2019年广东省广州市中考数学试卷

2019年广州市初中毕业生学业考试一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．|﹣6|＝（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．2．广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（）A．5 B．5.2 C．6 D．6.43．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）第3题图A．75m B．50m C．30m D．12m4．下列运算正确的是（）A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ C．x3•x5＝x15 D．•＝a5．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条6．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．B．C．D．

7．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）第7题图A．EH＝HG B．四边形EFGH是平行四边形 C．AC⊥BD D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍8．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y39．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）第9题图A．4 B．4 C．10 D．810．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值为（）A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是cm．第11题图12．代数式有意义时，x应满足的条件是．13．分解因式：x2y+2xy+y＝．14．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为．第14题图15．如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为．（结果保留π）第15题图

16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）第16题图三、解答题（本大题共9小题，满分102分）17．（本小题满分9分）解方程组：18．（本小题满分9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．第18题图

19．（本小题满分10分）已知P＝（a≠±b）.（1）化简P；（2）若点（a，b）在一次函数y＝x的图象上，求P的值．20．（本小题满分10分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表组别时间/小时频数/人数A组0≤t＜12B组1≤t＜2mC组2≤t＜310D组3≤t＜412E组4≤t＜57F组t≥54请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求频数分布表中m的值；（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．第20题图

21．（本小题满分12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．第22题图

23．（本小题满分12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．第23题图24．（本小题满分14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．第24题图

25．（本小题满分14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．

2019年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．B【解析】﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．2．A【解析】5出现的次数最多，是5次．3．A【解析】∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，∴tan∠BAC＝，解得AC＝75．4．D【解析】A．﹣3﹣2＝﹣8；B．3×（﹣）2＝，故此选项错误；C．x3•x5＝x8，故此选项错误；D．•＝a．故选D．5．C【解析】∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是P在⊙O外，∴过圆外一点可以作圆的6条切线．6．D【解析】设甲每小时做x个零件，可得．7．B【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，∴EH≠HG，故选项A错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH＝，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF＝，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．8．C【解析】∵点A（﹣1，y1），B（7，y2），C（3，y8）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝8，y3＝＝2，又∵﹣6＜4＜3，∴y1＜y7＜y2．9．A【解析】如解图，连接AE，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝5，∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝4+5＝8，∴AB＝＝＝4，∴AC＝＝＝4．第9题解图10．D【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+3＝0的两个实数根为x1，x4，∴x1+x2＝k﹣8，x1x2＝﹣k+7．∵（x1﹣x2+4）（x1﹣x2﹣8）+2x1x5＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x2x2﹣4＝﹣5，∴（k﹣1）2+3k﹣4﹣4＝﹣5，解得k＝±2．当k＝2时，原方程为x7﹣x＝0，∴＝（﹣1）3﹣4×1×7＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，k＝6符合题意；当k＝﹣2时，原方程为x2+4x+4＝0，∴＝82﹣4×7×4＝﹣7＜2，∴该方程无解，k＝﹣2不合题意．∴k＝2．故选D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．5【解析】∵PB⊥l，PB＝5cm，∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm．12．x＞8【解析】代数式有意义时，x﹣5＞0，解得x＞8．13．y（x+1）2【解析】原式＝y（x2+2x+4）＝y（x+1）2．14．75°或60°【解析】分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°；②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．故答案为75°或60°．15．2π【解析】∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，∴斜边长为2，则底面圆的周长为2π，∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π．16．①④【解析】如解图①，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如解图②，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，故答案为①④．图①图②第16题解图三、解析题（共9小题，满分102分）17．解：令②﹣①得，4y＝8，把y＝5代入①得，x﹣2＝1，故方程组的解为18．证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）．19．解：（1）P＝﹣＝＝＝；（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣，∴b＝a﹣，∴a﹣b＝，∴P＝．20．解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣2＝5；（2）B组的圆心角为360°×＝45°，C组的圆心角为360°×＝90°．补全扇形统计图如解图①；第20题解图①（3）画树状图如解图②，共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，∴恰好都是女生的概率为．第20题解图②21．解：（1）1.5×2＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意得6（5+x）2＝17.34，解得x1＝0.7＝70%，x2＝﹣5.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．22．（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，解得m＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；将点P（﹣1，2）代入y＝，解得n＝1，∴反比例函数解析式为y＝﹣．联立解得或∴点A的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．∵AB⊥x轴，∴∠AEO＝∠CPD＝90°，∴△CPD∽△AEO．（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），∴AE＝2，OE＝1，∴＝．∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP＝∠AOE，∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．23．解：（1）如解图，线段CD即为所求；第23题解图（2）如解图，连接BD，OC交于点E．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE6＝BC2﹣EC2＝OB5﹣OE2，∴65﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长为6+6+10+＝．24．解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，如解图①，过点D作DM⊥AB交AB于点M，第24题解图①∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝5∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∴MD＝4，∴S△ABF的最小值为×6×（2﹣2）=6﹣6，∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝6﹣3；（3）如解图②，过