/√(49+43^2)，cosα=49/√(49+43^2)。根据sin^2α+cos^2α=1，可以解得sinα=7/√(49+43^2)，cosα=43/√(49+43^2)。继续按照解法一的步骤进行计算即可得到两组解。方案三：根据条件③，可以得到cosα=7/√(48)，sinα=7/√(48)。继续按照解法一的步骤进行计算即可得到两组解。21.解析：(1)由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ，可以解得kπ-1/2≤x≤kπ+1/2，因此f(x)的单调递增区间为(kπ-1/2,kπ+1/2)(k∈Z)。(2)由-4≤x≤4，可以得到-6≤2x+3≤6，因此-2≤sin(2x+3)≤2，因此-2/5≤f(x)≤3/5。当2x+3=2时，f(x)取最大值3/5；当2x+3=-2时，f(x)取最小值-2/5。当$x=-4$时，$f(x)$取最小值$0$。由$f(x)\geq2$可得，$\sin2x+\frac{3}{2}\geq1$，即$\sin2x+\frac{3}{2}\geq\frac{1}{2}$。所以$2k\pi+\frac{6}{5}\leq2x+\frac{3}{2}\leq2k\pi+\frac{6}{3}$，其中$k\inZ$。解得$k\pi-\frac{12}{5}\leqx\leqk\pi+\frac{4}{5}$，其中$k\inZ$。因此，不等式$f(x)\geq2$的解集为$\left(k\pi-\frac{12}{5},k\pi+\frac{4}{5}\right)$，其中$k\inZ$。对于第一问，由题图可知$A=2$，$T=\frac{1}{2}\pi$，所以$\ome